第二章-线性规划习题(附答案).docx

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1、习题2-1判断以下说法是否正确：（1） 任何战性规划问题存在并具有惟一的对偶问题；/（2）对偶问题的时偶何造一定是阻问题：/（3）根据对烟问遨的性质.当原问鹿为无界解时,其对偶问题无可行解,反之.当对偶问遨无可行解时,其原问题具有无界好：*4）假设设性规划的原向SS有无力多最优斛，那么其对偶何时也一定具有无力多最优解；（5）假设线性规划问题中的b“Cjff1.同时发生变化,反啖到故终单纯形表中.不会出现区何思叮对儡问题均为非可行解的情况：应用对偶单纯眩法计算时，假设单纯即表中某一茶变状x,0,说明在量优生产方案中第i种资源已羟完全耗尽；假设YKh说明在呆优生产方案中的第i种资源一定有剩余。X2

2、-2将下述线性规划问题化成标准形式.st.(I)max:-3x1+42-2xi+544.VXj2Xj-Xq=-2x+2-j+2x414-2x1.+3.v1+.rj-42.*2X32+20.q+20a4+25.v5.v1.+x2+23+3.r4+5s19s.t.,2.r1.+4x2+3xy+2.r4+X50(j=1.X3,4)解：（I）原问飕的对偶问题为:minj203r1+2y,20（2）原问题的对偶问题为,max=3y1+6y,+2y32y41+3y2+y482y+y26y1.+,+v-43.y.y3+6%)2，3，必22-5运用对偶理论求解以卜各问题：(1)线性规划问题：minZ=2i-x

3、2+2x,- x1.+A2+x=4- x1.+x2-kxi6- O,x2O,.J无约束其最优解为玉=-5G=0,XJ=T（八）求k的值：(b)写出并求出其对偶问遨的最忧解.解：原问题的对照问题为：max=4y1.+6yj- Ji-22y-一无约束,y2O设该对偶问题的三个人工变量为W,由于原问题的最忧解中的kqKO.爆么根擀互补松效性，所增加的人工变量f=o,f=o,那么：-,-Jj=2y-)2=2.另外，原何咫的收优值，=2芭-玉+25=2X(-5)-0+2X(-1=-12,也为对偶同魄的最优值,W：=4y1+6y,=-12.结合上述三式可得：1*=0；=-2k=(2)线性规划问即：maxz

4、=.v+2xi+3x,+4A4x1+2x2+2xj+3x412.623 =3,即对偶问题中的松弛变M此），：工0,）。,：=0,那么根据互补松地性可知，原4 =4ry2问SS中的决策变最中毛必为0。将.q.0=0代入原何题中的约束条件.可得:2x3+34+x2O又因为；=12,），；=0.2均不为0.那么同样根据互补松弛性可知,3xj+2-4+=20*E=O.那么有:战性规划向SS：maxz=x1.+x2si.-.r1.+%,+-32-X1+X,-Xj1x1.x,.x302.+3-.=20CCcc。求解该方程组可得：a=4,x,=4,3x1+2-4=20忒根据对照问题性质证明上述线性规划问成目

5、标函数值无界.裤：首先写出原问区的对偶问即如下：min=2y1.+y2SJ.-y1-,21y.-y2,1.,2由于该对照向题中前两个约束条件所确定的可行域为空袈，可知该对偶问题无解,.那么根据时偶性质可知，原问题无解Ur无界，另外，X=(0,0,0)必为原同Sfi的裤之一，那么可证原问应无界.2-6某求极大值践性规划问遨川单纯形法求解时的初始单纯形表及最终单纯形表如去2-44所示，求表中各括瓠内未知数的值.表244初始单纯形表及最终单纯形表ZX1.X2X3X4X5X6RHSZ1-3-2-20000Xu0I1II00X50(aI201015X602(C)I00120ZX1.X2X3X4X5X6R

6、HSI0(k)05/4(J)95/4000S)(1)-1/4-1/45/43I0(e)03/4(i)25/420I(f)0（三）1/25/2解：由初始单纯形表中的基变量为UJ知，H为续终单纯形表中K,用.4所对应的消耗系数矩阵，即：rI-1/4-1/4BT=03/4/、。人1/2,fIn00d、那么有：HaI2=IOe,可求得：a=2,c=3,d=4,e=54,0(2)该模型的对俄阿即为：nin=5y1.+IOy2365jy-y-212,y1+yiIO加1.(3)由原问题的Ai终单纯形表可以得出，单纯形表中的检验数行是对偶向SS决策变值的值。其中,5：6对应对偶向胭松饱变后的伯.6对应对他何时

7、决策变求的伯.那么对偶问SS的最优解为:y=4,yi=2.2-9线件规划何题：maxz=21.-x,+A1x1.+x2+Xj6sr.-N+2.04a.v2,x,0先用单纯形法求出加优解，再分析在以卜条件单独变化的情况卜最优解的变化。(1) IH标函数变为raxZ=2x1.+3与+占(2)约束右端项由(：)变为(31增添一个新的约束条件-演+占2.解：首先用单纯形法得到原问题的最优单纯形衣。ZXI*口XaXSRHS103120122I1I106003II1H1.且可得到，最终单纯形去中8I=U)由于X2在最优单纯形我中是非基变显，因此只影响它本身的检验数.计算:Z2-C2=(c1.y12+cjy

8、,)-,=(2I+03)-c,=2-c,0得到42时问即的最优解不变.但由于G由/变为3,此时必然造成依验数的符号发生变化，相应的单纯形表如下：ZX1.XjXjX,XjRHS10-11201220I1.1.1.O0|3|II1610以七2为主元对该单纯形表进一步迭代可得:ZXiX2XjX4X5RHSZ1004/37/346.3Xi2102/32/3-1/3X；X：3011/31/31/310/3此时最优解变为演=8/3,=10/3,X)=O,目标适数值变为46/3。(2)当初始取纯形表中右端常数从(6.4户变为(3.41时，即右端常数第,顶M少3,那么最终单纯形表中的白擢常数项应为原最终单纯形

9、表中的右坛常数与B中笫一列与(-3)乘枳之和，BP：(6.10)+(-3)*(1.,1.)=6-3.10-3)=(3.7).那么可知，最优解变为玉=3,=7,Xj=0,最优值变为27。(3)先将原问题最优解变量值代入，因有-6+0-64,5产.那么新的的纯形表为:ZX1.XXjJUXS&RHSI0201/53/5-1/527341-1/3O1/3-1/32O1I1/52/5-4/553由于增加决策变量与后求得的最优单纯形表为:/JxXjx4X6RHS11/1089/30O7/3017/30O55/231/2-1/6O1/6-1/615/2-12/513/151-i154/15O、由于生产产品D

10、后带来最优总利润变为55227.即该产品值得生产.(4)由原问题的最优单纯形表可知,该问题时偶何趣的必优解为：H=0.2.H=O6,即劳动力的影子价格为0.2,材料的影子价格为0.6,.由于影子价格市场价格，此时可以通过购置材料进行生产.设从市场上购置个总位的材料，那么同曲的最优单纯形表变为；ZX1.XJXiX4XSRHSZIO2O1/53/527*Xi31-13O1/3-1/3X34OII-1/52/5此时当5!0,即415时，何胞的最优解为.r=5!.q=O.q=3+24。但当f15时.335右端项第一行=().k+10=0.10-k=0.24-k=0.18-k=0.取前述不等式解的交集，

11、可知k的取也范围为：3=k=IO.2/4某糖厂年月最多生产树2703先运至AINAS三个仓底，然后再分别供给丘个地区的需要。各仓库的容求分别为50.100.1SO(),各地区的需要量分别为2S.1OS.6O.3O.7O。从桩厂经各仓库然后供给各地区的运费和存谛费如表2-50所示.上25O运费及存储费BiBiB4B5A11015202040A2040153030A3035405525试确定一个使总费用最低的调运方案.(婚时不用考虑此跑.待和出遨老帅核实后再公布该牌答案)2I5一艘货轮分前、中、后三个舱位，它们的容积与最大允许的正重录如表251和2*52所示,现有三种货物待运,有关数据列于表2-2

12、7(b)2-51容积及最大允许的我重IIt工程前舱中船后舱最大允许成型量(I)2030001500容积(m,)4(XX)54(X)15002-52待运方物派件用K枳、蜜鼠及运价商品数用(件)每件体积(mV件)每件件ItW件)运价(元/件)A600108I(XX)B1000567C80075600又为了航运平安，前、中、后舱的实际段中辰大体保持各舱最大允许数善信的比例关系.具体要求:前、后的分别与中舱之间或无量比例的偏差不出过15%,前后舱之间不断过10%，,问该优轮应装载A、B、C各多少件运费收人才加大？试建立这个问SS的线性规划模型.解：设决策变量勺1=1.2.3:/=1.2.3.)表示由前

13、、中、后舱装载货物A、8.。的故城，那么模型为：3.maxP=I(X)OZXn+7(X)x,+6(X)x1,J1.f-1.s.t.8ai1+61.Vc+5.vis2(XX),8.v,1+61.V2,+51,3(XM),8.r11.+ar,2+5n15(X)脂能我重破约束)I0ii+5x1,+7x1.1.4000.10x,1.+5x+7.55400.10.v,1.+5x5,+7.r,51500(船舱体枳约束)336(X).Xx121-333333-1-1.50-090-1,0（我jft麻比例约束）J-Ii-/-；-1/-IZ-I2-16一贸易公司专门羟营某种杂粮的批发业务.公司现有旅容5000担

14、的仓库.I月I日，公司拥有库存100O担架粮，并有资金20000元。估计第一季度杂粮价格如表253所示，如买进的柴板当月到货，但需到下月才能卖出，且规定“货到时款，公司希望本季末库存为2000担.何：应采取I1.么样的买进与卖出的策略使3个月总的获利最大？（列出问题的线性规划模型.不求陋表253各月份的诳货单价及出货单价月份进货价/（元刖）出货价/1元/担）解：设决策变量与(i=1.,2,3;j=1.,2.)表示1、2.3月买进、卖出的杂粮担数,那么模型如下:maxP=3.1.vu+3.25.v21+2.95-2.85.r1.1.-3.05,i-2.9xm$.t.I000+11-x125(XX

15、).100()+.r11-x1,+x,1-x2,5(XX),(仓库容M约束)1000+ai1-i2+.v21.-i2+X31-X31=2(X)0.(季末库存约束)2(XXX)-2.85a11+3.I1,0.20()00-2.85i,+3.1i,-3.05,i+3.25x,0.2(XXX)-2.85i+3.1.x1,-3.O5x,1.+3.25x,2-2.9x,i+2.95xj.0(资金约束)0-.,0.10()0+a,1-.vi,-x220,100O+x11-.,+x,1-x2,-x3,0(“下月卖出”约束)2-17某农户年初承保了40亩土地,并备有生产专用资金了OoO元.该户劳动力情况为:春

16、夏季4000工时，秋冬季3500工时,假设有闲余工时那么将为别的农户帮工，其收入为：春夏季5元/工时，秋冬季4后工时.该户承包的地块只是以种植大豆、玉米、小麦,为此已备齐分种生产资料，因此不必动用现金.另外.该农户还惘养奶牛和鸡.甜头奶牛每年需投资4000元,每只离需投资30元.彩头奶牛需用地15亩种植饲草，并占用劳动力:春夏季50工时、秋冬季100工时,每年净收入4000元.每只鸡占用劳动力：春SI季0.3工时、伏冬季0,6工时，每年净收入100元。该农户现有鸡舍以多能容纳300只鸡，牛棚最多能容纳8头奶牛，三种农作物一年需要的劳动力及收入情况见表2-54问该农户应如何拟定经营方案才能使当年

17、净收入最大？试建立该问题的数学模型.&2-54-：种农作物施要的劳动力及收入情况种类-需用工时（工时/亩）存夏季需工时秋冬季需工时净收入/（元/由）大豆2050500玉米3575800小麦IO404(X)解：设决策变量:再表示饲养牛、鸡的头数”=1.2),决策变地力为种抗大豆、玉米和小麦的由数(=1.2,3).那么模盘如卜.：maxP=4(XX).v1.+1(X),+5(X),y1.+8(X)y2+400)、+5(4(XX)-50.v1.-O,3,t2-20.y1-35y2-1.(h1.)+4(35(X)-1(XIr1-().6x,-50.v1-75y,楂)1.5x1+y1.+y,+y1=40(土地面积约束)4000七+30叫25(XM)(资金约束).V18.X,三+4一)=朦(i=123)A-Io