专题14 抛物线（解析版）.docx

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1、专题14抛物线目录一览2023真题展现考向一直线与抛物线真题考查解读近年真题对比考向一抛物线的性质考向二直线与抛物线命题规律解密名校模拟探源易错易混速记/二级结论速记考向一直线与抛物线1.（多选）（2023新高考II第10题）设O为坐标原点，直线y=-5（X-1）过抛物线C：y2=2px（p0）的焦点，且与。交于M,N两点，/为C的准线，则（）A. =2B. MN=gC.以MN为直径的圆与/相切D.AOMN为等腰三角形【答案】AC解：直线y=-5（X-I）过抛物线C：yP=2px（p0）的焦点，可得=1,所以p=2,所以A正确；抛物线方程为：9=4彳，与C交于M,N两点，直线方程代入抛物线方程

2、可得：3-10x+3=0,10xm+xn=y所以MN=xm+xn+p=卒所以8不正确；M,N的中点的横坐标：中点到抛物线的准线的距离为：1+：=（所以以MN为直径的圆与/相切，所以C正确：32-10x+3=0,不妨可得XM=3,Xn=py,M=-23,M=芋，IOM=9+12=21,TOM=木瑶=写,IMM=争所以4OWN不是等腰三角形，所以。不正确.真题考查解读,【命题意图】考查抛物线的定义、标准方程、儿何性质、直线与抛物线.考查运算求解能力、逻辑推导能力、分析问题与解决问题的能力、数形结合思想、化归与转化思想.【考查要点】抛物线的定义、方程、性质是高考常考内容，以小题出现，常规题，难度中等

3、.【得分要点】一、抛物线的定义平面内与一个定点F和一条定直线1（1不经过点Q距离相等的点的轨迹叫做抛物线.点尸叫做抛物线的焦点，直线1叫做抛物线的准线.注，在抛物线定义中，若去掉条件“1不经过点尸，点的轨迹还是抛物线吗？不一定是，若点尸在直线I上，点的轨迹是过点尸且垂直于直线1的直线.定义的实质可归纳为“一动三定”一个动点M一个定点及抛物线的焦点）；一条定直线（抛物线的准线）；一个定值（点好到点尸的距离与它到定直线1的距离之比等于1）.二、抛物线的方程及简单几何性质准线jr=f性质范围*20,yRjtO,yRjrR,y20xR,y0开口方向向右向左向上向下三、直线与抛物线的位置关系设直线Ity

4、=kx+mt抛物线：=2px(p0),将直线方程与抛物线方程联立整理成关于N的方程般+2(knp)x2=0.(1)若AO,当“0时,直线与抛物线相交，有两个交点；当4=0时,直线与抛物线相切，有一个交点；当40)的焦点的直线交抛物线于4(万，万),B(出,H)两点，那么线段四叫做焦点弦，如图：设四是过抛物线/=2Rr(P0)焦点尸的弦，若4(禹，/1),B(x2,，则I四I=Jn+花+P.(2)%度=一/(3) IAB=汨+石+p=si30(a是直线形的倾斜角).1 19(4)卤+卤=定值(户是抛物线的焦点).(5)求弦长问题的方法一般弦长：I羔I=#1+/|曷一股I,或I四I=/1+去|%一

5、.|焦点弦长：设过焦点的弦的端点为NGbJi),Ba,万)，则=与+乃+.B近年真题对比考向一抛物线的性质2.(多选)(2022新高考H)已知O为坐标原点，过抛物线C：=2px(p0)焦点/的直线与C交于A,B两点,其中4在第一象限，点M(p,0).若HFl=HM，则()A.直线AB的斜率为2EB.OB=OFC.AB4OF【解答】解：如图,D.NQAM+NOBMV1800(至返),422由抛物线焦点弦的性质可得XA八二正一，则XDxAxB4B等r，kAB=kAF=飞=26,故A正确；上，则B(2.,厚,IobIP_P420F=-tOBOF,故8错误;932H用=晋制+ph2p=4O,故C正确；

6、oa2=ob2am2=IbmI2=m=p.ioyioyVOA2+Afl2Ofl2,OB1+BM202,ZOAMf/08”均为锐角，可得NOAM+NO8MV180,故。正确.故选：ACD.A.1B.2C.22D.43. (2021新高考II)若抛物线)?=2力(p0)的焦点到直线y=x+l的距离为,则P=()【解答】解：抛物线=2pK(p0)的焦点(,0)到直线y=x+l的距离为5,恃-0+1I可得17=5,解得p=2.2故选：B.4. (2021新高考I)已知O为坐标原点，抛物线Cy2=2px(p0)的焦点为F,P为C上一点,PF与X轴垂直，。为X轴上一点，且PQ_1.oP.若FQ=6,则C的

7、准线方程为.【解答】解：法一：由题意，不妨设P在第一象限，则p),kop=2,PQYOP.所以kpQ=-所以PQ的方程为：y-p=-i-(x-J=O时，X=员,2IFQ=6,所以号号=6，解得P=3，所以抛物线的准线方程为：X=-旦.2法二：根据射影定理，可得/网2=尸OllFQ,可得2=冷乂6,解得p=3,因此，抛物线的准线方程为：x=-X2故答案为：X=-.2考向二直线与抛物线5. (多选)(2022新高考I)已知。为坐标原点，点A(1,1)在抛物线CW=2py(p0)上，过点B(0,-1)的直线交C于P,Q两点，则()A.C的准线为y=lB.直线AB与C相切C.IoPHoQlOA2D.B

8、PBQBA2【解答】解：点A(1,1)在抛物线C：x1=2py(p0)上，2p=1解得p=-,抛物线。的方程为了=)，准线方程为y=，选项A错误；y4由于A(I,1),B(0,-1),则ke=l-(-D=2,直线AB的方程为y=2-1,ABI-Qfy=91C联立.c，可得72x+l=0,解得工=1,故直线AB与抛物线C相切，选项B正确：X2=y根据对称性及选项8的分析，不妨设过点3的直线方程为y=依-】(Q2),与抛物线在第一象限交于P(XIy),Q(X2,1y2),联立消去y并整理可得；Aiv+1=0,则x+x2=k,xx=1,y=y1y2=(kx1-1)(kx2l)=kx1x2-k(X1+

9、x2)+l=l,IOPIIOQI=12+y1222+y22-42X1y12x2Y2=21x2y1y2=2=IOA12由于等号在Xl=A2=yi=)2=1时才能取到，故等号不成立，选项C正确；IBPllBQl=x12+(y1+l)2x22+(y2+l)2x12+4y1x+4y=Bx125x22-5(x172P=5=IBA1一.抛物线的标准方程（共1小题）1.（2023道里区校级二模）己知抛物线的顶点在原点，对称轴为X轴，且过点（-3,3）,则此抛物线的标准方程为.【解答】解：抛物线的顶点在原点，对称轴为X轴，且过点（-3,3）,设抛物线y2=-2px,可得9=6p,所以2p=3,所以抛物线的标准

10、方程V=-3x.故答案为：J=-3x.二.抛物线的性质（共39小题）2.（2023海淀区一模）已知抛物线y2=4x的焦点为凡点P在该抛物线上，且P的横坐标为4,则IPFl=（）A.2B.3C.4D.5【解答】解：Y抛物线方程为=4x,E=1,又点尸在该抛物线上，且P的横坐标为4,.PQ=品4=5故选：D.3.（2023润州区校级二模）图1是世界上单口径最大、灵敏度最高的射电望远镜“中国天眼”一一500加口径抛物面射电望远镜,反射面的主体是一个抛物面（抛物线绕其对称轴旋转所形成的曲面称为抛物面）,其边缘距离底部的落差约为156.25米，它的一个轴截面是一个开口向上的抛物线。的一部分，放入如图已知

11、该抛物线上点尸到底部水平线（X轴）距离为125?，则点尸到该选项。正确故选：BCD.命题规律解密根据近几年考题推测考查内容抛物线的定义、方程、性质，以小题出现，常规题，难度中等.2所示的平面直角坐标系xy内,抛物线焦点尸的距离为（）图1图2名校模拟探源A.225mB.215mC.300z?D.350加【解答】解：令抛物线方程为f=2Py且p0,由题设，(250,156.25)在抛物线上，则312.5=25()2,解得P蜷与二200，oJ1.O又P(XP,yp)且yp=125,则P到该抛物线焦点F的距离为yp号=125+100=225米故选：A.4. (2023郑州模拟)抛物线有条重要性质：从焦

12、点发出的光线，经过抛物线上的一点反射后，反射光线平行于抛物线的对称轴，反之，平行于抛物线对称轴的光线，经过抛物线上的一点反射后，反射光线经过该抛物线的焦点.已知抛物线C：E=2py(p0),一条平行于y轴的光线，经过点4(1,4),射向抛物线C的8处，经过抛物线C的反射，经过抛物线。的焦点凡若IABI+8Q=5,则抛物线。的准线方程是()【解答】解：由题意可知，抛物线的准线方程为y=上，y2根据抛物线的定义可知，抛物线上的点到焦点的距离和到准线的距离相等,所以IabI+bfI=4玲=5,得p=2,所以抛物线的准线方程为y=-1.故选：B.5. (2023红山区模拟)已知抛物线Cy1=2px(p

13、0)的焦点广到准线的距离为4,点M(X,y),N(十,)在抛物线C上，若(y2”)(y+2)=48,则-=()A.4B.2C.工D.工42【解答】解：抛物线Cy1=2px(p0)的焦点/到准线的距离为4,则p=4,C：y2=8x,依题意,yj-4yj=4g而y；=8x/4yg=32x2,故8l32X2=48,即8x+16=32x2+64,则w+2=4(x2+2),MFIal+2NFT=x2+24故选：A.6. （2023河南模拟）设尸为抛物线C/y2=2的焦点，点尸在抛物线上，点。在准线/上，满足PQX轴.若IPQI=IQ则IPQ=（）A.2B,23C.3D.33【解答】解：依题意有俨。|=|

14、。月=P,则APQ尸为等边三角形，又R2X轴，所以IPQ=IPQ=4OQ=2.故选：A.7. （2023四川模拟）抛物线CW=心的焦点为尸，直线-y+3=0与C交于A,B两点,则aAB尸的面积为（）A.4B.8C.12D.16【解答】解：Y抛物线Cf=4y的焦点尸为（0,1）,又易知直线x-y3=0与y轴交点尸为（0,3）,联立Iy-x+3,可得/4x72=0,lx2=4y解得W=-2,2=6,ZXAB尸的面积为春IPFI.-2I=Jx2X8=8,故选：B.8. （2023乌鲁木齐三模）“米”是象形字.数学探究课上，某同学用抛物线Ci：/=-2px（0）和Q：y2=2px（p0）构造了一个类似

15、“米”字型的图案，如图所示，若抛物线G,C2的焦点分别为rI,F2,点尸在抛物线。上，过点P作X轴的平行线交抛物线C2于点Q,若尸尸=3PQ=6,则P=（）【解答】解：因为3尸。=6,即PQ=2,由抛物线的对称性知XP=-1,由抛物线定义可知，IPFIl=-Xp，即6号-（-1），解得P=I0,故选：D.9. （2023平罗县校级模拟）已知抛物线Cy2=2（h的焦点为凡抛物线C上有一动点P,Q（6,5）,则P1+PQI的最小值为（）A.10B.16C.11D.26【解答】解：设抛物线C的准线为/,作PJU于T,由抛物线的定义知IPFl=IP71，所以，当P,Q,T三点共线时，IPQ+PQ有最小

16、值，最小值为6玲=11故选：C.10. （2023新疆模拟）己知抛物线y2=2px（p0）上任意一点到焦点尸的距离比到y轴的距离大1,则抛物线的标准方程为（）A.y2=xB.y2=ZrC.y2=4xD.y2=Sx【解答】解：抛物线的准线方程为X=-R,根据抛物线的定义可知，2抛物线。上任意一点到准线的距离比到y轴的距离大1,则多=1,所以，P=Z因此，抛物线C的方程为.y2=4x.故选：C.11. （2023河南模拟）已知抛物线夕=2工（p0）的准线为/,且点A（4,4）在抛物线上，则点A到准线I的距离为（）A.5B.4C.3D.2【解答】解：由题意知16=8p,所以p=2,所以抛物线方程为y

17、2=4x,则抛物线的准线I为x=l,所以点A到抛物线准线的距离为4-（-1）=5.故选：A.12. （2023海淀区校级三模）已知抛物线y=r2（0）,焦点尸到准线的距离为1,若点M在抛物线上，且M11=5,则点M的纵坐标为.【解答】解：抛物线的标准方程为2Jy,其焦点为F（O,一），准线方程为y=,a4a4a由抛物线的焦点产到准线的距离为1,得上-二1.可得a，2aia2所以，抛物线的标准方程为x2=2y,其准线方程为y=,设点M（刈，和），由抛物线的定义可得IMFI=y0卷=5,解得yo=故答案为：2.213. （20233月份模拟）已知点M为抛物线y2=8X上的动点，点N为圆f+（y-4

18、）2=5上的动点，则点M到y轴的距离与点M到点N的距离之和最小值为.【解答】解：己知点M为抛物线.y2=8x上的动点，点N为圆W+（y-4）2=5上的动点，由题意可得圆/+（y-4）2=5的圆心坐标为（0,4）,半径为g,抛物线y2=8x的焦点坐标为尸（2,0）,过M作MQ垂直丁轴交y轴于点Q,由抛物线的定义可得M2+fM=MFl+MM-2AFI-5-2=（2-0）2+（0-4）2-5-2=5-2*当且仅当A、M、N、产共线时取等号，则点M到y轴的距离与点M到点N的距离之和最小值为G-2.故答案为：5-2y14. （2023兴国县模拟）已知过抛物线C）2=2PX（P0）的焦点尸（1,0）的直线

19、与抛物线C交于A,8两点（A在第一象限），以AB为直径的圆E与抛物线C的准线相切于点ZZ若IADlslBD|，O为坐标原点，则4AOB的面积为（）A.2叵B.9叵C.担D.4333【解答】解：依题意，*=1,可得p=2,所以抛物线C的方程为y2=4x.依题意可知DE与抛物线的准线X=-1垂直，在直角三角形A8。中，D=3D,则NBA。=匹，ZABD=ZDEB=ZAFx=-,63所以直线AB的方程为y=5(X-I),由(丫：B(X-I),消去y并化简得3-10+3=0,y2=4x易得A0,XA+X8=I。，3则IABl=xa+xb+p=+2=,33原点(0,0)到直线E-y-E=O的距离d=1,

20、2所以So3=工48d=!X凶X返=至巨.215. (2023重庆模拟)已知点P为抛物线y1=2px(p0)上一动点，点Q为圆C：(x+l)2+(y-4)2Ap=P2C.p=2D.p=4B.P=I1上一动点，点广为抛物线的焦点，点。到y轴的距离为，若PQ+d的最小值为2,则P=()易知圆C：(x+l)2+Cy-4)2=1的圆心C(-1,4)，半径r=l,由抛物线的定义可知：点尸到)，轴的距离d=p-,所以IPQI+d=l尸Q+71-，由图可知：当C,Q,尸，尸共线，且P,Q在线段。尸之间时，PQ+P广最短，而ICfl=，号+1)2+42，故有IPQI+p-Z=ICFl-r-广2,即，S+4?-

21、l号=2，解得：P=4故选：D.16. (2023武昌区校级模拟)已知抛物线C：y=2+2和C：y=-2+a,若C和。2有且仅有两条公14切线人和/2,/1和Ci、C2分别相切于M,N点，/2与Ci、C2分别相切于P,Q两点，则线段PQ与MN()A.总是互相垂直B.总是互相平分C.总是互相垂直且平分D.上述说法均不正确【解答】解：抛物线C/y=x2+2=(+1)2-1,C2：y=-2+a.两曲线分别是y=/经过平移、对称变换得到的，则两曲线的大小与形状相同，且具有中心对称性，1和/2是它们的公切线，A和Ci、C2分别相切于“，N两点，/2和。、。2分别相切于H。两点，,N关于对称中心对称，P,

22、。关于对称中心对称，线段PQ与MN互相平分.故选：B.17. (2023武汉模拟)设抛物线)2=6彳的焦点为R准线为/,P是抛物线上位于第一象限内的一点，过尸作/的垂线，垂足为Q,若直线。尸的倾斜角为120,则IPfl=()A.3B.6C.9D.12【解答】解：设准线与X轴的交点为M,由题意可知，F（0）,准线/方程为x=-3,22在RtzQM”中，N。尸M=60,MF=3f=l=6,TPQ垂直于准线/,：.APQF=QFM=a,由抛物线的性质可知，IPQ=IPJAPQ为等边三角形，,PQ=IQFI=6.故选：B.18. （2023晋中二模）设尸为抛物线Cy2=M的焦点，点M在。上，点N在准线

23、/上且MN平行于彳轴，若WQ=IM川，则IMQ=（）A.返B.1C.D.433【解答】解：根据题意可得=2,抛物线焦点尸为（1,0）,准线/为X=-1,设准线/与X轴的交点为如图所示，由题知MN_1./,由抛物线的定义可知IMM=IMF1，因为INQ=IA/M，所以aMNF是正三角形，则在RlANEF中，因为MN/EF,所以NEFN=NMNF=60,所以IMA=INH=2EFl=2p=4.故选：D.19. （2023湖北模拟）在平面直角坐标系Xo），中，已知抛物线C:y2=4x的焦点为凡A,8是其准线上的两个动点，且41_1.反，线段胡，/8分别与抛物线C交于尸，Q两点，记aPQ/的面积为Si

24、,2A8F的S1I面积为S2,当-1.=JuI寸，A8=.$29【解答】解：设/PQ：x=ky+mfP（X1,y）、Q（必,联立直线PQ与抛物线方程得J2-4ky-4zn=0,则yI+）2=4%,yyz=-4m由朋J_FBIIJ得：PfQF=（X1-1,y1）（X2ly2）=2一（、1+乂2）+1+丫1丫2=即（Ja-I）（x2-1）=-yyit化简得病-6m+l=4必,y11-2y1-2y?又1PF：巴尸（1）,则Ya=定T同理为=方？可得.=卬：_）=-4,而且JpfHqfI皿_i_S2lFAFB-yAyB豆BpZ1y2=A.,所以?=工，d=_Z_-49981所以网=叱/斗学=上-2；（

25、丁?日运耳g;噜XITX2-1x1X2（xi+X2+生99故答案为：l.920. （2023包河区模拟）已知产为抛物线C：）2=我的交点，过尸作两条互相垂直的直线/,/2,直线/1与C交A,8两点，直线/2与C交于O,E两点，则依用+|。EI的最小值为.【解答】解：如图所示，/11/2,直线/1与C交于点A,Bt直线/2与C交于点O,E,要使A8+OE最小，则A与。，4,E关于X轴对称，即直线。七的斜率为1,又直线/2过点（1,0）,则直线/2的方程为：y=x-,y=-1联立方程组,整理可得：y1-4y-4=0设。(x)y),E(2,yi),y2=4x所以y+y2=4,川”=-4,则IDEl=

26、F（y1+y2）2-4y1y2=V216+16=&所以4B+QE的最小值为2Og=16,故答案为：16.21. （2023天山区校级模拟）已知抛物线C=4的焦点为广，其准线与轴的交点为K,过点F的直线与抛物线C相交于A,B两点,若Hfl-IBFI=/则聆=-【解答】解：由对称性，不妨设A在第一象限，设2由IAFI-IBFIv=:Se1+C温-=cseg由角平分线定理AK=!AF=2BKIbfI故答案为：2.22. （2023龙岗区校级一模）已知抛物线C：y2=4的焦点为F,准线为/,P是/上一点，PF交C于M,N两点，且满足而=2祚，则WA=.【解答】解：抛物线Cy2=4x,则学1，准线方程为

27、1.1,由于而=2祚，所以尸是MP的中点，设尸（1,Q,而尸（1,0）,所以M（3,7）,将M点坐标代入抛物线方程得P=12,不妨设七二蓊，则1（3,-23）.21.y0-0-2-o所以,整理得y02+4y0-4V3=0,设，y0）*由于例，N,产三点共线，V23-1yO14一1解得yS,（yj=-W舍去）,所以N仔，所以nfI+i故答案为:1.323. （2023江西模拟）用于加热水和食物的太阳灶应用了抛物线的光学性质：一束平行于抛物线对称轴的光线，经过抛物面（抛物线绕它的对称轴旋转所得到的曲而叫抛物面）的反射后，集中于它的焦点.用一过抛物线对称轴的平面截抛物面，将所截得的抛物线C放在平面直

28、角坐标系中，对称轴与X轴重合，顶点与原点重合，如图，若抛物线C的方程为）2=8x,平行于X轴的光线从点M（12,2）射出，经过C）A.6B.8C.229D.29【解答】解：由M(12,2),可得A的纵坐标为2,设A(n,2),则4=8，解得InV，由题意反射光线经过抛物线，=网的焦点(2,0),所以直线AB的方程为丫-0=36(-2)，整理可得y=-l(x-2),-232乙4y=(X-2)1由3,消去)，整理得2?-6+8=0,解得1=,x2=8,y2=8x则丫2=4(乂2-2)=-8所以8(8,-8)，所以IMBl=V(12-8尸+(2+8)2=2故选：C.24. (2023平江县校级模拟)

29、已知抛物线C：=4-,焦点为八点M是抛物线C上的动点，过点尸作直线Ca-1)x+y-2+l=0的垂线，垂足为尸，则MQ+MP的最小值为()A.5B.3C.5D.322【解答】解：抛物线。的方程为32=4%,：.F(1,0),抛物线C的准线方程为x=-1,Y方程(-1)x+y-2a+l=0可化为j-l=(1-)(X-2),工(-1)x+y-2+l=0过定点B(2,1),设尸(彳，y),设R8的中点为A,则A(,y)因为“_1.BP,P为垂足，IPAIIFBI=2y-t所以(XV)2+(y)2总，即点P的轨迹为以A为圆心，半径为返的圆，2过点M作准线k=-1的垂线，垂足为Mi,则IMMtI=IMJ

30、.MFMP=IMMll+1Mpl,又IMPlIHAI冬，当且仅当M，P，三点共线且P在A之间时等号成立，mf+mpmm1+MAy-过点A作准线X=-1的垂线，垂足为4,则IMHIl+maIAAi|您当且仅当川，陆A三点共线时等号成立，IMFl+Imp，当且仅当4,m，p,A四点共线且。在m,A之间时等号成立,所以MA+IMPl的最小值为昱亚，2故选：A.25. （2023张家口三模）已知产为抛物线&f=3的焦点，过户的直线/交抛物线。于A,8两点，若Hpl=入伊Pl=入，则入=()A.1B.3C.3D.42由抛物线C：=3彳的焦点F。，0），准线方程为=-,由抛物线的定义可得IBFI=IBBl

31、l=Xb+=1.所以，代入抛物线方程得y0=+近，aB4yB-2辱一。r,直线然的斜率为kAB=Hr=心44则直线AB方程为y=5(*),即y=2g,y=联立4,得167-40x+9=0,y2=3xxAxB=所以Xa=3=：则IAFl=XA联立y=3x得iy2=3x9xAxB=U,所以XA号冬-。r-，直线AB的斜率为kAB=Tzr=44则直线48方程为y=-5(,)，fjy=3x则IAFl=XA+号弓=3=;综上，入=3.故选：C.26. (2023商丘三模)已知抛物线C:y2=2px(p0)的准线为/：A=-1,焦点为凡过点尸的直线与抛物线交于P(x,y),Q(8，”)两点，点尸在/上的射

32、影为P,则下列结论错误的是()A.若j11+x2=5,则IPQl=7B.以P。为直径的圆与准线/相切C.设M(0,1),则IPM+PP12加D.过点M(0,1)与抛物线。有且仅有一个公共点的直线至多有2条【解答】解：因为抛物线Cy2=2px(p0)的准线为/：X=-1,所以一=T,即=2,所以抛物线C的方程为y2=4x,焦点尸(1,0),y=k(-1)若直线的斜率存在，设y=2(xl),由消去整理得F/(2F+4)x+必=0,1.y=4x对于A选项：若XI+2=5,则IPQ=XI+xz+2=7,故A选项正确；对于8选项：取PQ的中点N,N在，上的投影为N,。在/的投影为。，根据抛物线的性质IP

33、pl=IPQ,QQ,I=IQQ，NNl为梯形的中位线，故Inn，Ii(IPP1I+IqqI)pqI，故8选项正确;对于C选项：(o,1),pmI+pp1I=mpI+pfImfI=2,故。选项正确；对于。选项：过M(O,I)且与抛物线相切的直线有两条，过M(0,1)且与X轴平行的直线与抛物线相交有且有一个交点，所以至多有三条，故。选项错误.故选：D.2227. (2023徐汇区校级三模)已知抛物线C：/=-2py(p0)的焦点/与号=的一个焦点重合，过焦点尸的直线与C交于A,8两不同点，抛物线C在A,8两点处的切线相交于点M,且M的横坐标为4,则弦长|4阴=()A.16B.26C.14D.24【

34、解答】解：由题意可得，F(0,-2),则p=4,抛物线C的方程为了=-8y.设直线AB的方程为y=Ax-2,A(XI,y),B(2,y2)222其中yi=-3由y=2-,得y=2_.2.在点A处的切线方程为)，-y=-?(X-W),化简得y=-.r+露，同理可得在点B处的切线为y=-子、+巴|_,2联立得XW=-由M的横坐标为4,得xi+x2=8.2将48的方程代入抛物线方程，可得，+8日-16=0./.X1+X2=-82=8,得上=1.y+2=(x1+x2)-4=-18-4=-12.得48I=P-Cy+y2)=4-(-12)=16.故选：A.28. (2023琼海校级模拟)已知抛物线y2=2

35、px(p0)上的点H(m,2g)到其焦点的距禽为4,则P=A.1B.2C.3D.4【解答】解：因为点M（I11,2B）在y2=2px（p0）上，所以4p=2p/，得到机=2,又点M（2,2爪）到其焦点的距离为4,根据抛物线定义知2玲=4,得到P=4，故选：D.29. （2023沙坪坝区校级二模）己知抛物线y2=4X的准线过双曲线4_2万二1（a0,b0）的左焦点，点P为双曲线的渐近线和抛物线的一个公共点,若P到抛物线焦点的距离为5,则双曲线的方程为（）2o2AX21do2Sy1A-y=1b3x=1C.X2-y2=2D.2x2-2=1【解答】解：由题意知，抛物线y2=4x的准线方程为X=-1,所

36、以双曲线的左焦点坐标为（-1,0）,所以双曲线的C=1.又因为点夕为双曲线的渐近线和抛物线的一个公共点，若。到抛物线焦点的距离为5,所以p+l=5,所以注=4,代入抛物线方程即可得P（4,4）.因为P（4,4）在双曲线的渐近线方程y=上，所以=6,a又因为双曲线中，c2=a2,所以a2=b2=/所以双曲线的方程为：2?-2）2=1.30. （2023浙江模拟）已知抛物线C：V=4x的焦点为尸，直线/过焦点F与C交于A,B两点，以AB为直径的圆与轴交于。，E两点，且IDEl=生IabI，则直线/的斜率为（）5A.+返B.1C.2D.+工32【解答】解：设IA用=2r(2r24),48的中点为M,

37、MA1.1.y轴于点M过A,8作准线X=-1的垂线,垂足分别为Ai,Bi,如图所示.由抛物线的定义知2(IMNI+1)=AA+BB=AF-BF=AB=2r,则IMNI=r-1所以IDEI=2r2-(r-l)2=-r,D即16-50r+25=0,解得=I或=I(舍去)，r2r8设直线/：y=k(x-l),A得Arx2-(2d+4)x+d=O,故M的横坐标为旦.2(加，y),8(X2,y2),将y=1.(x-1)代人y2=4x,2则Xl+X2=Wtl=3,解得仁2故选：C.31.(2023香洲区校级模拟)首钢滑雪大跳台是冬奥史上第一座与工业旧址结合再利用的竞赛场馆，它的设计创造性地融入了敦煌壁画中

38、飞天的元素，建筑外形优美流畅，飘逸灵动，被形象地称为雪飞天.中国选手谷爱凌和苏翊鸣分别在此摘得女子自由式滑雪大跳台和男子单板滑雪大跳台比赛的金牌.雪飞天的助滑道可以看成一个线段PQ和段圆弧正组成，如图所示.假设圆弧版所在圆的方程为C：(x+25)2+(y-2)2=162,若某运动员在起跳点M以倾斜角为45。且与圆。相切的直线方向起跳，起跳后的飞行轨迹是一个对称轴在)，轴上的抛物线的一部分，如下图所示，则该抛物线的轨迹方程为()【解答】解：.某运动员在起跳点用以倾斜角为45且与圆C相切的直线方向起跳,/cm=1,，直线CM所在的方程为：y-2=-(a-+25),代入(x+25)2+(y-2)2=

39、162,解得X脂或0)的焦点，过点尸且倾斜角为60的直线交抛物线。于A,8两点，若I阳田3|=3,则P=【解答】解：由题意知/保0),A8的方程为y=5(-),代入C的方程，得3-5px+W*设A(x,Vl),B(X2，V2)，W1Jx+x2=-,2=-i34因为I则=R+W,尸身=R+2,且伊川/身=3,22所以(P-+)(P.+.V2)=3,整理得以+R(1+2)+XX2=3,2242所以乙+R至2+式_=3,结合p0,解得p=3.42342故答案为：1.233. (2023招远市模拟)设抛物线C：y2=2px(p0)的焦点为凡点D(p,0),过点尸的直线交C于M,N两点，直线用。垂直X轴

40、，IME=3,则INQ=.【解答】解：由题意得F华，0)，因为直线MQ垂直于X轴，D(p,0),准线方程为X=卡，所以M点的横坐标为p,设M(XIy),N(x2,J2),根据抛物线的定义知IHFI=Xl=p=3,解得P=2，则C：y2=4x,则尸（1,0）,可设直线MN的方程为1=阳Y=11y+1联立抛物线方程有0,Jiy2=-4,则（丫2）16x乂2口6则32x2=16，解得X则IMrl=X*4+故答案为：1.234. （2023武昌区校级模拟）已知直线/与抛物线C2=4交于a,B两点、（与坐标原点。均不重合），且OAJ_08,抛物线的焦点为F,记AA0BA40FZ0F的面积分别为Si,S2

41、,S3,若满足S=6S2+3S3,则直线/的方程为.【解答】解：由已知可设直线OA方程为），=依，又OA_1.O8,08方程为y=x，令y=0,得x=4,直线/与X轴交点M(4,0),149s2=3=sA三4-x1xI-4kI=2kA)F=71Ipl=KrSI=S龄B=S加m+Szu)b=x4X+4kI=*jkI1，.S1=6S2+3S3,8(+1)=12+6kt解得k=&，IKlIKlAB：y+4kk-(-4k2)l-k2直线/的方程y=&(-4),BP2xy-42=02-y-42=0.35. (2023保定三模)设。为坐标原点，点、A(2,4),B在抛物线丁=2川(pO)上，F为焦点、,M是线段8户上的点，且而=2而，则当直线。用的斜率最大时，点尸到OM的距离为()A.返B.返C.逅D,22343【解答】解：YA(2,4)在抛物线=2px(p0)上，p=2,则抛物线方程为2=8x,求得F(2,0),设M(X0,和)，当JoVO时，Atoa/0时，koM0.则要求直线OM的斜率的最大值，有加0.设8(n,)VBM=2MF*(xo-/nyo-n)=2(2-o,-yo),m=3x-4则,丁8在抛物线上，w2=8w,得9丫2=8(3o-4),n=3y0yO即=Iy2工xO8y0