专题7.5 正态分布【原卷版】.docx

《专题7.5 正态分布【原卷版】.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《专题7.5 正态分布【原卷版】.docx（13页珍藏版）》请在三一办公上搜索。

1、考点01正态密度曲线由数0)为参数，我们称外,Kx)的图象为正态分布密度曲线，简称正态曲线.2 .正态曲线的性质：曲线是单峰的，它关于直线立区对称；曲线在X=处到达峰值勿落；当国无限增大时，曲线无限接近X轴.3 曲线与X轴之间的面积为1；当)一定时，曲线的位置由确定，曲线随着的变化而沿X轴平移，如图甲所示；当一定时，曲线的形状由确定,。越大，曲线越“矮胖”，总体分布越分散;。越小.曲线越“瘦高”.总体分布越集中，如图乙所示：知识点三正态分布1h1.定义：若随机变量X的概率分布密度函数为TW=京e,xR,其中R,。0为参数，则称随机变量X服从正态分布，记为Xu,)，=0,=l时，称之为标准正态分

2、布.2.3。原则P(一。X4+o)s5=s0.6827；Pa2oWXW+2o)-0.9545；PQl3oWXWju+3。户0.9973.3.正态分布的均值与方差若XN（,M）,则E（X）=，D（X）=2.；考点精折，考点01正态密度曲线函数【典例01（22-23高二下江苏课后作业）已知正态分布密度函数/（力二（）A.0和4B.0和2C.0和8D.02【典例02（22-23高二下湖北武汉期末）设随机变量XN（0,l）,则X的密度函数为（）A-zw=e41(I)?B.小)=而e2考点02正态曲线【典例03（22-23高二下江苏课后作业）（其中P(Y)W勺正态分布密度曲线X的正态分布密度曲线B.P(

3、X2)P(X1)C.对任意正数，P(Xt)P(Yt)D.对任意正数，P(Xr)P(yO【规律方法】求正态曲线的两个方法(1)图解法：明确顶点坐标即可，横坐标为样本的均值，纵坐标为此;(2)待定系数法：求出4,。便可.考点03正态曲线的性质及应用(典例051(22-23高二下陕西宝鸡期末)已知三个正态分布密度函数fi()=1(K-M)2(XeR,i=l,2,3)的图象如图所示，则下列结论正确的是()斗y=f()y=f2()B.从2=外，l=23C. xyD. /1=2y1=2O,则P(Xx)=l-2(x)C.若随机变量XN(5q2),则。越小，P(4.5vX6)=0.4,则P(2vXO,下列说法

4、正确的是()A.变量X的方差为1,均值为0B.P(Xx)=l-2(x)C.函数/(x)在(0,+8)上是单调增函数D.f(-x)=l-f(x)【典例081【多选题】(23-24高三上山东日照期末)数学家棣莫弗发现，如果随机变量X服从二项分布8(,p),那么当比较大时，X近似服从正态分布N%q2),其密度函数为。()=言eF,xw任意正态分布XN(q2),可通过变换Z=三幺转化为标准正态分布ZN(0,1).当ZN(U)时，对任意实数”,记(X)=P(Z幻，则()A.(x)+(-x)=B.当x0时，P(-xZx)=2(x)-lC.随机变量XNM蜡,当减小，。增大时，概率P(X-b)保持不变D.随机

5、变量XN(,2),当Q都增大时，概率P(IX-”Vb)增大考点05区间上的概率计算【典例09(22-23高二全国课堂例题)某批待出口的水果罐头，每罐净重X(单位：g)服从正态分布7V(184,2.52),求：(参考数据：ZN(0,l),P(Z0.2)0.5793,P(Z2)0.9772)随机抽取1罐，其净重超过184.5g的概率；随机抽取1罐，其净重在179g与189g之间的概率.【典例10(22-23高二全国课堂例题)假设某个地区高二学生的身高服从正态分布，且均值为170(单位:cm,下同)，标准差为10.在该地区任意抽取一名高二学生，求这名学生的身高：不高于170的概率；在区间160,18

6、0内的概率；不高于180的概率.【规律方法】正态总体在某个区间内取值概率的求解策略(1)充分利用正态曲线对称性和曲线与X轴之间面积为1.熟记尸(一。0+。)，尸(一2。Cr+2),尸(一3。启+3。)的值.(3)注意概率值的求解转化：0(/a)=I-P(Qa);尸(/-a)=POu+a)；,r,I1-P(hXh)若伙:，则P(XV3=上一2t特别提醒：正态曲线，并非都关于y轴对称，只有标准正态分布曲线才关于y轴对称.考点06正态分布的期望、方差问题【典例11】【多选题】(2023山东泰安二模)随机变量XN(4q2)且P(X(2),则=.【典例14】(2024上海青浦二模)设随机变量服从正态分布

7、M2,1),若P(Jl-2),则实数=.考点083。原则【典例15(2024广东佛山二模)统计学中通常认为服从于正态分布N(,/)的随机变量X只取-3cr,+3b中的值，简称为3。原则.假设某厂有一条包装食盐的生产线，正常情况下食盐质量服从正态分布N(400q2)(单位：g),某天生产线上的检测员随机抽取了一包食盐，称得其质量大于415g,他立即判断生产线出现了异常，要求停产检修.由此可以得出，。的最大值是.【典例16(23-24高二下福建福州期中)为评估设备M生产某种零件的性能，从设备生产零件的流水线上随机抽取100个零件作为样本，测量其直径后，整理得到下表：直径mm585961626364

8、6566676869707173合计件数11356193318442121100经计算，样本的平均值=65,标准差。=2.2,以频率值作为概率的估计值.为评判一台设备的性能，从该设备加工的零件中任意抽取一件，记其直径为X,并根据以下不等式进行评判(尸表示相应事件的频率)；P(-X)0.6827;0P(-2X+2)O.9545;(3)P(-3X+3)0.9973.评判规则为：若同时满足上述三个不等式，则设备等级为甲；仅满足其中两个，则等级为乙，若仅满足其中一个，则等级为丙；若全部不满足，则等级为丁，试判断设备M的性能等级.将直径小于或等于-2或直径大于+2的零件认为是次品.从设备M的生产流水线上

9、随意抽取2个零件，计算其中次品个数Y的数学期望E（Y）；从样本中随意抽取2个零件，计算其中次品个数Z的分布列.（答案用分数表示，要画表格）考点09正态分布的实际应用【典例17（2024江西南昌二模）一条生产电阻的生产线，生产正常时，生产的电阻阻值X（单位:C）服从正态分布N（100OK?）.生产正常时，从这条生产线生产的电阻中抽取2只，求这两只电阻的阻值在区间（995,1000和（1005,1010内各一只的概率；（精确到0.001）根据统计学的知识，从服从正态分布N%q2）的总体中抽取容量为的样本，则这个样本的平均数服从正态分布NS某时刻，质检员从生产线上抽取5只电阻，测得阻值分别为：100

10、0,1007,1012,1013,1013（单位：Q）.你认为这时生产线生产正常吗？说明理由.（参考数据：若XN（m02）,则P（-X+y）0.6826,P（-2X+2）0.9544,P（-3Xjw+3）0.9974.）【典例18（23-24高三下山东开学考试）某小区在2024年的元旦举办了联欢会，现场来了100O位居民.联欢会临近结束时，物业公司从现场随机抽取了20位幸运居民进入摸奖环节，这20位幸运居民的年龄用随机变量X表示，且XN（45,225）.请你估计现场年龄不低于60岁的人数（四舍五入取整数）；奖品分为一等奖和二等奖，已知每个人摸到一等奖的概率为40%,摸到二等奖的概率为60%,每

11、个人摸奖相互独立，设恰好有（020）个人摸到一等奖的概率为尸（），求当Pe）取得最大值时的值.附：若XN（4，/），则PX-4lb=06827,RlX-42c=0.9545.【规律方法】解决正态分布问题有三个关键点：（1）对称轴X=B;（2）标准差。；（3）分布区间.利用对称性可求指定范围内的概率值；由U,。，分布区间的特征进行转化，使分布区间转化为3。特殊区间，从而求出所求概率.注意只有在标准正态分布下对称轴才为x=0.考点10概率分布的综合问题【典例19（23-24高二下河北邯郸期中）某工厂引进新的生产设备M,为对其进行评估，从设备“生产零件的流水线上随机抽取100件零件作为样本，测量其直

12、径后，整理得到下表：直径mm5859616263646566676869707173合计件数11356193318442121100经计算，样本的平均值=65,标准差。=2.2,以频率值作为概率的估计值.为评判设备M生产零件的性能，从该设备加工的零件中任意抽取一件，记其直径为X,并根据以下不等式进行评判(P表示相应事件的概率)；P(-X+)0.6826,(2)P(-2X+2)0.9544；(3)P(-3X+3)0.9974.评判规则为：若同时满足上述三个不等式，则设备等级为甲；仅满足其中两个，则等级为乙；若仅满足其中一个，则等级为丙；若全部不满足，则等级为丁，试判断设备M的性能等级.将直径小于

13、等于-2。或直径大于+的零件认为是次品.从样本中随意抽取2件零件，再从设备M的生产流水线上随意抽取2件零件，计算其中次品总数丫的数学期望E(Y).【典例20(23-24高三上江苏扬州期末)某保险公司有一款保险产品，该产品今年保费为200元/人，赔付金额为5万元/人.假设该保险产品的客户为100Oo名，每人被赔付的概率均为0.25%,记10000名客户中获得赔偿的人数为X.求E(X),并计算该公司今年这一款保险产品利润的期望；(2)二项分布是离散型的，而正态分布皓连续型的，它们是不同的概率分布，但是，随着二项分布的试验次数的增加，二项分布折线图与正态分布曲线几乎一致，所以当试验次数较大时，可以利

14、用正态分布处理二项分布的相关概率计算问题，我们知道若X3(几P),则。(X)=叩(l-p),当较大且。较小时，我们为了简化计算，常用E(X)的值估算。(X)的值.请根据上述信息，求：该公司今年这一款保险产品利润为50100万元的概率；该公司今年这一款保险产品亏损的概率.参考数据：若X(,2),则P(4-bX4+b)0.683,P(4-3X+3cr)0.997.【总结提升】假设检验是就正态总体而言的，进行假设检验可归结为如下三步：提出统计假设，统计假设里的变量服从正态分布N(,。2).确定一次试验中的取值a是否落入区间(P3。，口+3。内.作出判断：如果a(p-3,+3,则接受统计假设.如果a和

15、一3。,+3,则拒绝统计假设.真题探秘,1. (2021全国统考高考真题)某物理量的测量结果服从正态分布N(IOQ2),下列结论中不正确的是()A.。越小，该物理量在一次测量中在(9.9,10.1)的概率越大B.该物理量在一次测量中大于10的概率为0.5C.该物理量在一次测量中小于9.99与大于10.01的概率相等D.该物理量在一次测量中落在(9.9,10.2)与落在(10,10.3)的概率相等2. (2015山东高考真题)已知某批零件的长度误差(单位：亳米)服从正态分布N(OJ?),从中随机取一件，其长度误差落在区间(3,6)内的概率为(附：若随机变量S服从正态分布N(5)，则p(4-b4+

16、b)=68.26%,P(z-2z+2)=95.44%.)A.4.56%B.13.59%C.27.18%D.31.74%3. (2022全国统考高考真题)已知随机变量X服从正态分布N(2,)，且P(22.5)=.一、单选题1. (23-24高二下湖南期中)已知随机变量X服从正态分布N(3,2),若P(Xm)=P(X4-2z),则m=()A.-1B.-2C.2D.12. (2024河北二模)已知随机变量X服从正态分布N(2,/)(bo),则”=，是“P(X)+P(Xm+2)=l”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件3. （2024福建三明三模）随机变量函数

17、/（）=2-4x+J没有零点的概率是，则的值为（）A.1B.2C.3D.44. （22-23高二下上海崇明期末）某校高中三年级1600名学生参加了区第二次高考模拟统一考试，已知数学考试成绩X服从正态分布N（Io0,）（试卷满分为15。分），统计结果显示，数学考试成绩在80分到120分之间的人数约为总人数的;，则此次统考中成绩不低于120分的学生人数约为（）4A.200B.150C.250D.100二、多选题5. （2024全国模拟预测）设随机变量4N（Q2/b0）,则（）A.正态曲线关于X=对称B.正态曲线随着的变化而上下波动C.设随机变量XN（3,9）,则3D.正态曲线与X轴之间的面积为16

18、.（22-23高二下江苏单元测试）“世界杂交水稻之父”袁隆平一生致力于杂交水稻技术的研究、应用与推广，发明了“三系法釉型杂交水稻，成功研究出“两系法”杂交水稻，创建了超级杂交稻技术体系，为我国粮食安全、农业科学发展和世界粮食供给做出了杰出贡献.某杂交水稻种植研究所调查某地水稻的株高，得出株高（单位：Cm）服从正态分布，其正态密度函数为/（%）=1(100)2e_20010后x（o,x）,则下列说法正确的是（）附:若随机变量X服从正态分布N（外2）,则P（X+）0.683,P（-2X+2b）0.954,P（ju3X3）0.997A.该地水稻的平均株高为100emB.该地水稻株高的方差为10C.随

19、机测量一株水稻，其株高在120Cm及以上的概率比株高在70Cm及以下的概率大D.随机测量一株水稻，其株高在（80,90）和在（Io0,110）（单位：Cm）内的概率一样大三、填空题7. （2024高三上海专题练习）如图所示，该分布的025分位数为一.y8. (23-24高二下河北沧州期中)某工厂生产的袋装食盐的质量服从正态分布N(400q2)(质量单位：g).检验员根据质量将产品分为合格品和不合格品，其中J396,4O4的食盐为合格品，其他为不合格品，要使不合格率小于4.55%,则。的最大值为.(若久N(q2),则2(,g2b)=0.9545)9. (2324高二下福建福州期中)某企业生产一种

20、零部件，其质量指标介于(49.4,50.6)的为优品.技术改造前，该企业生产的该种零部件质量指标服从正态分布N(50,0.36)；技术改造后，该企业生产的同种零部件质量指标服从正态分布M50.0.04).那么，该企业生产的这种零部件技术改造后的优品率与技术改造前的优品率之差为.(若则P(IX-Kb)=0.6827,尸(|2b)=0.9545,P(X-3)=0.9973)四、解答题10. (2022高二全国专题练习)若一个正态分布的概率密度函数是一个偶函数，且该函数的最大值为孟(1)求该正态分布的概率密度函数的解析式；求正态总体在(-4,4的概率.11. (23-24高二上全国课后作业)已知某公

21、司人均月收入X服从正态分布，其密度函数图像如图所示.写出此公司人均月收入的密度函数的表达式；求此公司人均月收入在80008500元之间的人数所占的百分比.12. (23-24高二下浙江期中)某校团委组织学生开展了“全民迎亚运，学习当达人“知识竞赛活动，现从参加该活动的学生中随机抽取了100名，竞赛成绩(单位：分)分布如下:成绩(分)50,60)60,70)70,80)80,90)90,100人数62830324(1)求抽取的100名学生竞赛成绩的平均分了(同一组中数据用该组区间的中点值代替)；在参加该活动的学生中随机选取5名学生，求选取的5名学生中恰有3名学生竞赛成绩在区间60,70)u80,90)内的概率；以频率估计概率，发现参赛学生竞赛成绩X近似地服从正态分布N(q2),其中近似为样本平均分无近似为样本方差$2,按比例前16%的参赛学生可获得“学习达人”称号，己知甲同学竞赛成绩86分,试问他能否获得“学习达人”称号.参考数据：若X则p(4-b+b)o.6827,?(一2bX+2b)0.9545,P(-3X+3b)0.9973.