用正交变换化二次型为标准型

1、6,3用正交变换化二次型为标准形,由,一,问题的引入,利用配方法可得,1,令,2,令,或,或,引例,考察方程所表示的曲线,一,问题的引入,3,令,即,其中,引例,考察方程所表示的曲线,一,问题的引入,二,正交矩阵,则称A为正交矩阵,此时显然。

2、第5章 正交变换和放射变换,1 变换2 平面的正交变换3 平面的仿射变换 4二次曲线的度量分类与仿射分类 5 空间的正交变换与仿射变换,1 映射与变换 定义1.1 设S与S是两个集合,对S中任一元素a,按某一法则在S中有唯一的元素a与之对应。

3、6.2 化二次型为标准形,只含有平方项的二次型,称为二次型的标准形或法式,例如,都为二次型；,为二次型的标准形.,对于二次型, 我们讨论的基本问题是: 寻求可逆的线性变换xCy, 将二次型化为标准形.,或：对于实对称矩阵A，寻求可逆阵C，使。

4、线性代数习题讲解,第六章 二次型,一要点复习二作业讲解三典型例题介绍,二次型,定义,矩阵表示,可逆线性变换,标准二次型,正交变换,配方法,正定二次型 正定矩阵,定义,判定,一要点复习,1. 二次型及其矩阵表示,定义6.1 含有 个变量 的二。

5、第六章,二次型及其标准型,6,3正定二次型与正定矩阵,6,2化二次型为标准型,6,1二次型及其矩阵表示,5,5二次型其次标准形,引言,判别下面方程的几何图形是什么,作旋转变换,代入,1,左边,化为,见下图,称为n维,或n元,的二次型,定义。

6、空间解析几何第5章正交变换与仿射变换,1 变换2 平面的正交变换3 平面的仿射变换 4二次曲线的度量分类与仿射分类 5 空间的正交变换与仿射变换,1 映射与变换 定义1.1 设S与S是两个集合,对S中任一元素a,按某一法则在S中有唯一的元素。

7、第六章 二次型及其标准形,1. 二次型的定义,定义 含有个变量 的二次齐次函数,称为二次型. 二次齐次多项式,当系数 为复数时， 称为复二次型；当系,数 为实数时， 称为实二次型.,3. 二次型的矩阵表示式,令 ，则,于是,记,其中 为对称。

8、第三节 正交变换法化二次型为标准形,正交变换：标准正交基到标准正交基的坐标变换可逆的线性变换XCY，其中C是正交矩阵.,用正交变换XCY化二次型,为标准形的,问题，等价于求正交矩阵C,使得：,此式表明，当C为正交矩阵时，由上式所得的对角矩阵。

9、一,一般欧氏空间中的正交变换,9,4正交变换,二,n维欧氏空间中的正交变换,一,一般欧氏空间中的正交变换,1,定义,即,欧氏空间V的线性变换如果保持向量的内积不变,则称为正交变换,注,欧氏空间中的正交变换是几何空间中保持长度,不变的正交变换。

10、第三节用正交变换化二次型为标准形,一,正交变换,二,利用正交变换化二次型为标准形,下页,一,正交变换,定义1设P为n阶正交矩阵,Y是中的n维向量,称线性变换,PY是上的正交变换,性质,1,正交变换是可逆线性变换,2,正交变换不改变向量的内积。

11、哎聘芋侩敏焙蔓睹贴拍蝇帚闹洪慧沮璃劲凶亏学甲孪易灰叔淄婿拆炭融鸟2,4酉,正交,变换与正交投影,ppt2,4酉,正交,变换与正交投影,ppt,湃雅犬飘欺祁信海提描周腮核整姚嫉扑保释织盅睹正翅氢洒佃遇絮疮焚恍2,4酉,正交,变换与正交投影,p。

12、第节用正交变换化二次型为标准形,三,利用正交变换化二次型为标准形,下页,一,正交矩阵与正交变换,二,实对称矩阵的性质,定义设,与,是两个维向量,则实数,称为向量和的内积,记为,或,内积的定义,复习,例如,设,则和的内积为,下页,内积的性质。

13、用正交变换化二次型为标准型,2,把二次型化标准型的根据与步骤,要使二次型经可逆线性变换变成标准形,这就是要使,也就是要使,因此,上述等价的问题就是,对于对称阵A,寻求可逆矩阵C使得,为对角阵,这个问题称为把对称阵A合同对角化,成为对角阵,由。

14、第一节向量的内积,扬州大学数学科学学院,线性代数,定义1,内积,一,内积的定义及性质,说明,1维向量的内积是3维向量数量积的推广,但是没有3维向量直观的几何意义,内积的运算性质,定义2,令,向量的长度具有下述性质,二,向量的长度及性质,解。

15、第六章二次型及其标准形,1,二次型的定义,定义含有个变量的二次齐次函数,称为二次型,二次齐次多项式,当系数为复数时,称为复二次型,当系,数为实数时,称为实二次型,3,二次型的矩阵表示式,令,则,于是,记,其中为对称阵,二次型的矩阵表示式,说。

16、求正交矩阵 ，把实对称矩阵 化为对角阵的方法：,1. 解特征方程,求出对称阵 的全部不同的特征值。,3. 将属于每个 的特征向量先正交化，再单位化。,2. 对每个特征值 ，求出对应的特征向量，,这样共可得到 个两两正交的单位特征向量,4. 。