专题02 方程与不等式（5大易错点分析+19个易错点+易错题通关）（江苏专用）（解析版）.docx

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1、专题02方程与不等式一元一次方程专题易错点：1 .理解方程的概念：一元一次方程只有一个未知数，且该未知数的次数为1。学生需要清楚地理解这个定义，才能正确地识别和构建一元一次方程。2 .移项问题：在解方程的过程中，学生可能会在移项时出错，例如将正数移到等号的右边时，忘记改变其符号，或者在移项时没有正确理解等式的性质。3 .去括号问题：去括号是解一元一次方程的重要步喉，但学生常常在执行这个步骤时出错，尤其是在处理负号和正号时。4 .合并同类项：合并同类项是解一元次方程的关键步骤之一，但学生可能会在执行这个步骤时出错，尤其是在处理正负号时。5 .系数化为1：在解一元一次方程的最后一步，学生需要将方程

2、的系数化为1,以找出未知数的值。但这个步骤可能会被学生忽略或执行错误。6 .理解并运用等式的性质：等式的性质是解元一次方程的基础，但学生可能没有完全理解这些性质，或者在应用这些性质时出错。易错点1：一元一次方程之古代问题例：九章算术是人类科学史上应用数学的“算经之首”，书中记载：今有人买鸡，人出九，盈十一：人出六，不足十六.问人数、物价各几何？意思是：有若干人一起买鸡，如果每人出9文钱，就多出Il文钱;如果每人出6文钱，就相差16文钱.买鸡的人数、鸡的总价各是多少？若设鸡的总价是X文钱，根据题意列一元一次方程正确的是（）X-16x+11Cx-11x+16A.=B.=6969Cx+11x-16x

3、-11x+16C.=D.=6996【答案】A【分析】本题考查了元一次方程的应用，找出等量关系是解答本题的关键.根据人数不变列方程即可.【详解】解：由题意，得：X-16x+1169故选：A.变式h九章算术中记载了一个问题，大意是：有几个人一起去买一件物品，每人出8钱，多3钱；每人出7钱，少4钱，问人数是多少？若设人数为-则可列方程.【答案】8x-3=7x4【分析】本题主要考查r-元次方程的应用，解题的关键是找出题目中的等量关系，设人数为心根据每人出8钱，多3钱；每人出7钱，少4钱，列出方程即可.【详解】解：设人数为X,根据题意得：8x-3=7x+4,故答案为：8x-3=7x+4.变式2,古代中国

4、的数学专著中有一题：“今有生丝三十斤，干之，耗三斤，今有干丝一十二斤，问生丝几何？”意思是”今有生丝30斤，干燥后耗损3斤，今有干丝12斤，问原有生丝多少？”40【答案】原有生丝为三斤.【分析】此题主要考查了元一次方程的应用，正确找到等量关系是解题关键.可设原有生丝为工斤，根据比值是一定的，列出方程计算即可求解.【详解】解：设原有生丝为X斤，根据题意得：X301230-3,40解得：X=三，40答：原有生丝为/斤.易错点2：一元一次方程之行程问题例：A、B两地相距200千米，甲骑摩托车以40千米/时的速度从A地向B地行驶，半小时后乙开车以60千米/时的速度从A地向8地行驶，则当两人相距10千米

5、时，甲骑摩托车行驶的时间是()A.1小时B.1小时或1.5小时C.1小时或2小时D.1.5小时或2小时【答案】C【分析】本题考查元次方程解实际应用题，涉及行程问题，根据题意，分两种情况讨论，列方程求解即可得到答案，熟记路程=速度X时间是解决问题的关键.【详解】解：根据题意，分两种情况：是甲在乙前面时；是甲在乙后面时；当甲在乙前面时，设甲骑摩托车行驶的时间是X小时，则40x-60(x-05)=10,解得X=1；当甲在乙后面时，设甲骑摩托车行驶的时间是y小时，则60(x-0.5)-40x=10,解得x=2；，综上所述，甲骑摩托车行驶的时间是1小时或2小时，故选：C.变式1:甲，乙车同时从A地出发去

6、地3,两车均匀速而行，甲车到达3地后停止，乙车到达B地后停留4小时，再按照原速从8地出发返回A地，乙车返回A地后停止.已知两车距A地的距离(km)与所用的时间（三）的关系如图所示，当两车相距14Okm时，两车出发的时间为小时.【答案】7或12或不【分析】本题已考查了根据函数图象获取信息，元一次方程的应用；分别求得甲、乙两车的速度，结合函数图象，0X10,10Xl4,14y,列出一元一次方程，解方程，即可求解.500【详解】解：依题意，甲车的速度为市=30kmh,乙的速度为桨=50kmh,T10当0x10时，依题得，50x-30x=140,解得：x=7,当10x14时，500-30x=140,解

7、得：X=I2,当500-50(x-14)=3OX时，两车相遇，解得：x=15当14x三时，5(X)-5(X)-50(x-14)=14()即50(x74)=140,84解得：X=4综上所述，当两车相距14Okm时，两车出发的时间为7或12或1小时.4故答案为：7或12或(变式2：受北京冬奥会影响，小勇爱上了滑雪运动.一天，小勇在滑雪场训练滑雪，他从滑雪道顶端匀速滑到终点.第一次用了60秒；第二次比第一次速度提高了1米/秒，用了45秒.(1)求小勇第一次训练的速度是多少米/秒？(2)求所用时间秒)与速度W米/秒)的函数关系式；若要使所用时间不超过30秒，则速度应不低于多少米/秒？【答案】(1)3米

8、/秒(2)v=午；6米/秒【分析】本题考查了一元一次方程的应用及反比例函数的应用；(1)依据题意，根据两次滑雪路程相等，列出一元一次方程，解方程即可；(2)依据题意，求出从滑雪道顶端匀速滑到终点的路程，即可解决问题.【详解】(1)解：由题意，设小勇第一次训练的速度是X米/秒，则第二次训练的速度是(x+l)米/秒，.60x=45(x+l).解得：x=3,答：小勇第一次训练的速度是3米/秒.(2)从滑雪道顶端匀速滑到终点的路程为：60x3=180(米)，小勇从滑雪道顶端匀速滑到终点的平均速度为U米/秒，所用时间为f秒，180/.V=.当要使所用时间不超过30秒时，SPr6.要使所用时间不超过30秒

9、，则速度应不低于6米/秒.易错点3：一元一次方程之利润问题例：某商品提价25%经营了两个月后，销量大幅降低，若要恢第原价，则应降价().A.25B.25%C.20D.20%【答案】D【分析】本题考查元次方程的应用，解题的关键是读懂题意，找到等量关系列出方程.设应降价率为X,把原价看做单位“1”,可得关于X的方程式，求解可得答案.【详解】解:设应降价率为X，把原价看做单位T，则提价25%后为1+25%,再降价X后价格为(1+25%)(Ir),.(l+25%)(l-x)=l,解得x=20%.故答案为：D.变式h某商场将某种商品按成本提高60%标价，又以8折优惠卖出，结果每件商品仍可获利14元，则这

10、种商品的成本价是元【答案】50【分析】本题考查了一元一次方程的应用，理解题意，准确找出等量关系是解题的关键.设这种商品的成本价是1元，根据题意列出方程(1+60%)XXO.8T=I4,然后求解即可.【详解】解：设这种商品的成本价是X元，根据题意得，(l+60%)x0.8-x=14,解得X=50,答：这种商品的成本价是50元.故答案为：50变式2：一种商品按销售量分三部分制定销售单价，如下表：销售量单价不超过100件部分2.6元/件超过100件不超过300件部分2.2元/件超过300件部分2元/件若买100件花元，买260件花元；买350件花元；(2)某社团为举行活动花了568元买这种商品作为纪

11、念品，求购买这种商品多少件？若张强花了元(260),恰好购买0.45件这种商品，求的值.【答案】(1)260,612,800购买这种商品240件(3)的值为1000【分析】本题考查了一元一次方程的应用.(1)根据不同的档，求出购买不同件数的花费；(2)说先判断购买件数的范围，在根据所在档计算花费；（3）根据：=购买0.45件商品的花费，列出关于的方程，求解即可.【详解】（1）解：买100件花：2.6l=26O（元），买300件花：2.6x100+2.2x200=700（元），买350件花：2.6l+2.2200+250=800（元），故答案为：260,700,800；（2）解：设购买这种商品X

12、件，因为花费568700,所以购买的件数少于300件，260+2.2（/100）=568解得：x=240,答：购买这种商品240件；（3）解：当260700时，2.6xl（X）+2.2x200+2（0.45-300）=解得：n=1000,综上所述：的值为100O易错点4：一元一次方程之新定义例：在有理数范围内定义运算“：ab=a+-t如：】（-3）=l+=1=-1.如果2热=X（+1）成立，则X的值是（）A.-1B.5C.0D.3【答案】D【分析】此题主要考查了元一次方程，新定义运算，解题的关键是根据题意掌握新运算的规律.根据新定义1bna+F，将2x=X（+1）变形为方程，解之即可.【详解】

13、解：+一,Y_11_1：2fX=X（+1）可化为2H-=X4,.cx-l2H=X2去分母得，4+x-l=2x移项，合并同类项得，-x=-3解得：x=3.故选D.变式h对任意四个有理数4力,Gd,定义新运算：“r=ad-bc,若一2：一：+1=18,则X=.cd-54【答案】-1【分析】本题考查一元一次方程的应用，根据题意列出一元一次方程，解方程，即可求解.【详解】解：依题意，-8x+5（x+l）=18.去括号、合并同类项得T3x=13解得：x=-l,故答案为：-1.变式2,【阅读材料】在学习一元一次方程后，数学老师给出一个新定义：若X是关于X的一元一次方程0r+A=ogO）的解，y是关于y的方

14、程的解或所有解的其中一个解，且心y满足x+y=10,则称关于y的方程是关于”的一元一次方程的“友好方程例如：一元一次方程3x-2x-9=0的解是x=9,方程N=I的所有解是y=l或y=-l.当y=l时，+y=10,所以IyI=I是一元一次方程3x-2x-9=0的“友好方程”.【问题解决】（1）已知关于y的方程：2-2=4；N=3.请通过计算说明哪个方程是一元一次方程3x-2xT3=0的“友好方程”？若关于），的方程Iy-Il=I是关于X的一元一次方程1-智卫=4+1的“友好方程”，求。的值.【答案】IM=3是3x-2x-13=0的“友好方程”（2）74 4【分析】本题主要考查新定义下解一元一次

15、方程以及绝对值的应用，首先解得X的值，再分别求得y的值，进一步判断“友好方程”；（2）首先求得），的值，再分别求得与其“友好方程”的X的值，进一步求得即可.【详解】（1）解：由3x-2x-13=0,解得x=13,由2y-2=4,解得y=3,，不是3x-2x-13=0的“友好方程”.方程IyI=3的解是y=3或产-3.当尸-3时，-3+13=10,则是标-2文-13=0的“友好方程”.(2)方程卜-1|=1的解是)，=2或y=0.当y=2时，由题意，得K=K)-2=8,将x=8代入=+得8=+l,解得=j,当V=O时，由题意得X=I0,将X=Io代入无一=+l,10-1f=+l,解得。=二.33

16、45 7则的值为一或一.6 4二元一次方程组专题易错点：1 .对概念理解不清：学生可能没有完全理解二元一次方程组的定义和性质，导致在判断一个方程是否为二元一次方程时出错。2 .消元法与代入法的使用不当：在解二元一次方程组时，学生可能会错误地选择消元法或代入法，或者在实施这些方法时出错。3 .误解方程的解的含义：学生可能误解了方程的解的含义，认为解必须是一个具体的数值，而实际上，在一些情况下，方程的解可能是一个范围或者无解。4 .忽视实际意义：在解决与实际问题相关的二元一次方程组时，学生可能只关注数学上的解，而忽视了实际背景的限制条件，导致答案不符合实际情况。5 .计算错误：在解二元一次方程组的

17、过程中，学生可能会出现计算错误，导致最终答案不正确。易错点1：二元一次方程组的整体思想已知方程组ax+by=mcx+dy=nx=3的解为、Iy=2则方程组a(x+)+b(y-Y)=mc(xl)J(y-1)=7?的解为(D.X=-3y=-2【答案】Ax+l=3y-=2【详解】解：由题意，方程组ax+by=incx-vdy=nfx=3的解为y=2【分析】本题考查二元一次方程组解的定义；运用整体的思想是解题的关键.运用整体的思想，得解得的解满足:右行尔卜(x+D+H)T)方程组1.tz(x+l)+J(y-l)=wx+l=3y-1=2，解得x=2y=3故选：A21VV二，则+b的值为a2+b+ab=7

18、【答案】3【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，解一元一次方程.由+得：(+A)2+(+3-12=0,从而得至J(+b-3)(+b+4)=0,即可求解.【详解】解:a+/+=5a2+b+ab=l由+得：a2+b2+2ab+a+b=2,，(+Z?)2+(+Z)-12=0,/.(+b-3)(+6+4)=0,.*.+b-3=0或+8+4=0,.+b=3或Y,Ta,b为正实数,.*.a+b=3.故答案为：33(w+5)-2(w+3)=-l变式2：阅读材料：善于思考的乐乐同学在解方程组,=3y-7=4变式2：我国明朝有一位著名数学家叫程大位，他的书中有一道名题，说的是：“100个和尚分92个馒头,大和

19、尚每人吃三个，小和尚3人吃一个，问大、小和尚各多少人？”（1）请你列方程组求出大、小和尚各多少人；（2）重新修建寺庙需要和尚们向工地运送IO万块豉，若每篮子装20块豉，一个大和尚每次可担两篮子破，两个小和尚每次可抬一篮子砖，请问大小和尚们一起至少需要运送多少趟才能满足工地需要？【答案】（1）有22个大和尚，78个小和尚（2）61【分析】本题主要考查二元次方程组的运用，理解题目中的数量关系，掌握消元法解二元次方程组的方法是解题的关键.（1）设有X大和尚，有y个小和尚，根据100个和尚分92个馒头，大和尚每人吃三个，小和尚3人吃一个，列方程组求解；（2）先求得大小和尚们一起运送一趟，可以运砖166

20、0块，然后用10万除以1660即可求解.【详解】（I）解：设有X大和尚，有y个小和尚，根据题意得，x+y=100,3+y=92,（x=22解得:t=78答：有22个大和尚，78个小和尚.（2）解：依题意，大小和尚们一起运送一趟，可以运砖22202+78-20=1660（块），2l（XXXX）1660=60400,，大小和尚们起至少需要运送61趟才能满足工地需要.易错点3：二元一次方程组之方案问题例：小华准备购买单价分别为4元和5元的两种瓶装饮料，且每种瓶装饮料的购买数量不为0.若小华将50元恰好用完，则购买方案共有（）A.2种B.3种C.4种D.5种【答案】A【解析】略变式h陕西全民阅读工作深

21、入推进，书香社会建设进展明显，读书学习蔚然成风.某校为加强爱读书、读好书、善读书的阅读氛围，准备用720元购买图书展示架，可供选择的有A种展示架120元/个，8种展示架180元/个，在资金用尽且可以只买其中一种展示架的情况下，一共有种购买方案.【答案】3【分析】设购买A种展示架X个，B种展示架)，个，然后根据题意可分情况进行求解.【详解】解：设购买A种展示架X个，8种展示架)，个，由题意可分：当只购买A种展示架时，则有120x=720,解得：x=6；当只购买B种展示架时，则有180y=720,解得：y=4；X=3当购买A和B一起时，则120x+180y=720,解得：Iy=2综上所述：一共有3

22、种购买方案；故答案为3.【点睛】本题主要考查二元一次方程组的应用，熟练掌握二元一次方程组的应用是解题的关键.变式2,为了救援地震灾区，某市A、B两厂共同承接了生产500吨救灾物资任务，A厂生产量是B厂生产量的2倍少100吨，这批救灾物资将运往甲、乙两地，其中甲地需要物资240吨，乙地需要物资260吨，运(2)设这批物资从8厂运往甲地X吨，全部运往甲、乙两地的总运费为W元，求狡与X之间的函数关系式，并设计使总运费最少的调运方案；(3)当每吨运费降低。元，(0v15,且为整数)，若按照(2)中设计的调运方案运输，且总运费不超过5400元，求的最小值.【答案】300,200W=Yx+11100(0x

23、200),A厂运往甲地40吨，运往乙地260吨，8厂200吨全部运往甲地时费用最少.(3)0的最小值为10【分析】（I）设这批防疫物资A厂生产了。吨，8厂生产了b吨，根据题意列方程组解答即可；（2）根据题意得出W与工之间的函数关系式以及X的取值范围，再根据一次函数的性质解答即可：（3）根据题意以及（2）的结论可得W=TX+11000-500。，再根据次函数的性质以及列不等式解答即可.【详解】（1）解：设这批防疫物资A厂生产了。吨，3厂生产了b吨；+b=500a=2b-100解得:=3006=200答：这批防疫物资A厂生产了300吨，3厂生产了200吨;（2）如图，AB两厂调往甲、乙两地的数量如

24、下：目的地生产厂家甲乙A240Tx+60BX200-xw=20(240-x)+25(x+60)+15x24(200-x)=-4x+11000x0；,240-%0200-x0.0x200当x=200时运费最小所以总运费的方案是：A厂运往甲地40吨，运往乙地260吨，8厂200吨全部运往甲地时费用最少.（3）由（2）知：W=11000-500当x=200时，W及小=-4200+11000-500。=10300-500。,.10300-5006Z5400.9.8所以。的最小值为10.【点睛】本题考查了一次函数的应用，二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用，一次函数的最值问题，解答本题的关键在于读

25、懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列出方程和不等式求解.一元二次方程专题易错点：1 .判别式的理解：一元二次方程的判别式八二b?-4ac是一个重要的概念，但在理解上容易出错。学生需要明确判别式的意义，知道它决定了方程的根的类型（实根或虚根）和数量（一个或两个）。2 .公式法的应用：一元二次方程的求根公式是X=A。在使用时，学生需要确保判别式大于或等于0,否则不能使用公式法求解。同时，学生也需要注意公式的符号运算，避免出现计算错误。3 .因式分解法的应用：因式分解法是一元二次方程的一种解法，但学生在应用时常常无法正确地提取公因式或分组，导致分解错误。4 .移项和合并同类项：在解一元二次方程

26、时，移项和合并同类项是非常常见的步骤，但学生容易在移项时忘记改变符号，或者在合并同类项时出现计算错误。5 .根与系数的关系：对于一元二次方程的根，学生需要理解它们与系数之间的关系，如根的和等于系数的比，根的乘积等于常数项除以系数。这些关系在求解某些特殊方程时非常有用，但学生常常会忘记或者混治这些关系。易错点1：一元二次方程解的估算例：根据表格对应值:X1.11.21.31.4ax2+bx+c-3.59-2.16-0.710.76判断关于X的方程+6+c=o的一个解X的范围是（）D.无法判定A.1.1X1.2B.I.2x1.3C.1.3x1.4【答案】C【分析】本题主要考查估算一元二次方程的近似

27、解，关键观察函数值的变化.【详解】解：当X=I.3时，or2+Zzr+c=-0.71,当X=I.4时，ax2+bx+c=0.16f所以方程0+r+c=o的解的范围为.31.4,故选C.变式h根据下列表格的对应值，由此可判断方程M+12X-15=0必有一个解X满足1X-1I1.11.2x2+12x-15=0-26-2-0.590.84【答案】l.lxxl.l【分析】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解.利用表中数据得到X=1.l时,x2+12x-15=-0.590,则可判断/+12x-15=0时，有一个解满足l.lxvl.2.【详解】解：.x=l

28、.l时，x2+12x-I5=-0.590,.1.1xv1.2时，存在/+12x-15=0,即方程f+12x-15=0必有一个解X满足1.ICXCI.2,故答案为：l.lx1.2.变式2：阅读与思考：下面是小华求一元二次方程的近似解的过程.如图，这是一张长8cm、宽6cm的矩形纸板，将纸板四个角各剪去一个同样大小的正方形，可制成一个底面积是12cn的无盖长方体纸盒.小华在做这道题时，设剪去的正方形边长为XCm,列出关于X的方程(8-2x)(6-2x)=12,整理得炉7+9=0.他想知道剪去的边长到底是多少，下面是他的探索过程.探索方程的解:第二步:X1.51.61.71.8x2-7x+90.75

29、0.36-0.01-0.36因此：x.（1）请你帮助小华完成表格中未完成的部分，并写出X的范围；（2）通过以上探索，请直接估计出X的值.（结果保留一位小数）【答案】（1）3,-1,1,2,161.7,1.6%xT7?（2）?7?【分析】（1）第一步：代入x=l及x=2,可求出*-7+9的的值，进而可得出IVXV2;第二步：根据X=1.6及X=I.7时，2-7+9的值，进而可得出1.6x1.7;（2）由的结论，可得出X的值约为1.7.【详解】解：（1）第一步：当x=l时，2-7x913-+=,当x=2时，77x2992?T+=,lx2;第二步：当X=1.6时,2-7+9=036,当x=1.7时,

30、2-7x+9=-0.01,.*.1.6x=；(4)【拓展应用】如图某农场计划建造一个矩形养殖场，为充分利用现有资源，该矩形养殖场一面靠墙(墙的长度为15m),另外三面用栅栏围成，中间再用栅栏把它分成两个面积为1:2的矩形，栅栏的总长度为24m.当BF为多少时，矩形养殖场的总面积最大？最大值为多少？AEDBFC【答案】3(2)-1；大；1(3)1(4)当BF=4m,矩形养殖场的总面积最大，最大值为48mt【分析】本题主要考查了配方法的应用，熟练掌握配方法是解题的关键：(1)把原式利用配方法变形为-3)2+3,再仿照题意求解即可；(2)把原式利用配方法变形为-(x+lp+l,再仿照题意求解即可；(

31、3)把原式利用配方法变形为(x-2y+(y+l)2=O,再利用非负数的性质求解即可；24-3x(4)设KF=Arn,则B=28z=2Xm,则8C=3xm,进而求出A3=-m,则S矩形ABB=3x=-3(x-4)-48,据此可得答案.【详解】(1)解：x2-6x+12=(-6x+9)+3二(X-3)2+3,/(x-3)20,(x-3)2+33,，当x=3时，/-6x+12的最小值为3；(2)解：y=-X2-2x=-x2-2-1+1=-(x+l)+1V(x+l)2O,.-(x+l)2O,-(-V1)11.当X=T时，y=-d-2有最大值，最大值为1,故答案为：-1；大；1；(3)解：V-4x+2y

32、+5=0,.(x2-4x4)+(y2+2y+l)=0,/.(t-2)2+(-+1)2=O,V(x-2)2O,(y+l)2O,(-2)2=(y+l)2=0,.X-2=0,y+1=0,X=2,y=1,：.x+y=2-l=1；(4)解：设BF=Am,则CF=2BF=2xm,/.BC=3t11,24-3xeJ矩形46CD-=-3+24x=-3(x-4)2+48,V(x-4)20,-3(x-4)2O,-3(x-4)2+4848,/AD=BC=3x5f.*.O50答：第三季度（7月9月）该馆接待游客总量能达到50万人.易错点4：一元二次方程之营销问题例：某电商销售款进价为80元/台的电吹风，若按每台120元出售，当月可销售50台，经调查发现这款电吹风的售价每下降3元，其销售数量增加IO台.设售价为X元/台.若使该电商销售这款电吹风的利润为2500元，则可列方程为()A.(x-80)(50+IOx)=2500B.(x-120)(50IOx)=