大题02 数列求和（解析版）.docx

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1、大题02数列求和近几年高考，数列中新定义是必考内容，难度较大，作为压轴题呈现大题典例1数列中新定义问题（2023北京东城统考二模）已知有穷数列A:如出，453）中的每一项都是不大于的正整数.对于满足的整数加，令集合A（7）=M&=6，=1,2，.记集合A（M中元素的个数为S（M（约定空集的元素个数为0）.若46,3,2,5,3,7,5,5,求A(5)及5(5九+=，求证：49，M互不相同;(3)已知=，%=匕，若对任意的正整数i0i+%)都有i+JwA(,或i+jwA(%),求+%+anffy值.【解】(1)因为=%=4=5,所以45)=4,7,8,则s(5)=3(2)依题意s(q)l,i=l

2、,2,，则有4.Km(J因此HHf3皿s(q)s(a2)Sa)又因为一+一+!=，人0仪式4)S(G)s(an)9所以s(q)=l所以4Ma互不相同.(3)依题意=a,%=b由i+/A(ai)或i+JeA(aj),知ai+j=或ai+j=aj,令J=I,可得=4或=卬，对于，=2,3,.-1成立,故。3=%或a3=%当二b时，%=4=af,=a，所以q+g+an=na.当出人时，%=。或%=b.当生=。时，由%=%或4=4，有。4=a，同理%=，=4=。，所以+an=(n-)a+b,当见二人时，此时有4=%=。,令i=l,j=3,可得4A()或4AS),即%=。或4=b.令i=l,/=4,可得

3、5wA()或5AS).令i=2,j=3,可得5A(b).所以=.若出=。，则令，=1.)=4,可得=。，与&=)矛盾.所以有=6.不妨设4=G=at=b(k5),令i=t,j=k+惟=23,-1),可得A+1AS),因此4+=R令i=l,j=k,则a=或/+=氏故k=b所以4+%+an=n-V)b+a,综上，4=时，+弓+an=na.=时，q+%+an=(n-)a+b.时，al+a2+a11=(n-)b+a.解壮族导数列新定义问题的方法和技巧：(1)可通过举例子的方式，将抽象的定义转化为具体的简单的应用，从而加深对信息的理解；(2)可用自己的语言转述新信息所表达的内容，如果能清晰描述，那么说明

4、对此信息理解的较为透彻;(3)发现新信息与所学知识的联系，并从描述中体会信息的本质特征与规律；(4)如果新信息是课本知识的推广，则要关注此信息与课本中概念的不同之处，以及什么情况下可以使用书上的概念，要将新性质有机地应用到旧性质上，创造性的解决问题.49变式(2023北京人大附中校考三模)有穷数列勺洪小项(m3)其各项均为整数，任意两项均不相等.4=4-q+J(j=l,2,m-l),bi+l(=l,2,w-2).若6:0,1,求知的取值范围；若z=5,当同取最小值时，求的最大值；I=I三l.一!若14KM=1,2,.,M,Z4=?+1,求机的所有可能取值.*=1【解】(1)由题设4=IO-II

5、=I%=Il-引,则1一引1,pi-7或1-41,所以为2或七0,任意两项均不相等，故用工。、工1,故出的取值范围6e(-8,0)2,+8)且6WZ；(2)由“各项均为整数，任意两项均不相等，要使之同最小，即同尽量小,(=1则(士同焉=0+1+1+2+2,故/中的前5项为-2T0J2,J=I4要使Zbi最大,即I%I+1%-%I+1%-4I+1%-I最大，/=I而2bM,则14-2国。2-。3国内-4国a4-a5不妨令的=2,只需依次使1%-61，&J%-%一生I取到最大，要使I%-生I最大，则4=-2；要使I/I最大，M=h要使1%-%I最大，则。2=T,故4=0;此时I%I=4%-&I=3

6、a2-a31=2al-a2l=1,综上,1+2+3+4=10.maxm-w-1(3)对于14金。=1,2,.,)，则Z4的最小值为相-1,三=w+lw-l,hlt=1由(m+1)-(1)=2,且d(i=12fm-2),所以图.J有如下情况：最后一项为3,前面各项都为1.最后两项为2,前面各项都为1；7=3,数列j不可能出现3,或同时出现两个2,排除；?=4,数列册为3,2,1,4,对应数列也小为1J3,故存在满足题设的情况；m=5以下过程中xN,若存在满足的数列.1)元素依次为1,1J3,令数列q前4项为x+l,x+2,x+3,则第5项为X(存在重复项，舍)或x+6,而第5项为x+65,不满足

7、题设；若存在满足的数列耙J元索依次为U,2,2,令数列叫前3项为KX+1.x+2,则第4项为T(存在重复项，舍)或戈+4,第4项为x+4,则第5项为x+2(存在重复项，舍)或X+6,而x+65不满足题设；同上讨论，m6时不可能存在满足题设的数列%；综上，n=4.后4模拟1. (2023北京统考模拟预测)正整数集合A=q，生，。“,且4/%v4,n3,B中所有元素和为八6),集合C=T(8)8qA.(1)若A=1,2,5,请直接写出集合C；若集合区中有且只有两个元素，求证“心电，4，为等差数列的充分必要条件是“集合。中有2-3个元素若C=123,2023,求的最小值，以及当取最小值时，%最小值.

8、【解】(1)C=1,2.3,5,6.7.8)(2)若4，%,知,凡为等差数列，不妨设a,=al+(ti-)d,ajai+(j-)d,且i/J,j=123,，.aj+a.=21+(/+y-2)d,Ijn9.3+j2n-9.(中有2一1-3+1=2一3个元素,.“4，%,%，4为等差数列是“集合C中有2-3个元素”充分条件若集合。中有2-3个元素，则至少有如下有2-3个元索q+出4+/4+q4+/4+4V4+an-a+ana2anay+anan+an又有如下2-3个元素at+a2a+aja2+o3a2+aia2+a5a2+an_2a2+an_fa2+ana3+an1000.n=lb且此时，为最小值

9、为10002. (2023北京房山统考二模)若项数为MkN,g3)的有穷数列他“满足：0io23ai,且对任意的(IWiWJW),勺+0或勺-Q是数列/中的项，则称数列UJ具有性质入(1)判断数列0，1，2是否具有性质P,并说明理由；(2)设数列6具有性质P,q(i=1.2,从)是4中的任意一项，证明:m-见一定是q中的项；若数列具有性质P,证明：当k5时，数列%是等差数列.【解】(D解：数列0J2具有性质P.理由：根据有穷数列叫满足：0W0色的,以，且对任意的H(IiQ,或%一是数列q中的项，则称数列加“具有性质产，对于数列0,1,2中，若对任意的V(IiZ),可得勺-=0或1或2,可得力一

10、4一定是数列4中的项，所以数列OJ2具有性质P.(2)证明：由q(i=12,幻是数列%中的任意一项，因为数列%具有性质P,即%+4或%-6是数列q中的项，令i=k,可得或-4是数列q中的项，又因为04%又由+/4,所以4-4wz,又由=%-4ak-ak-ak-ak-21.ak-a2ak-a设2WiA,因为044%+/=4，所以4+4走4，由O=%-474.1一%.2V1.Vak,l-a3ak-a3=ak_2，又由qv%VVakTVa5可得%一%=4，%-=生49真题(2022,北京卷)已知数列几,圾的项数均为m(m2),且%也wl,2,m,q,低的前项和分别为A”,B”,并规定A)=Bo=0.

11、对于攵w0,l,2,加,定义以=max*g4,i0,l,2,m,其中，maxM表示数集M中最大的数.(1)若4=2,/=1,%=3,伪=1,仇=3,4=3,求个”,小八的值；(2)若q4,且2qo.ut=l,2,w-,求小证明：存在PMSj0,l,2,m9满足Pq,si,使得(+B=A。+纥.【解】(1)由题意可知：40=2,4=3,A=6,B0=O,B1=1,B2=4,B3=7,当A=O时，则为=A=0,s,A=i,2,3,j=O;当Z=I时，则/A,i=2,3,故Zj=I;当攵=2时，贝!8照4/=0,1,g4,纭4，故=1；当攵=3时，则用A3,i=O,l,2,用4,故4=2；综上所述：

12、“=0,4=1,r2=tg=2.(2)由题意可知：rnm9且GWN,因为凡121,且q伉，则儿M对任意eN恒成立，所以=。，4N1,又因为2/；wj+邑，贝!j%-。一人，即%-QCT-2之NZi-Gz1，可得，泊il,反证：假设满足*f的最小正整数为O/?-1,当i时，m+l-2t当i-1时，则Jr=1,贝？k=(%-)+(%-%.2)+-w)+782(m-j)+j=2n-j,又因为0JzT,则，2m-j2m-(m-)=n+mt假设不成立，故.*-。=1,即数列J是以首项为3公差为1的等差数列，所以Z=O+1x=%gN.(3)因为为也均为正整数，贝U4,纥均为递增数列，S)若，=纥，则可取=

13、g=0,满足g,sf,使得4+用=4+用；三）若，练，则?,构建S.=%-4,1Z2m,由题意可得：S0，可得%尸BM-4=（唠-A）-（理-A）?，这与%+1w1,2,竹相矛盾，故对任意1”&N,均有S“1-小.若存在正整数N,使得SN=缘-AN=0,即Ay=B,一可取/=q=0,p=MS=灰，满足sr,使得&+乌=4+3T若不存在正整数N,使得SZ=O,因为Sne-l,-2,-（m-l）,且lm,所以必存在lXvVq,sE,使得Ap+旦=Ag+优；（B）若A,Bn,定义Rk=maxA0,l,2,1.,m,则Rk0,可得a%*=4E-A&.=（为小一8K）（4.练）加，这与%+1e1.2,时

14、相矛盾，故对任意1q,sf,使得%+g=4+反；若不存在正整数N,使得SN=。，因为Sne-l,-2,一（6一1）,且1W,所以必存在lXvyq,sE,使得Am一综上所述：存在0qpm,Ots使得p+B1=Ag+Bx大题典例2裂项相消求和已知各项均为正数的等比数列的首项4=:，,+1.=9.求数列加，的通项公式；已知数列卜的前项和S”，证明：5z0,所以S“寸2一竽)解法林导裂项相消法求和的步骤像列T观察数列的通项，将通项拆成两项之差的形式)保与T将数列裂项后的各项相加)总将中间可以消去的项相互抵消,将剩余的有限巴厂项相加,得到数列的前项和提醒消项后前边剩几项，后边就剩几项，前边剩第几项，后边

15、就剩倒数第几项.变式已知等比数列&满足4=2,且4+%=20.求数列qj的通项公式;(2)若数列也J满足包=q,他其前项和记为S“，求S“【解】(D设等比数列的公比为4由已知q=2,且%+4=20,得2夕+243=20,8P+-10=0(*)易观察，2是(*)方程的一个根，0(z7-2)(+2z7+5)=O,又夕？+2q+5=(q+l)2+40恒成立，团9=2,Xa1=2,团4=27(2)由(D知，bn=n-2n90Srt=12l+222+n2n925n=l22+223+n2n+l9以上两个式子相减得,-S11=l2,+122+12,-112,+1=2,+1-2-n211+,=(l-)211+

16、,-2,0=（11-l）2rt+l+2.后”模拟1） （2024河南郑州三模）已知正项数列Iq的前项和为S”，4=4,且当2时2f（667）=4.（1）求数列%的通项公式；若数列出J满足d=黑区，数列的前项和为小试比较（与5的大小，并加以证明.【解】（1）因为2时2T（回+斤）=%=1-S,=（病+后）（国-反），数列4为正项数列，所以667=2.由累加法得6-6=2+22+2m=2=2-252）,又叔=m=2,所以底=2，即S“二4”，故当2时，QnSnS-134,4,w=l因此4=34T2.Q2） ）?；0,故0,所以（=O,由题意得3%=21a2=W53(4+3d)=21(a1+d)=a

17、i(1+4d)4=1.d=2或%=7d=0(舍去)：.an=2w-l,wNt.(2)由(D可得s.=*m=2,则a除夕Z=+&+/+=+*+*+，+*可得:,=+-.可得：71.=y+-+r+祟-亲,+也+冬，22+j1.K=幺+&+g+2222324可得：IIZl222=2+F+F+22n-1C4-I=F22222n-32+3142+i22则鼠=3-竽j.-Tn=Kn-r=3-2nn2+2+3n22+i9n2+4+6到真题(2022新高考I卷Tl7)记臬为数列4的前项和，已知q=1,是公差为;的等差数列.(1)求%的通项公式；1 1Ir(2)证明：+一2.4%an【解析】(1)V=1,S1=

18、a1=1,=1,aV1又,1是公差为的等差数列，bJ3Sn.1/+2(+2)凡Y=*1)=丁24/J 当”2时，SJ，十1-1,T3.(+2(+1)% 丹=Sn-sn-=飞，整理得：(l)a=(/t+l)4i，,34n/?+1/+1)=lxX.=-23n-2n-2显然对于=1也成立， 4的通项公式可=迹土D；anw(+l)n+1已知数列&的首项4=1,前项和为S”，且SZ=2S”+l(eN).设勿=勺+1.求数列低的通项公式；设C=4(1。；)2-1数列qj的前项和为乙证明：71.所以$所以g71.解注赛导错位相减法求和的步骤第一步开S“=a,4+%+4-l+tl,第二步y公比IqS“=a%+

19、2A+。-611+%6.1)第三步f错位相减-得(1-q)Sil=%4+d(4+4+1)-%也】第E4旧工，Sr+d(%+4+)-小也八第四步-求和S=-44变式已知数列满足AA墨+=求数列加，的通项公式；若a=1阴2。”，求数列丁的前项和.l+j1*1由题意得$+$+畀、当2时，JJ+f=l,由得号=1，即%=2，又=1时，-=1,.6T1=2,满足上式，综上，4,=2(2)由(1)r=log2a11=n,故%(n+l)n+1设数列)1r4的前项和为7-IAJTll1111所以T,=11-H=1FH7rM9nbb1打也a%122x37(+l)1 111Il1In=I1+T1=.2 23n/1

20、+1n+1n+1模拟1 .(2023华中师大一附中模拟)已知数列4的前项和为s“，且sf,=20fji.求数列的通项公式；若数列也满足H=炉，其前项和为，求使得黑I成立的的最小值.,4.2024【解】(1)当2时，an=sn-S11-1=(2an-n)-(2an,l-n+1)=2(an-a11,l)-,所以。”=2。1+1,贝11|4+1=2(4_+1),而4=S=2q-l=1,所以6+1=2,故q+l是首项、公比都为2的等比数列，所以/+l=2=2-l（2）由=anan(2,-l)(2rt+,-1)-2rt-12w+,-1*一+.+-=1p212023211+,-120242n+,-12,+

21、12025,77152,-l211+,-1由2H)2025.9真题（2023全国甲（理）卷T17）11.已知数列4中，a2=t设S”为%前项和，2Szt=凡.（1）求4的通项公式；求数列空I的前项和J【解析】（D因为2S”=6，当=1时，2%=%,即q=0；当=3时，2(1+6)=M,即%=2,当2时，2S”-i=(-,所以2(S,t-S“T)=1)q一=2，化简得：(-2)4=(-1)明，当3时，=1,即“=-1,一1一22当=1,2,3时都满足上式，所以勺=1(N).因为铝唠,所以T=IXs+2Xs+3x(J+.+X3，I=IX(+2x(J+(,1)x(5+唱，两式相减得,2=I-(I+?出,即1=2-(2+)(9,