教学设计-18.1.2平行四边形的判定”-三角形中位线定理.docx

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1、“三角形中位线定理”教学设计一、教学内容解析本节课选自人教版义务教育教科书数学八年级下册第十八章”18.1.2平行四边形的判定”中的探究“三角形中位线定理”，这是一节探究课。三角形中位线定理是三角形的重要性质定理，是对几何图形性质的研究，为概念性知识。在平行四边形单元中，属于平行四边形相关知识的应用。通过本节课的学习，强化直接运用平行四边形的性质定理和判定定理解决问题，避免再回到用三角形全等证明。在该探究中，首先需要引导学生经历实验、观察、猜想、归纳的过程，从平行四边形中看三角形，从而得到三角形中位线的定义以及中位线定理。接着应用平行四边形的知识对中位线定理进行证明。最后利用该定理进行应用。在

2、这一探究中，培养学生的探究精神，发展推理能力，体会归纳、类比、转化等数学思想方法，感悟合情推理和演绎推理在探究数学结论中的作用。本节课教学重点为三角形中位线的定义，三角形中位线定理。二、教学目标设置本节课的教学目标设置如下：（D通过具体数学问题的解决,会将研究平行四边形的问题转化为研究三角形的问题，会判断三角形中位线，发展化归与转化思想，发展几何直观，推理能力。（2）通过测量、观察、猜想，并证明三角形中位线定理，会用平行四边形的知识研究三角形中的有关问题，体会平行四边形知识的应用价值，进一步发展化归与转化思想，发展几何直观，空间观念和推理能力。（3）通过适当的课堂活动，会用三角形中位线定理解决

3、问题，加深对中位线定理的理解，发展应用意识和创新意识。本节课属于对几何图形性质的研究，从单元整体的角度上来看，是平行四边形性质定理和判定定理的应用。因此按照几何图形性质的研究路径：“定义一一性质（判定）一一应用”对三角形中位线定理进行探究，同时为该探究设立与平行四边形相关的具体情境，使同学能够更好的体会到从平行四边形中看三角形这一思路，并利用这一思路完成中位线定理的证明,从而提高平行四边形的相关知识的应用能力。达成目标（1）的标志是：能够结合平行四边形的性质利用全等三角形的性质及判定解决问题，归纳得出中位线的概念，能够判断某条线段是三角形的中位线。达成目标（2）的标志是：能够从图形变化的视角在

4、平行四边形中去看三角形，能够利用平行四边形的性质和判定定理完成三角形中位线定理的证明，并一题多解。达成目标（3）的标志是：能够应用三角形中位线定理解决相关问题。三、学生学情分析本节课之前，学生己经学习了三角形相关知识、全等三角形的性质及判定、平行四边形的性质定理和判定定理。在学习平行四边形相关内容中，学生已经会通过添加适当的辅助线，利用全等三角形的相关知识，将平行四边形问题转化为三角形问题。本节课的探究将反其道而行之，将三角形的问题转化为平行四边形相关的问题进行处理，利用之前学习过的习题引入，探索发现三角形的中位线，并引导学生利用之前的学习过的结论对三角形中位线定理进行证明。这种逆向思维是学生

5、需要理解突破的。本节课中，教学难点为如何从平行四边形中去看三角形，并利用平行四边形的性质和判定定理完成三角形中位线定理的证明。四、教学策略分析该节课作为应用平行四边形的知识探索和发现其他图形几何性质的一个典型，如何引入研究课题为该节课的一个难点。首先回顾几何图形的研究路径，再究习如何利用该路径研窕平行四边形，让学生回忆研究几何图形的“基本套路”。然后从之前学生对平行四边形探究习题中，利用平行四边形旋转变化的特例，从一般到特殊，给出三角形的中位线的概念。并可以利用该图形，引出三角形中位线定理的证明过程。接下来再通过对于该定理结论中数量关系的分析，给出其他的证明方法，并体会各种证明方法之间思路的迁

6、移。让学生从已知出发到探究未知，层层递进提升推理能力。之后通过对三角形中位线定理的应用，加深学生对三角形中位线定理的理解掌握，并能创造性的利用该定理解决实际问题。教学中强调教师的“引”和学生的“探”：“引”：本节课教师将引导学生从已知模型探究新模型，在运动中寻找不变关系，从合情推理到演绎推理，在掌握知识的基础上理解应用知识。“探”：在课堂的探索新知过程中，应充分发挥学生的主体作用，沿着图形性质研究的一般研究路径建构系统知识，让学生在老师的引导下，完成相关概念、知识的归纳，提高学生的抽象概括能力。让学生经历独立思考、动手实践、自主探索、合作交流的学习过程，积累活动经验，培养核心素养。在课堂目标检

7、测中，分为两个练习进行，体现不同的层次要求。练习1是检测学生对中位线定理中位置关系和数量关系的掌握程度。而练习二则进一步要求学生能够创造性的利用中位线定理对实际问题进行研究，能够根据实际情况，构造中位线解决问题。作业1、2为基础练习，体现了基础知识应用，3、4难度有所提升，为选做练习，5、6为探究练习，让不同认知基础的同学都能够得到相应的训练，从而得到不同的发展。五、教学过程设计（一）复习巩固，建构路径活动1：回顾几何图形的研究路径，并利用该路径复习平行四边形的性质与判定定理。问题1：几何图形的研究路径是什么？问题2：我们如何利用该研究路径对平行四边形进行学习？师生活动：教师提出问题，学生思考

8、后口答。【设计意图】通过复习几何图形的研究路径：定义、性质与判定定理、应用，建构研究几何图形的基本套路，再利用该研究路径复习平行四边形的性质与判定定理，让学生更加熟悉几何图形的性质所研究的要素。为本节课的学习打下基础。（二）创设情境，探究新知活动2：创设研究情境，引出本节课学习的知识：中位线的定义以及中位线定理问题3：请回顾上节课中课本P51习题14的拓广探索。在该木条从CA位置出发，绕点。顺时针旋转至DB位置的过程中，设该木条与AB.CO分别交于点P、Q（点P不与点A、8重合）我们可以得到哪些结论：师生活动：教师提出问题，学生思考后口答：4AP0/XCQO、BP0DQ0iBP=DQ.AP=C

9、Q.PO=QO（角的相关结论与本堂课主题无关，且结论较多，故略过）教师引导学生将结论进行分类。C【设计意图】回顾旧知，提供以平行四边形为背景的探究情境，为下面的进一步探究打下基础。问题4：在该木条从CA位置出发，绕点。顺时针旋转至。8位置的过程中，设该木条与A8、CQ分别交于点P、Q.(点P不与点A、8重合)(1)四边形BCQP的形状是如何变化的？(2)当点P位于何处时，四边形8C。户是平行四边形？解：(1)梯形一一平行四边形一一梯形(2)当点P位于A8中点时，四边形BeQP为平行四边形.ZXAPO丝ZSCQO,：.AP=CQ又尸为AB中点，.BP=AP：,BP=CQ,又：平行四边形ABCO中

10、，BP/QC四边形BCQP是平行四边形师生活动：学生先利用直尺在学案上进行操作，初步得到结论后，由学生上台，引导学生从平行四边形中看三角形，并利用几何画板，通过几何直观以实验、猜想方式得到答案,之后给出证明，此处证明只需利用之前结论口答大体思路即可。当点P位于AB中点时，由四边形BCQP是平行四边形可得到BC与PQ平行且相等,可以推出。户等于BC的一半，且。P与BC平行，关注特殊线段0P,设置如下问题，追问：此时，PO与AABC中的元素是否存在特殊关系？师生活动：教师以问题4第(2)问结论为基础，引导并提问线段的OP相关结论，并简要证明。学生回答结论：OPHBC,且。Q等于8C的一半。【设计意

11、图】通过对原探究问题的进一步深入探究，利用信息技术，通过实验观察、猜想归纳、论证的过程，引导学生从四边形中看三角形，通过图形的组成元素、元素间的关系的特殊化给出值得研究的新对象，通过适当的几何变换发现规律，获得猜想，进而创造性地发现和提出问题，得出三角形中位线的概念以及相关命题，在这一过程中发展学生的数学眼光、数学思维和数学语言，培养几何直观、推理能力等。活动3：归纳得出中位线的定义，得到其文字语言，并对其进行辨析。问题：特殊线段。P(定义为中位线)的文字语言表述？师生活动：学生总结中位线定义的文字语言，对中位线定义进行简单的辨析。追问1：一个三角形有几条中位线？答：3条，分别连接三边中点即可

12、得到。追问2：如何理解三角形的中位线的定义？定义可以做性质，也可以做判定。作为性质时我们有：若PO为aABC的中位线，则P、0分别为48、AC中点作为判定时我们有：若P、。分别为A8、AC中点，则P。为aABC的中位线【设计意图】由学生归纳中位线的定义，培养学生的归纳能力；引导学生进行三角形中位线的多元表征，并通过对中位线定义既可做性质也可做判定的辨析，使学生加深理解。活动4：归纳并证明三角形的中位线定理。 师生活动：同学归纳中位线定理的文字语言, 文字语言：三角形的中位线平行于第三条边, 己知：如图，AfiC, AP=BP, AO=CO.求证：OPBC,且。尸=LBC.2并将其改写为己知、求

13、证的形式。且等于第三条边的一半。一BC思路1：利用之前活动2的结论。在活动2的过程中我们先得到了平行四边形PBCQ,进而利用该平行四边形的性质得到了中位线定理的结论，这提供了中位线定理证明的思路。因此教师引导学生将三角形补全为平行四边形以利用活动2的证明方法，并整理思路，给出规范的书写。思路框架：添辅助线证三角形全等一一证明平行四边形一一得结论证明：过点A、C分别作8C、AB的平行线相交于点O,延长PO交Co点Q,CDAB：.ZPAO=ZQCo又YNAOP=/。，AO=CO：.A0PC0Q：,P0=Q0,AP=CQ,XVfiP=APIBP=CQ,又YBPCQ四边形BPQC是平行四边形：,PQ=

14、BC,PQ/BC又YPO=QO,OP=PQOP=-BC,且尸OBC2【设计意图】引导学生利用之前探究问题中的获得的活动经验，通过添加辅助线，还原平行四边形背景，完成中位线定理的证明。将需要解决的问题与之前探究问题中的结论进行转化，进一步理解转化的思想方法，学会利用旧知获得新知。教师板书推理过程，可以提高学生对推理过程书写的严谨性和逻辑连续性的理解。活动5：对三角形的中位线定理的归纳小结,证明完成后对教师对中位线定理进行归纳总结。中位线定理的三种语言表示：文字语言：三角形的中位线平行第三条边，且等于第三条边的一半。符号语言：如图若4ABC中，AP=BP,AO=CO.!lJOP/BC,KOP=-B

15、C2图形语言：中位线定理的注意点：1.特点一一题设：两个“中点”；结论：“平行”，“倍分”.2 .含义一一位置关系：平行；数量关系：倍分.3 .作用一一用来证明与“中点”、“平行”、“线段倍分”有关的问题.在这里强调中位线与三角形的其他三条重要线段的不同，中线、角平分线、高要么是只与三角形中的其他要素具有位置关系，要么只具有数量关系，而中位线两者兼有。【设计意图】首先，让学生复习并进一步熟悉三种语言的转化。另外对于中位线定理的总结可以进一步加深学生对中位线定理的理解，明确其特点，以及其适用于哪些问题。活动6：中位线定理证明的其他方法。追问：你是否还有其他方法来证明中位线定理。学生思考是否还有其

16、他的思路，并进行展示。教师进行引导、点评和总结。教师引导学生在几何证明时要注意转化思想，为了证明OP和8。的位置关系和数量关系，可以构造第三条线段进行问题转化为新的目标，得以解决。例如：由OP=LBC联想得到8U2OP,于是倍延OP至点Q,PQ即为第三条线段。2此时只需证明PQ与8C平行且相等，由此想到证明四边形BPQC是平行四边形，为此连接QC,接着可以与思路1基本相仿的思路完成证明。或者在该思路的基础上，连接PC、AQ,可得到教科书上的证明方法。师生活动：思路1由学生根据思路框架齐答，教师进行规范书写。其余思路由学生思考后展示，教师适当点评。【设计意图】理解掌握中位线定理的证明过程可以培养

17、学生的推理能力，理解如何利用已有结论解决未知问题。由学生思考展示其他方法，让学生从多角度进一步思考中位线定理证明的生成过程，如何添加辅助线，之前的证明方法能否给新方法以启示。进一步对推理能力进行培养，提高学生的转化思想运用能力以及创新能力。六、课堂教学目标检测活动1：课堂练习1：如图所示，在aABC中，。、E、产分别为A8、BC、AC中点，(1)在图中你能找到几个平行四边形？答：三个平行四边形：平行四边形AQEABDFE.DECF.【设计意图】检测学生能否掌握中位线定理中位置关系的应用。(2) ABC的周长与AOE厂的周长具有什么关系？它们的面积呢？答：的周长是尸的周长的两倍。448C的面积是

18、ADE厂的面积的四倍。【设计意图】检测学生能否掌握中位线定理中数量关系的应用。活动2：课堂练习2(1)如图，A,5两点被池塘隔开，在A,8外选一点C,连接AC和BC然后测出AC、8。的中点。，E.如果QE=200米，A,8两点间的距离为米，依据是.答案：400,三角形的中位线等于第三条边的一半(2)如图，,8两点被池塘隔开。你能否应用今天所学的中位线相关知识测出A,B两点间的距离？主要方法为：方案一是以AB为中位线定理中的三角形的第三条边来构造方案；方案二是以AB为三角形ABC的中位线来构造方案。方案1：BC中点。、解：在线段AB外取一点C,连接AC、BC,取AC、E,连接。邑测量OEO则AB

19、=2。邑方案2：解：在线段A8外取一点C,连接AC、BC,分别延长C4、CB至D、Ef使得CA=A。，CB=BE,连接。邑测量教师归纳总结：本题应用中位线定理时要想到是将目标视为三角形的第三条边还是中位线来构造方案。【设计意图】探究问题，检测学生能否对中位线定理熟练应用，特别是该定理数量关系中倍分关系的应用以及转移线段的作用。培养学生的应用意识和创新能力。七、课堂小结1 .本节课我们学习了哪些内容？中位线的定义中位线定理（性质）中位线的应用2 .我们经历了怎样的过程来发现中位线定理？实验观察一一猜想归纳一一论证。从四边形中看三角形。3 .我们是如何完成中位线定理的证明的，你有什么启发？利用旧知

20、证明新知，使用转化的思想方法。之前是利用三角形研究平行四边形的问题，逆向思维考虑如何利用平行四边形研究三角形的问题。4 .为什么教科书安排在平行四边形这一章节来学习三角形的中位线问题？需要平行四边形的相关知识完成三角形中位线定理的证明，三角形的中位线问题是平行四边形知识的应用。【设计意图】课堂小结问题1引导学生回顾本节课所教授的具体知识，并进一步使学生明确几何图形的研究路径，并启发学生在将来研究其他几何图形性质问题时也可遵循该路径进行探究。问题2引导学生明确几何图形的研究方法，并点出该节课与本单元之前内容的不同之处，从平行四边形中看三角形。问题3针对本节课的难点，中位线的证明部分进行小结，使学

21、生更加明确为了解决该难点我们所使用的方法。问题4呼应本节课开始时提出的疑问，使学生更加明确，三角形的中位线定理在平行四边形的单元整体中所处的位置。八、课后作业：A（基础练习）1.如图所示，在AABC中，D,E,尸分别是AH,BC,JCA的中点，连接AE、DE.EF、DF.L/WAEBC的,DEABC的；（请在“中线”、B乙-“中位线”中选择正确的词填入）（2）求证：AE与。户互相平分.（基础练习）2.人教版数学教科书八年级下册P50,习题5如图，QA8C。的对角线AC,8。交于点。，且F,G,”分别是AO,BO,C0,。的中点，求证：四边形EPGH是平行四边形.（选做练习）3.如图所示，点F,

22、G,H分别是四边形ABCD的边A8,BC,CD,AO的中点，求证：四边形FG”是平行四边形.（选做练习）4.如图所示，E,F,G,分别是A8,BC,CD,4。的中点，求证：四边形EFG是平行四边形.（探究练习）5.请你尝试使用学习过的知识，得到校园内一些不可直接测量的两点间距离.（探究练习）6.三角形中位线定理的证明，除了课上学习的方法外，你是否还有其他的方法，若有，请尝试着写出来.【设计意图】作业1为课堂目标检测练习1的延伸。复习、辨析中位线的定义，并对中位线定理进行应用，学生可以利用课堂目标检测练习1中的结论联想得到作业1第小题的结论，巩固从旧知到新知的思考方法。作业2考察中位线定理位置与数量关系的应用，为课堂目标检测练习1第（2）小题的延伸。作业3、4则需要学生构造中位线完成证明，难度有所提升。作业5为实际操作问题，希望学生能够学以致用。作业6则为课堂内容的延伸，希望促进学生的进一步思考。