压轴题01集合新定义、函数与导数13题型汇总 （教师版）.docx

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1、压轴题Ol集合新定义、函数与导数13题型汇总压轴题解读命题预测本专题考查类型主要涉及点为集合、函数、导数的综合类型，尤其以新定义为主，同时包含了多个知识点的综合问题预计2024年后命题会再新定义以及知识点的综合方面进行考察。高频考法题型Ol函数导数与数列结合题型02构造法比较函数的大小题型03抽象函数问题题型04同构相关问题题型05函数性质综合问题题型06放缩与裂项相消法的运用题型07集合新定义问题题型08函数新定义问题题型09集合、函数与数列结合新定义问题题型10函数新考点问题题型11多个函数数形结合问题题型12函数最值与取值范围问题题型13三角函数与导数结合问题高分必抢题型01函数导数与数

2、列结合数列与导函数结合的题目，关键是找到两者间的递推关系或通项关系，理解数列的规律，即研究透通项，利用数列的求和方法求出对应数列的和即可。1 .(23-24高三下浙江开学考试)已知函数/(x)满足f(%)=f(l-x)J(x)为/(x)的导因数lgW=f,M+R.若6=g(凝)，则数列rl的前2023项和为.【答案】等【分析】由)=f(I-X),可得f3=-zd-X),从而得。(幻+g(i-幻=然后利用倒序相加法从而可求解.【详解】由题意知幻=/(1-)，所以尸(幻=一洋(1-),即广(幻+(l-)=,又因为g()=f,W+,所以g(%)+g(D=f,M+/(IT)+鸿，所以由+&+%+.+W

3、ON=g(意+9G)+g(j)+g(瑞)，%+。2+。3+.+&2023=9(翳)+9(翳)+9(黑)+9岛陶将两式相加可得：%+a?+。3+。2023=W=等.故答案为：等.【点睛】关键点点睛：本题主要是对)=f(I-X)求导后得fG)=-rd-无)，主要能够找到g(%)+g(i-%)=:的关系，再根据倒序相加法从而可求解.2. (2024安徽芜湖二模)在数列%l中，Sn为其前n项和，首项QI=1,且函数f(%)=x3-n+1sinx+(2%I+l)x+1的导函数有唯一零点，则Ss=()A.26B.63C.57D.25【答案】C【分析】计算尸(外，分析/(无)的奇偶性，可判断零点取值，代入计

4、算可得即的递推关系，求出前5项，计算求和即可.【详解】因为F(X)=x3-an+1sinx+(211+l)x+l,所以f(幻=3x2-11+1cosx+(2n+1),由题意可知：Jra)=0有唯一零点.令g(%)=f,Cx)=3/-11+1cosx+(211+1),可知g(x)为偶函数且有唯一零点，则此零点只能为0,BPg(O)=0,代入化简可得：n+1=2n+l,又=1,所以a2=3,03=7,。4=15,。5=31,所以S5=57.故选：C3. (2024浙江二模)已知函数fG)满足对任意的y(1,+8)且y都有f(言;)=f(；)一f(；)，若an=f(n2+5n+5),neN*,则%+

5、a2+a3+-+a2024=()A(三)B(三)C.f(黑)DJ篇【答案】D【分析】根据/O=/(；)-/G)将g=f(金)=f岛)-f岛)，再用裂项相消法求四+W。3+,+。2024的值(n+2)-(n+3)1l-(n+2)(n+3)-n2+5n+S【详解】函数/(%)满足对任意的x,yE(1,+8)且y都有/)=Q)-).x=n2,y=n+3,贝患=*%=fG11)=/七)-f岛)/.1+2+3+2024=Q)-Q)+Q)-Q)+()-r()=f(9-f()=f(1-3X2027.故选：D【点睛】关键点点睛：本题主要考查数列的求和问题，关键是理解数列的规律，即研究透通项，本题的关键是将通项

6、分析为：an=f()=()岛).4. (2024上海闵行二模)已知定义在(0,+8)上的函数y=f(%)的表达式为f(%)=sin%-xcosx,其所有的零点按从小到大的顺序组成数列f(1.几N)(1)求函数y=fG)在区间(0,11)上的值域；(2)求证：函数y=/(%)在区间511,(n+l)11)(nl,nN)上有且仅有一个零点；(3)求证：11xn+1-xnO,即函数y=f(外在区间(0,11)上是严格增函数，且f(O)=,f(11)=11I所以/(%)在区间(OF)上的值域为(0,11).(2)当x(n11,S+l)11)时，当是偶数时,f8O,函数y=f(外在区间(n11,m+l)

7、11)上是严格增函数；当是奇数时，尸(幻O,函数y=f(外在区间(n11,m+D11)上是严格减函数;且f(n11)=(-l)n1n11,故f(1111)/(11+l)11)=-n(n+l)112O,所以由零点存在定理可知，函数y=f(%)在区间(n11,S+D11)上有且仅有一个零点.(3)(2)可知函数/在S11,5+i)11)上有且仅有一个零点冷，且满足f(f)=sinxn-xncosxn=O,即tan%rt=xn(几何意义：Xn是V=tan%与y=X交点的横坐标)又因为f(+三)=(-Dn,iV()(n11+5)=-O,得tan(%n+-Qn+11)O所以“n+l(Xn+冗)即nV*n

8、+l%n；(或者tan/+1-tan(xn+11)=tanxn+1-tanxn=xn+1-xnO=ta11n+tan(xn+11)=xn+-n11)33因为tan(j+1.l+11)=:7=1y由(1)可知，当无w(0,。时,有Xtanx故“n+l,-(%n+TT)Vta11(xn+(Xn+R)V3所以%n+l-%nVn+：；由可知11Xn+1-Xn0),并令正整数i=1；求函数f()图象在(即f(4)处的切线在y轴上的截距Q“1;判断四+1。是否成立，若成立，执行第步；若不成立，跳至第步；令i=i+1,返回第步；结束算法，确定数列册的项依次为由,取，4+1.根据以上信息回答下列问题：求证：a

9、i+1=l-1;(2)是否存在实数Q使得g7l为等差数列，若存在,求出数列%l的项数九；若不存在，请说明理由.参考数据：e7+13.11.【答案】(1)证明见解析(2)=1=2+1ln=3【分析】(1)求出函数的导函数，利用导数的几何意义表示出切线方程，令=0,即可得证；(2)设其公差为d,依题意可得d=ai+1-ai=Inai-ai-l(1in),令g(%)=Inx-x-1,利用导数说明函数的单调性，即可得到d=g()最多有两个不同的根,从而得到册最多三项，设内、%、。3成等差数列，由等差中项的性质及(1)的结论，令Mx)=ex+1+lnx-l-2%利用导数说明函数的单调性，结合零点存在性定

10、理说明即可.【详解】(1)因为/(%)=所以函数y=/3)图象在(4,%)处的切线方程为y-八七)=Aa-%),即丫=A+Ina1.l,令X=。可得y=lnl-1，即切线与y轴的交点为(0,n4-1)，所以4+1=Inaf-1(2)若%为等差数列,设其公差为d,则d=ai+1-Oi=nai-ai-l(lin),令g(%)=Inx-%-1,则9口)=；I=号，所以当0VXV1时g0,当1时(%)0,所以九(外在(0,+8)上单调递增，又(W)=e7+1+1114-1-4=e2+1-3-4e2+1-325rffrlU-50,所以存在3(4,1),使得八Go)=0,即存在gWG，1),使得%+。3=

11、2a2,即即为等差数列，此时Q=1=e21f数列即的项数九=3.【点睛】关键点点睛：本题第一问关键是理解题意，利用导数的几何意义表示出切线方程，第二问关键是推导出这样的等差数列最多三项，再转化为函数的零点问题.题型02构造法比较函数的大小构造函数比较大小是高考热点和难点,结合代数式的特点，选择适当的函数，通过导函数研究出函数的单调性,从而比较出代数式的大小.6. (2024浙江台州二模)已知X,y为正实数，则可成为ky的充要条件的是()A.：V5B.%+InyVy+InxXyC.sinxsinyD.xcosy,则故A错误；对于B,由X+Inyy+InX可得：xInx0),Pa)=1，令门V0,

12、解得：0V%V1,则Fa)在(0,1)上单调递减，若XVyW(0,1),则F(y),故B错误；对于C,已知X,y为正实数，若无y,取=g,则SinX=sinyl故C错误；对于D,由XcosyyCoSX,则X+cosxy+cosy,令f(x)=x+cosx,则f(4)=1sinxOl即f()在定义域上递增，故XVy,反之Xy也有X-cosyy-cos成立，满足要求，故D正确.故选：D.7. (2024吉林延边一模)已知,夕均为锐角，且Ina-InR-夕)=CoSa-sin/?+1吗，则()A.SinaSinAB.cosacosC.cosasin/?D.snaIn(三-/?)-cos),构建函数f

13、(%)=Inx-cosx,%W(Oq),结合单调性可得进而可得结果.【详解】因为Ina-加C一?)=cosa-sin/?+ln三,贝Uncosa=In(i)-8s(i)+g,且In50,仅4)4一0(0弓)，可得InaCoSaIn-0)cosC-S),构建/=Inx-cosx,%W(OT)，可得fS)f(尸A)因为V=InX,y=一COSX在(OT)内单调递增,可知/在(Oq)内单调递增，则。Z1.且y=Sinx在(OT)内单调递增，y=cos%在仅岁)内单调递减，可得Sinasin(三-?)=CoSA,COSaIn(11-/?)-cos(尸0),进而构建函数f(x)=Inx-cosx,X(0

14、,h),结合函数单调性分析判断.8. (多选)(23-24高三上江西赣州期末)若正数Q,b满足Q+b=1,则()A.Iog2+log2b-2B.2+2fc22C.alnOD.sinasinb0,故f(x)在(0,1)单调递增Ja)f=0,即当X(0,l),lnx-x+l0,即1-bQ,解得b1,故匕(0,1)；故Inb-h+10,g(x)单调递增；当X,1)时,g,x0,g(x)单调递减；故g(x)的最大值为gG)=sin2：;由C可知，b(0,1),则Sinbsin(l一b)sinzcbB.bacC.cbaD.cab【答案】D【分析】构造f(幻=SiM-(x-x2x0,0.2f二次求导,得到

15、单调性，得到Sino2-016O,再变形得到C=n三I,故构造无(%)=Jn(1+%)-In(I-)-siM日。2,求导得到其单调性,比较出cQ，得到答案.【详解】设f(外=SinX-(-/),%0,0.2z(x)=COSX-1+2%,设g()=f,M,g,M=-SiM+20,所以g()g(0)=0,所以函数人均在0,0.2上单调递增，所以f(0.2)=sin0.2-(0.2-0.22)=sin0.2-0.16/(O)=O,即b.根据已知得C=扉扉看=扉言t可设九(X)=n(1+%)-In(I一初一SiMjw0,0.2,则九9=H+)-cosx=7cosx0，所以函数九(外在0,0.2上单调递

16、增，所以九(0.2)(0)=O,BPc.综上,cab.故选：D.【点睛】构造函数比较大小是高考热点和难点，结合代数式的特点，选择适当的函数，通过导函数研究出函数的单调性，从而比较出代数式的大小.10. (23-24高三下江苏苏州阶段练习)已知函数f=(l+x)-l-ax,其中-l,l.(1)讨论/(幻的单调性；(2)若0-l,a1l则丁(%)0,函数/()即函数g(%)在区间(-1,+8)上单调递增，又g(0)=/(O)=0,所以当-1X0B,M0时，ra)0,/a)在区间(0,+8)上单调递增；综上，fG)在区间(-1,0)上单调递减，/G)在区间(0,+8)上单调递增.(2)由已知0baa

17、baa,只要证明6%O,结合毫函数y=Xaf的性质得：当)六时，h，MO,Mx)在区间(仁)方,+8)上单调递减，即X=C)S时，函数Mx)取得最大值，从而只需证明匕言，变换得：;bab.即证ba-a*b,当OVa=6V1时，即=1,=a.bT成立，问题得证；当OVb1,则-1Vq-11由第(1)问知,当一IVXVO1时，f(%)在区间(TQ)上单调递减，/(x)=(1+x)-1-ax/(0)=0,也即(1+x)a1+ax,1Q_从而=1+(-1)7F1+二+b,其中1+a-l.l-a+b+a-l-b+ab-b2b(a-b)D=-1-a+b1-a+b1-a+b由于0ba0,abQl所以1+号一

18、0，得1+品b,从而bQl-+ftt问题得证.综上，若0bQV1,不等式Q。+MQ”+匕成立.题型03抽象函数问题对于含有XJ的抽象函数的一般解题思路是：观察函数关系，发现可利用的点，以及利用证明了的条件或者选项；抽象函数一般通过赋值法来确定、判断某些关系，特别是有y双变量，需要双赋值，可以得到一个或多个关系式，进而得到所需的关系，此过程中的难点是赋予哪些合适的值，这就需要观察题设条件以及选项来决定.11.(多选)(2024浙江台州二模)已知f(均是定义域为但无0的非常数函数，若对定义域内的任意实数X,y均有/(x)f(y)=f(xy)+g),则下列结论正确的是()AJ(I)=2Bja)的值域

19、为2,+8)C.W=Q)Df(x)是奇函数【答案】AC【分析】对于A:利用赋值法，令y=1代入运算即可；对于C:令X=1,代入运算即可；对于BD:举反例说明即可.【详解】对于A,令y=1,则/(l)f(%)=/W+f(x).可得f(l)f(%)=2(x)f且f(%)不恒为0,所以f(1)=2,故A正确；对于B,例如八幻=x+可知/(%)是定义域为%优0的非常数函数，四(My)=(X+3(y+3=(初+J+6+9=f(孙)+/6)，可知为=X+?符合题意，但f()=一21时JG)v1,则()AJa)为奇函数B.若f(2x+1)1,则-1x0C.若/=1则/(1024)=-4D.若f(以=2,则/

20、(表)=10【答案】C【分析】根据赋值法可得f(l)=1J(-l)=1,进而可得f(r)=f即可判断A,根据函数单调性的定义可判断y=/(x)(x0)在9+8)上为减函数，即可求解B,代值逐步求解即可判断CD.【详解】令尤=1,y=TJ(T)=/(Df(T)-1,所以f(1)=1；-1,y=-lt/(D=/(-D+/(-D-IJMf(T)=1.令y=-1,得f(一%)=f,故y=/(x)(x0)为偶函数A错误，任取勺，x2(0,+),/1,则f3)=/()-11r可得/(|2%+1|)/(1),故2x+1|1,解得一1V%0,且“B错误，若/(2)=则f(1024)=/(21)=/(29)+/

21、(2)-1=Iof-9=-4,C正确，若屋)=2，时侍)=2/(；)一1=3,/仔)=2/9)一1=5,f偿)=啕+退)T=6，所以f岛)=2f)-1=11,故D错误，故选：C.15.(多选)(2024全国模拟预测)已知函数f(x)及其导函数r(%)的定义域均为R,若fG)是奇函数,f(2)=一f(1)0,耳寸任意X,yRJ(%+y)=/(),(y)+,(x)f(y),JJ!)()A.l)=9B.f(9)=0C.鹉f(k)=1D.濯(=-1【答案】BD【分析】根据赋值法，结合原函数与导函数的对称性，奇、偶函数的定义、函数周期性进行求解即可.【详解】令=y=1,得f(2)=2(l)i),因为f(

22、2)=-/(D0,所以尸(I)=-I所以A错误；令y=1,得f+1)=,(D+/(初,所以faT)=令一乃/+,(-)d),因为/G)是奇函数，所以f(外是偶函数,所以/(1-x)=-f(x)f,(l)+f(%)(l)，由，得f(x+1)=2f(x)ff(l)+/(1-%)=-f(x)-f(x-1),即f(x+2)=-f(x+1)-/(x),所以/(%+3)=-/(x2)-f(x1)=f(x1)f(x)-f(x+1)=/(x),所以/(%),/(幻是周期为3的函数，所以f(9)=/(0)=0,E%(k)=/(1)+/(2)+r(3)6+Y(I)+/(2)=0,所以B正确，C错误；因为尸(2)=

23、f(-l)=f(D=-在中令=O得f(D=/(O)(1)+(O)(1),所以尸(O)=1,=(D+/(2)+z(3)X6+T(I)+尸(2)=-1,所以D正确.故选：BD.【点睛】对于可导函数/(%)有：奇函数的导数为偶函数偶函数的导数为奇函数若定义在R上的函数f(x)是可导函数，且周期为T,则其导函数尸(%)是周期函数，且周期也为T题型04同构相关问题同构几技巧：与/和InX相关的常见同构模型Qeablnb=elnebnb,构造函数/(%)=XInX或g(%)=xx;若=bnbea+Ineabnb,构造函数f(x)=xInx或g(x)=exx.16. (2024浙江台州二模)已知关于X的不等

24、式lnx+1q等恒成立，则实数a的取值范围是.【答案】l,+8)【分析】原不等式变形转化为n五+1)ax构造函数f(x)=x(2lnx+l),x0转化为/(三)/宇)恒成立,利用导数研究/(乃，可得e爸1，再分离参数即可得解.【洋解】原不等式=Inx1x2l11x+xx2=x(21nx+1)OXe2r构造函数/(%)=x(,2nx+l),xO,则/()f(e*2)/则/(%)=21nx+3,令尸(%)=21nx3=0,解得X故当oXe-JG)O,当丁O,所以/S)在上单调递减，在W+8)上单调递增，且/(/)=o,若W,Inx1O,Qae竽e4,所以f(4)/(e竽)成立，只需五e竽成立即可，

25、即Q手恒成立，令/I(X)=等，贝加)=詈，当X1时，h,(x)VO,当OO,所以九(%)在(M)上单调递增，在(1,+8)上单调递减，故九(%)max=MI)=1,所以。1.故答案为：l,+)【点睛】关键点点睛：本题的关键在于对不等式结构的观察，同构出函数f(x)=x(2lnx+1),转化为研究函数大致变化情况,再由对Q的分类讨论确定QO,且能得出e型e-,即可脱去,r转化为百e爸1恒成立，分参即可得解.17. (2024全国模拟预测)若关于第的不等式(e-D(n%+QX)XeaX一1在X1内有解，则正实数Q的取值范围是()A.(0,2+22B七C.(0,4D.匠/【答案】A【分析】将由不等

26、式转化为储一1)In(XeQ*)xeax1得到-I)Intt-l,令函数f=(e-Dr+1，问题转化为存在tW1.Ee0，使得人力O,利用导数求得函数f的单调性，结合f(l)=0,(e)=O,得到e且e1，即可求解.【详解】由不等式3T)(IM+QX)RaX-1，即储一DInGe仙)xeax-1令t=xeax,即有Q-I)Intt-l,又由QO,所以函数XeaxX0,+8)上单调递增，因为无,1,所以t=xeax1.Je,令/=Q-I)IntT+1，问题转化为存在tgele,使得f(t)O,因为尸=干,令/O,可得Ote-l;令尸3e-1,所以/在(0迫-1)上单调递增，在Q-1，+8)上单调

27、递减，又因为/=0(e)=(e-l)ne-e+l=O,所以当1te时J(t)O,若存在t睛，e。,使得人力。成立，只需ye且e1，解得Oa2+2n2,因为QO,所以a(0,2+22.故选：A.【点睛】方法技巧：已知函数零点(方程根)的个数，求参数的取值范围问题的三种常用方法：1.直接法，直接根据题设条件构建关于参数的不等式(组)，再通过解不等式(组)确定参数的取值范围；2、分离参数法,先分离参数，将问题转化成求函数值域问题加以解决；3、数形结合法，先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中作出函数的图象，然后数形结合求解.结论拓展：与J和InX相关的常见同构模型Qeablnb=ea,neablnb构造函数/(%)=XnX或g(%)=ex;v品iblnbealnabInb,构造函数f(x)=xInX或g(*)=xx.18. (2024全国模拟预测)若关于X的不等式a(lnx+Ina)2e?x在(0,+8)上恒成立，则实