立体几何外接球的10种归类.docx

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1、立体几何外接球的10种归类。常考题型目录题型1墙角模型4 类型1两两垂直型(特别是四个面都是直角三角形)4 类型2对棱垂直推理两两垂直7 类型3对棱相等模型8题型2直棱柱的外接球(汉堡模型)10 类型1直棱柱的外接球10 类型2直棱锥的外接球11题型3切瓜模型12题型4正棱锥与普通棱锥的外接球15题型5两个直角三角形拼接模型17题型6圆锥的外接球18题型7圆柱的外接球19题型8圆台的外接球20题型9棱台的外接球21题型10二面角型外接球24Q知识梳理知识点一.正方体长方体的外接球1.长方体的夕球:长方体的同一顶点的三条棱长分别为d,b,c,外接球的半径为R,则ZR=*+dO2 .正方体的外接球

2、：正方体的棱长为。，外接球半径为R,则2。=5O3 .墙角模型(补成长方体)(1)若三棱锥的三条侧棱两两互相垂直,则可将其放入某个长方体内，如图1所示.(2)若三棱锥的四个面均是直角三角形，则此时可构造长方体，如图2所示.(3)正四面体可以补形为正方体如图3所示，知识点二.直棱柱的外接球（汉堡模型）1 .直三棱柱内接于球（同时直棱柱也内接于圆柱，棱柱的上下底面可以是任意三角形）勾股定理：DEJ2+DEJ2=。仃，则口=2 .计算公式。=J（与气-其中小照知识点三.直棱锥的外接球（侧棱垂直底面的三棱锥）补形成直棱柱I)题设：PA_1.平面ABC第一步：将平面ABC画在小圆面上,A为小圆面直径一端

3、点；作小圆面的直径AD,连接PD,则PD必过球心。；第二步：H为乙4BC的外心，所以0H平面ABC;算出小圆面的半径HD=r,OHWPA;第三步、用勾股定理：R=r2+OH21.当棱锥的侧面垂直与底面垂直时知识点四.切瓜模型2.假设平面ABC，平面BCD,其中n为平面BCD的外接圆半径2为它的垂面ABC的半径,/为两个垂面的交线。结论：=2=+-2知识点四正棱推和普通的棱推外接球题设：P的投影落在ABC的外心上第一步:确定球心O的位置,取MBC的外心H,则P,O,H三点共线；第二步:算出小圆面半径AH=r,算出棱锥的高PH=h;第三步:勾股定理：OH2+AH2=OA2即：（h-R）2+R=R2

4、,解出R但题型分类题型1墙角模型类型1两两垂直型（特别是四个面都是直角三角形）【方法总结】方法：找三条两两垂直的线段，直接用公式（2/?）2=/+,即2R=ya2+b2+c2,求出R常见的类型：图4【例题1-1已知三棱锥。一口仔,=4,=5,口=6,侧棱PA,PB,PC两两垂直,则三棱锥-的外接球表面积为.【变式I-In.三麒A-BCD中Q7_1.平面BCDAz712=OO=00=2,则该三棱锥的外接球表面积为（）【变式11】2.在直三棱柱-口中,=DD=2,=22,z=T,则此三棱柱外接球的表面积为（）【变式1-13.九章算术是我国古代数学名著，它在几何学中的研究比西方早100O多年.在九章

5、算术中，将底面为矩形且一侧棱垂直于底面的四棱推称为阳马.如图O-是阳马，桐,=5,=3,=4.则该阳马的外BC【变式1-14.在三棱锥。7。中，OO=OO=4,OO=8,OO=8,OOl口口,口口Y口口,则该三棱锥外接球的表面积为.【变式1-1】5.如图，在边长为2的正方形S。中，口,O分别是7,7。的中点，将DOO111O11,7。侬别沿S,DD1。口ff起，使。，O1OE点重合于点方，则四面体O-型外接球的表面积为（）A.24OB.12Z7C.6Z7D.3Z7【变式1-16.已知长方体。777-Ej1.j1.jB中,DD=3,1111=1fd口与平面7所成角的正弦值为手，则该长方体的外接球

6、的表面积为.D,类型2对棱垂直推理两两垂直【方法总结】特别的：正四面体、正三棱锥对棱相互垂直、四个面全都是直角三角形）【例题1-2如图在正三棱锥D11j.口,会别是棱口。的中点，。为棱。上的一点，且口口=；口口,DD1.口口,巷口口=22,则此正三棱锥。一口口苗外接球的体积为（）A.12OB.等7C.8311D.4311【变式1-21.在正三棱锥S-ABC中，外接球的表面积为3611zM,N分别是SC,BC的中点，且MNAM,则此三棱锥侧棱SA=（）A.1B.2C.3D.23【变式1-22.在正三棱锥7-口口中,DD1.OO1OO=5,则正三棱锥。一口口口外接球的表面积为.【变式1-23.)正

7、三棱锥。一AZJBJ侧棱长为2,3。中点，且口口工口口,则三梭锥。-。仍卜接球的表面积为第三步根据墙角模型类型3对棱相等模型【方法总结】方法：三棱锥(即四面体)中，已知三组对棱分别相等，求外接球半径(AB=CD,AD=BC,AC=BD)第一步：画出一个长方体，标出三组互为异面直线的对棱；第二步设出长方体的长宽高分别为4瓦C,AD=BC=x,AB=CD=y,AC=BD=Z,列方程组，a2+b2=x2222(ZR)2=a2+b2+c2=X)*.222C+a=z补充：Va-bcd=abcabc4=-abc63【例题1-3四面体。一口口科,口口=OO=5,OO=口口=DO=OD=6,则此四面体外接球的

8、表面积为一.B则三棱锥P-S8U的外接球的表面积为（）A.1211.B.9rrC.2411【变式l-32.如图，在三棱锥。口口田,口口=口口3,则三棱锥。ooa外接球的体积为（ABBA.2Z7B.3Z7C.41.【变式l-33.在三棱锥。一口口咕,口口=口口二，77,则三棱锥。-的外接球的表面积为（A.211.B.1211.C.2,点E到平面OOOOS巨离为4,则该刍童外接球的表面积为【变式9-12.在正四棱台。/7。口1口1口1卉,D1U1=20U=4,OO1=2,则（）A.该棱台的体积为2&万，该棱台外接球的表面积为40。B.该棱台的体积为呼，该棱台外接球的表面积为400C.该棱台的体积为

9、28万，该棱台外接球的表面积为也7D.该棱台的体积为竿，该棱台外接球的表面积为宏O图1图2【变式9-13.在正四棱台-Q中,O1U1=2=4,CC1=2,则该棱台外接球的表面积为（）A.160B.200C.300D.400【变式9-1】4.如图，三棱台28U-48G中,ABrAC,BC=6,AIBl=AIck4戏,/4=52,平面86G&_1.平面ABC,则该三棱台外接球的体积为（）B.10011A500口C.1500题型10二面角型外接球【方法总结】方法：二面角型，多是可以借助外心垂线相交法来计算解决.1.等边或者直角：（1）等边三角形中心（外心）做面垂线，必过球心；2 .直角三角形斜边中点

10、（外心）做面垂线，必过球心；3 .许多情况下，外心垂线夹角与二面角相等或者互补.【例题10遗形。QOD,=央,口=60,将口沿口口斤四的位置,若二面角-O的大小为120,三棱锥。-的外接球球心为0,0。的中点为，则OD=A.1B.2C.7D.247【变式IO-1】1如图在三棱锥一l,=DD=2j2tOO=2,二面角。-on-Zj的正弦值是子,则三棱锥。-乃卜接球的表面积是（）A.120B.40C.45Z7D.【变式10-12.如图，已知边长为4的菱形。中，=60。，将对角线OU翻折至。七所在的位置，若二面角。-OO-型大小为120。，则过O,d,11l。四点的外接球的表面积为.4Q【变式10-

11、13.已知在菱形中，DC=2,ZU=60。，把乙OOCgOU折起到立置,若二面角。-大小为120。,则四面体。的外接球体积是()K.-11B.OC,阴口D.屋口332727D参考答案题型1墙角模型【例题I-1】【详解】三棱锥一So的侧棱S,DD,。两两垂直，且长度分别为S=4,口口=5,口口=6,且口，口，口,。都在同一个球面上（如图所示）,以口口、口口、DC棱构造一个长方体，这个球就是长方体的外接球，设正方体的相邻三条棱长分别为,yz则仔+仔=16,仔+仔=25,仔+仔=36,故炉+4+炉=，设三棱锥外接球半径为R,则（2。2=4+4+4=日,该球的表面积为=411O2=411X?=故答案为

12、：子【变式1-1】1.【答案】C【分析】由题可知，可将三棱推补成长方体，求长方体的外接球的表面积即可.【详解】由OO_1.平面BCDlDniODl知三棱锥A-BCD可补形为以AD,DC,BD为三条棱的长方体，如图所示，三棱锥的外接球即长方体的外接球,长方体的对角线是夕杼妾球的直径,设外接球的半径为R,则（2。2=OZj2+。炉+口疗=1+4+4=9,所以该三棱锥的外接球表面积为。=411=911.故选：C.【变式1-1】2.【答案】C【分析】由条件得该直三棱柱底面为等腰直角三角形，补全为长方体求外接球半径即可得表面积.因为口=o=2,c=所以Sa为等腰直角三角形，将直三棱柱-4补全为如图长方体

13、/J。-、口,则长方体的外接球即直三棱柱的外接球，因为=2,DDy=22,所以外接球直径2。=、=j22+22+(22)2=4,所以外接球半径=2,表面积7=411D2=1611.故选：U【变式1-1】3.【答案】B【分析】由题目条件有OOJ1.70,OOiDOlO1.J1.OO1则阳马的外接球与以。磔长宽高的长方体的外接球相同.【详解】因工平面,SU平面ABCD,77u平面ABCD,则OOl,DD1.DO1又因四边形ABCD为矩形，则OOl则阳马的外接球与以S,磔长宽高的长方体的外接球相同.又=5,=3,=70=4.则外接球的直径为长方体体对角线，故外接球半z-,i.z-7di+di+di3

14、2+45+5252径为：=、2=2=2,则外接球的表面积为：=4114=411q=5011故选：B【变式1-1】4.【答案】807I6标】作口口口口,“口道口口,。依于E,根据已知条件可得。一Se的外接球即为SO，的外接球，连接S,应用勾股定理、线面垂直的判定可得Sl面、SI面OS,再由线面垂直的性质有31、DD1.7/7,则两强垂直,进一步得到-SS的外接球即长宽高分别为,DZj的长方体的外接球，即可求外接球的面积.【详解】由题设，AOOO为等腰直角三角形，作,DO/DDS.OO,。依于E,PB所以口口口口为边长为4的正方形,则O-的外接球即为O-S。的外接球，连接77,又口口1口四口上OO

15、1而Ooj1.口口,cDO=O1故口遹口口口,又口口遹口口口,所以77_lO11i即7_lDD1在中口疗+d=口疗,又口口=口口=4,口口=口口=8,板口存+D11l=口厅.所以70J1.口口而工DSJJc口口=报函口口口又口口强口口口,所以OOJ1.HO1即OE71.DD1综上，DD,口口,。两两垂直，则7-ZJSO的外接球即长宽高分别为。，口口,口口的长方体的外接球,所以。-Ooo的外接球半径O=竿=也零与=25，则外接球的表面积为4。炉=80Z7.故答案为：807.【点睛】关键点点睛：作口口”口口,口口1/口近口口,口鼓才E,连接口口,应用勾股定理、正方形性质及线面垂直的判定和性质证明A

16、a口口,7。两两垂直，转化为求长方体的外接球面积.【变式1-1】5.【答案】C【分析】由四面体。-口口阖棱仃口,炉口仃口两两垂直,将它补形成长方体，求出该长方体的体对角线即可得解.【详解】依题意,771dadDl.DD1DD1.仃口且已口=2,廿口=d11=1,如图：于是得四面体。-OO。可以补形成以。&Oaoo为相邻三条棱的长方体，该长方体与四面体o-ZJOU的外接球相同，四面体方-的外接球的半径R,则有2R为长方体的体对角线长，即20=J。万+DCJl+11Jl=6,从而有40炉=7(2Z7)2=6。所以四面体方-。中外接球的表面积为6A故选：C【变式1-1】6.【答案】5/7【分析】作口

17、口，垂足为E,连接方O,BEz证得/O方。是oD与平面所成的平面角，进而可以求出。方的长度，然后根据长方体的对角线是其外接球的直径，进而可以求出球直径，从而结合球的表面积公式可以求出结果.【详解】作。71DD,垂足为E,连接方7,BE,因为口炉1平面口口口,且口dU平面口口已仃,所以平面口口口【平面JUl又因为平面n平面口口仃U,口口U平面ABC,所以口口_1.平面DOdD,因此/OO是D。与平面OOO7所成的平面角.又S=Jgxl=A,d11=J(3)2+UD=3+DD.J(5)21223r/.sinz777=ly=y,解得口仃=1.1口J3+DU2故该长方体的体对角线为+(W)2+F=g.

18、设长方体的外接球的半径为7,则2。=5,解得O=苧.2该长方体的外接球的表面积为D=4。炉=47(f)=57.故答案为：50.类型2对棱垂直推理两两垂直【例题1-2】【答案】D【分析】根据题意证明OamZ7。两两垂直，将三棱锥放入棱长为2的正方体，两者外接球体积相同，求得正方体外接球体积即可得出答案.【详解】因为在口口3,口,U分别是棱OaAu的中点，所以H,因为S_1.OO1所以。71DO1因为三棱锥。-皿正三棱锥,所以(对棱垂直)，改为口口,口口至口口口,cOO=O1所以口口遹口口口,因为口口,口口便口口口,所以771DDtDU1.DD1在S口口田,O1.f+DDl=口仃,因为三棱锥。-O

19、DO为正三棱锥，所以Sa是等腰三角形，Sa是等边三角形，所以口口=on,OO=口口,所以ZJD2+口己=DDl,即。7111Ol所以口口,口口,OU两两垂直，将此三棱锥放入正方体中，此正方体的面对角线长等于OO长，为2夜，则该正方体棱长为2,外接球半径)J()2+(v)2=圾正方体夕H三球体积=g寸=1O(3)3=43Z7,此正三棱锥。-QO，的外接球体积和正方体外接球体积相同，为432故选：D【变式1-2】1.【答案】D【分析】利用球的表面积公式，算出球的半径R=3.由题意可证出MN，平面SAC,可得SB_1.平面SAC,从而得出NASB=NBSC=NASC=90.因此将此三棱锥补成正方体，

20、则它们有相同的夕假球，正方体的对角线就是球的直径,利用正方体对角线公式即可算出SA长.【详解】取AC的中点E,连结BE、SEr.三棱推S-ABC正棱锥,/.SA=SC,BA=BC.XvE为AC的中点,.SEAC且BEAC.SE.BE是平面SBE内的相交直线，.AC_1.平面SBE,又SB在平面SBE内可得SB_1.AC又.MN是ASBC的中位线，.-.MNllSB,可得MN_1.ACX.MNAM,又AM,AC是平面SAC内的相交直线，.MN_1.平面SAC,结合MNlISB,可得SB_1.平面SAC又三棱锥S-ABC是正三棱锥，.zASB=zBSC=zASC=90of因此将此三棱锥补成正方体，

21、则它们有相同的外接球，设球的半径为R,可得411Z=3611,解得R=3,.4dJl+DEf+DUl=2口=6,解之得SA=23故选：D【变式1-2】2.【答案】7511【分析】将正三棱锥O-70%卜成正方体，根据正方体的对角线即为外接球的直径，求得外接球半径，即可求得答案.【详解】由正三棱锥的性质可得，口口iDD1.DD1口口=OD=口口=5,则将正三棱锥O-m卜成如图所示的正方体，则正三棱锥O-OOS卜接球即为正方体的外接球，所以正三棱推口-OO正卜接球的半径为/002+g%的=竽，所以正三棱推。-006卜接球的表面积为411=7511,4故答案为：7511【变式1-2】3.【答案】121

22、1【分析】根据等腰三角形三线合一性质和线面垂直判定可知。，平面从而得到701OD；由线面垂直判定可得1.平面。S,进而确定三棱锥O-Dm为正方体的一角，通过求解正方体的夕楔球表面积即可得到结果.【详解】VZjZ7D点，口口=口口,口口=DD,DD1.口口,口口I口口,又c口口=D,口口,口口u口,口口1平面口口口,口口U平面口口口,口口1口口,又口口1口口,c口口=D,DD,口口U平面口口口,.口口工平面口口口,又三棱锥-6J正三棱锥侧面为全等的等腰直角三角形，三棱锥。-SR如图所示的棱长为2的正方体的一角，该正方体的外接球即为三棱锥B勺外接球，正方体夕杼妾球半径O=j22+22+22=3,所

23、求外接球表面积。=411U=1211.故答案为：12tl类型3对棱相等模型【例题1-3】【答案】n【分析】将四面体放入长方体中，使得六条棱分别为长方体六个面的面对角线，则长方体的外接球即为四面体700的外接球，利用数据计算长方体的体对角线即为外接球的直径，可得球的表面积.【详解】将四面体0Z7U放入长方体中，使得六条棱分别为长方体六个面的面对角线，如图：则长方体的外接球即为四面体O-SU的外接球，又长方体的体对角线即为外接球的直径27,设长方体的长宽高分别为口,D,则有4+4=36,4+万=36,r+=25,所以4+Z=y=4D2f所以外接球的表面积为411U=支，故答案为：:11【变式1-3

24、】1【答案】D【分析】将棱锥补全为长方体，由长方体外接球直径与棱长关系求直径，进而求其表面积.【详解】三臃，-48U中，PA=BC口口=口口=内,口口=00=25,构造长方体使得面对角线分别为5.245,113,则长方体体对角线长等于三棱锥外接球直径27,如图标，设长方体棱长分别为a,b,C则炉+d=20,D2-11225.O2+O2=13,则炉+O2+O2=29,即4炉=29,外接球表面积和炉=29.故选：D【变式1-3】2.【答案】C【分析】将三棱推。-。二放到长方体中，设长方体的长、宽、高分别为求出口,口,得三棱推P-ABC外接球的半径，即得解.【详解】解：由题意，口口=口口=6,口口=

25、口口=2,口口=OO=y5,将三棱锥-放到长方体中，可得长方体的三条对角线分别为3,2,5,设长方体的长、宽、高分别为a。，则Jo2+d2=6,y2+112=2lyjlf+D2=y5,解得ZJ=1,O=y12l11=3.所以三棱锥7-7功卜接球的半径Z7=Xd+内d=f.三棱锥。-S仍卜接球的体积。=O113=O.故选：C【变式13】3.【答案】A【分析】根据给定条件，构造面对角线长分别为4,5,万7的长方体，求出其体对角线长即可求解作答.【详解】三棱锥O-Z7OO,口口=00=4,口口=OH=5,DO=D11=yTfl构造长方体，使得面上的对角线长分别为4,5,77,则长方体的对角线长等于三

26、棱锥7-7。步卜接球的直径，如图，设长方体的棱长分别为口，口,7,则炉+炉=16,D2+D2=25,炉+炉=11.则O2+O2+O2=26,因此三棱锥8仍卜接球的直径为原，所以三棱锥O-卜接球的表面积为赤（苧尸=2版.故选：A题型2直棱柱的外接球（汉堡模型）类型1直棱柱的外接球【例题2-1】【答案】表面积160,体积竽。；【分析】先由三棱柱体积求出&,再找出球心，勾股定理求出半径，即可求出外接球的表面积和体积；（1）易知口=gx2x2=2,三棱柱体积口=2口=42,解得74=2取，中点7,取&中点&,连接。0交74于7,易知。aSoM外心，口为A的外心，OW为外接球的球心，=22+22=22,

27、故外接球半径为罕=M#=2,故外接球表面积为4x22=16。,体积为gOx23=三11.【变式2-1】1.【答案】CaAiBiCi的外接求半径为=27r=l,R2=r2+(/=4,R=2.S球=4111.J1.J1.J)UNR2=1611【变式2-1】2.【答案】270【分析】设=O1口=O1球的半径为。，连接。口，4融于点7,取。中点。,连接即口为三棱柱外接球球心，根据三棱锥体积可得a司关系，表示出。，根据基本不等式可求得。的最小值，从而得到球的表面积的最小值.【详解】如图，因为三棱柱a4是直三棱柱，目口=9o没口=,=,球的半径为连接。,&Z5交于点。，取。中点7,连接口,所以7=+d=+

28、囹=恬Wl历b苧则，I三棱柱六个定点的距离相等，即o为三棱柱外接球球心，且=；、=冷,又因为三棱锥0-02%的体积为用即黄；7。乂亨=73,即70=12,当且仅当。=口=23时等号成立，所以球表面积最小值为7=4Z7C2=27。,故答案为：270.【点睛】思路点睛：与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接.解题时要认真解析图形，明确切点和接点的位置，确定有关元素间的数量关系，并作出合适的截面图,如球内切于正方体，切点为正方体各个面的中心,正方体的棱长等于球的直径；球外接于正方体，正方体的顶点均在球面上，正方体的体对角线长等于球的直径.【变式2-1】3.【解析】设正六边形边长为，正六棱柱的高

29、为，底面外接圆的关径为r,m1在而工小c/6/1、23力,9A则。=二，底面积为5=6(一)=,匕F=Sh=h=-,.h=y3,2428在88W=(苧)2+(g)2=l,R=I,球的体积为V=与【变式2-1】4.【分析】由题意作图,可得夕H三球半径月满足d=辱R(?2根据题意可得7=2,由球的表面积公式可得。次的f=(/+/+16D,结合基本不等式即可得出结果.【详解】由题意得，在底面直角三角形口口坊,设JJ口=OtOD=O1/口=90,如图，设三棱柱的外接球的半径为R.则炉=亭+夕，又三棱柱的高和体积都为4,所以2=口皿m=!x4=4,得口口=2,所以三棱柱外接球的表面积为：口夕加4d=4口

30、K乓弓+(%=4口5孚+G=(d+O2+16)0(2口口+16)0=200(当且仅当。=口=2时等号成立)，所以外接球的表面积的最小值为200.故答案为：20口类型2直棱锥的外接球【例题2-2】【答案】B【分析】根据外接球的球心到所有顶点距离相等，故可得球心O为。中中点，即可根据截面的性质求解截面圆半径.【详解】由题意可知球心CDUM中点,因为。1口口,口口上口口,cOO=Ot所以S_1.平面中点,故J平面SB)距离为TS=I,故截面圆的半径为庐7二3,截面面积为11(3)2=311故选：B【变式2-2】1.【答案】C【分析】求出三棱锥So卜接球平面SU所得小圆圆心位置及半径，再确定球心3）位置，并求出球半径即可计算作答.【详解】因77J平面777,u平面口口口,则S_1.DUtUD1.口口,而口口二2炳,口口=70=4,则S=口口=2=00,三棱推。一So的外接球。截平面S嗨得小圆圆心4是正口口阖中心，口、口=:风,连口口则Oa_1.平面SZ7,取线段。的中点。，则球。的球心。在过E垂直于直线OB）垂面上，连口口,如图，则四边形OOoa是矩形口口、=口口=三口口=3,因此,球G）半径。有:口好=+=M所以三棱锥。-。仍Hg球的表面积7=40-口疗=弓.故选：C【变式2-2】2.【答案】B【分