2024年台湾IMO代表队选拔考试(第三轮)试题(图片版无答案).docx
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1、2024年台湾IMO代表队选拔考试(第三轮)MA1 .在X网格的每一个格子里.生活着一些猫(每个格子里猫的数目必须是一个非负整数).每天夜里,猫的主人选取一个格子,按照以下规则进行操作:a)所选格子里猫的数目必须不少于与该格子相邻的格子数.b)主人从所选格子里分别拿一只猫,放到该格子的每一个相邻的格子里.(两个格子称为“相邻”的,如果它们有一条公共边,例如,网格角上的格子只有2个相邻的格子.)问整个网格里最少需有多少只猫,才能使猫的主人能够无限次进行上述操作?2 .在椭圆C-.x2+2炉=2008上任取一个有理点PO(XP,力).按以下规则递推地定义点P,Pi,i)选取一个格点Qt=(H,对C
2、满足因50,M50.ii)射线PQi与C相交于另一点A.证明:对任意点P。,我们可以选择合适的点。,。】,使得存在kNU0,满足。以=2017.1 .设Zn个实数Xi(i=1,2,,?),满足Z七=S.之2为整数.证明:;-2,且等号成立的充分必要条件是Xi(i=1,2,,。中恰有两个数相等且不等于0,而其余的数均等于0.2 .ABC中,NJ=60。,O为其外心,H为其垂心.设M为线段8H上一点,在直线C上选取一点N,满足H位于C,N之间.且BM=CM求+的所有可能值.OH1 .设。”注0为公差为d的等差数列,且1.od定义该数列为So,并按以下2个步装递推地定义数列S”:步骤1:令数列Sn的
3、首项为上,并去除人.步骤2:将前从项每项加1,得到数列SK1.证明:存在一个常数C,使得bn=CG1对所有20成立,其中U为取整函数.2 .(同2016IMOShort1.istG8)1.(同2016IMOShort1.istC3)3 .证明:存在一个整系数多项式工满足以下条件:a)(x)=0无有理数根.b)对任意整数,总存在整数也使得整除遂,).4 .设为A4BC的外接圆.令A为A关于的对径点,作点D,使得AbCD为等边三角形(4和D位于边BC的两侧).过4作RD的垂线,分别交Ca于瓦E作点7,使得ETF为底边为EF,底角为30。的等腰三角形(4和T位于边EF的两侧).证明:/T经过AdBC的九点圆圆心.
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