重难点2-2抽象函数及其应用（8题型+满分技巧+限时检测）（解析版）.docx

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1、重难点22抽象函数及其应用8大:型抽象函数指没有给出函数的具体解析式,只给出了一些体现函数特征的式子的一个函数，由抽象函数构成的数学问题叫蝴象困数问题。抽象函数问题能综合考查学生对函数概念和各种性质的理解，但由于其表现形式的抽象性和多变性,学生往往无从下手,这类问题是高考的一个难点,也是近几年高考的热点之一。题型1抽象函数的定义域问题o、题型5抽象函数的单调性问题题型2抽象函数的求值问题e/1题型6抽象函数的奇偶性问题抽象函数及其应用题型3抽象函数的解析式问题一/J=题型7抽象函数的周期性问题题型4抽象函数的值域问题，题型8抽象函数的对称性问题【题型1抽象函数的定义域问题】满分技巧求抽象函数的

2、定义域已知/0)的定义域,求f(g(%)的定义域：若/(%)的定义域为。,团，则/(g(%)中Qg(%)bl解得X的取值范围即为f(g()的定义域；已知/(g()的定义域，求/(%)的定义域：若/(g()的定义域为&可，则由Q*匕确定g(%)的范围，即为/()的定义域；已知f(g()的定义域，求/(九(%)的定义域：可先由f(g(%)定义域求得f(%)的定义域，再由/()的定义域求得f(M%)的定义域；运算型的抽象函数求由有限个抽象函数经四则运算得到的函数的定义域，其解法是：先求出各个函数的定义域，再求交集.注意：求抽象函数的定义域，要明确定义域指的是X的取值范围，同一个/下括号内的范围是一样

3、的.【例1】(2023江苏徐州高三沛县湖西中学学业考试)已知函数y=/(；x+l卜勺定义域是2,4,则函数g(3l的定义域为()A.(2,3)B,(2,3C.(23)U(3,6D.(2,3)L(3,4【答案】A【解析】因为函数了=/(?+1)的定义域是2,4,所以2x4,所以2gx+l3,所以函数/(4)的定义域为2,3,所以要使函数g (%)2x3x-20,解得2vxv3,x-2l所以函数g(x)=帚、的定义域为(2,3),故选：A.【变式M(2023江苏镇江扬中市第二高级中学校考模拟预测)若函数y=(2x)的定义域为-2,4,则/(M的定义域为()A.212B.2,4C.4,4D.一8,8

4、【答案】C【解析】因为函数y=f(2x)的定义域为-2,4,则-2x4,可得-42xK8,所以，函数y=()的定义域为T8,对于函数y=f(M-(r)，则有:，解得TKX4,I-4S-XSo因此，函数y()r()的定义域为1)的定义域是.【答案】-2【解析】依题意，函数y=()的定义域是-2,3,所以对于函数y=(2x-l)来说，-22x-l3,-l2x4,-l(X23二20，解得；交，即，所以函数F(X)=/(2r-3)+7的定义域为(2,3J.【变式1-4(2023黑龙江哈尔滨高三哈尔滨市第三十二中学校校考阶段练习)已知函数/&+D的定义域是1-2,2,则函数/的定义域是.【答案】1,3【

5、解析】因为函数+D的定义域为-2,2,所以-2x2,则-lx+l3,所以函数/O)的定义域为T，3.【题型2抽象函数的求值问题】满分技巧以抽象函数为载体的求值问题的常见形式，是给出函数满足的特殊条件，指定求出某处的函数值或某抽象代数式的值。常用赋值法来解决，要从以下方面考虑：令X=0,1,2等特殊值求抽象函数的函数值。【例2】(2024.山西晋城统考一模)已知定义在(0,+8)上的函数/满足也,y(O,),U+y)=+f/(X)0,且f(l)(2)=5,贝()/=()x+yxy35A.IB.2C.-D.-22【答案】B13【解析】令=尸1,得/(2)=2/+-2,即/一2川)=一因/(2)=5

6、，联立解得：/(D=2pg(l)=-,又f(x)0,所以/(D=2.故选：B.【变式2-1】(2023陕西高三校联考阶段练习)已知函数/()的定义域为R,/(+y)=()+y),且/(1)=1fJJO/(2023)=()A.0B,2022C.2023D.2024【答案】C【解析】令1,解得f(+l)=f()+l,逐项带入/(2023)=f(2022)+l=f(2021)+2=f(2020)+3=(1)2022=2023,故选：C.【变式22】(2023.贵州遵义.高三校考阶段练习)已知函数/()满足/(+y)=)+(y)+2孙-1,则/(4)-4/(1)=()A.9B.10C.11D.12【答

7、案】A【解析】令=y=,得f(2)=2()+；令x=l,y=2,得/(3)=/+f(2)+3;令X=I,y=3得4)=1)+/+5.将以上三式相加得/(4)=44l)+9,gp(4)-4(l)=9,故选：A.【变式23】(2023.全国高三专题练习)设函数“力的定义域是(O,S),且对任意正实数工，y,都有3)=f(x)+f(y)恒成立，已知/(2)=1,则卜.【答案】7【解析】令y=2,得f(2x)=f(x)+f=(x)+l,所以7(2)=f(l)+l=l,解得/(1)=。，/(l)=(f+l=0,解得/(S=T【变式2-4】(2023湖北高三襄阳五中校联考期中)对于任意的实数工、Y,函数/

8、()满足关系式+y)=()+(2y),贝!J(2)=.【答案】0【解析】依题意,取x=y,有/(2幻=/(巧+/(2幻，则/(f)=0恒成立，取X=&,则2)=0.【题型3抽象函数的解析式问题】换元法：用中间变量表示原自变量X的代数式，从而求出f();凑合法：在已知/(gQ)=()的条件下，把Zi(X)并凑成以g()表示的代数式,再利用代换即可求/G)；待定系数法：已知函数类型，设定函数关系式，再由已知条件，求出出关系式中的未知系数；利用函数性质法：主要利用函数的奇偶性，求分段函数的解析式；赋值法：给自变量取特殊值，从而发现规律，求出f(%)的表达式;方程组法：一般等号左边有两个抽象函数(如/

9、(%),/(-%),将左边的两个抽象函数看成两个变量，变换变量构造一个方程,与原方程组成一个方程组，利用消元法求/(%)的解析式.【例3】(2023耘耘疝三玉耘季Sk)写出满京/(x-y)=(x)+(y)-2的函数的解析一式.【答案】/()=【解析】f(x-y)=(x)+(y)-2y中，令x=y=O,得/(O)=O；令y=x彳导f(x-H=(x)+(x)-2,K()+()=2,贝J(x)=2【变式31】(2024.海南海口.高一海南中学校考期末)已知函数/(x)的定义域为R,且“+y)+(-y)=2()(y)f/(0)=1,请写出满足条件的一个/(X)=(答案不唯一).【答案】1,COSX(答

10、案不唯一)【解析】令=o,贝U(y)+(-y)=2(o)(y),又A。)=1，所以力+-y)=2y),即f(-y)=(y),所以函数为偶函数，不妨取偶函数/(X)=I,则/(x+y)+x7)=l+l=2xlxl=2x)(y),也可取F(X)=COSX,贝JcosCr+y)+cos(x-y)=2cosxcosy,满足题意.故答案为：1,8SX(答案不唯一)【变式3-2(2023全国高三专题练习)定义在R上的函数/U)满足/(0)=0,并且对任意实数i,.V都有/(-y)=f()-y(2x-y+2),求/()的解析式.【答案】/(x)=+2x【解析】对任意实数X,j,/(x-y)=(x)-j(2x

11、-y2),令Y=X,得/(0)=(x)r(2xr+2),即f(0)=(-2),又/(0)=0,所以f(x)=Mx+2)=f+2x【变式3-3(2023江苏高一课时练习)设/(x)是R上的函数，/(0)=lf并且对于任意的实数X，)都有f(+y)=(y)+Mr+2y+),求/()【答案】/(x)=x2+xl【解析】由已知条件得/(0)=1,又/(+y)=f(y)+(x+2y+l),设y=T,则/(XT)=/(r)+x(+l)，所以1=/(-)-2+X即F(T)=2-+/./(x)=x2+x+.lB(+y)=2+2xy+j2+x+y+l,ff(y)+x(x+2y+)=x2+2x)+x+y2+y+=

12、f(x+y)t符合题设要求，故/(x)=f+x+L【题型4抽象函数的值域问题】【例4】(2024.全国高三专题练习)若函数y=(x)的值域是T3,则函数N(X)=3-2(x+l)的值域为一.【答案】卜3,5【解析】因为函数y=)的值域是T3,所以函数y=(+D的值域为,3,则尸-2(x+l)的值域为-6,2,所以函数g*)=3-2(x+l)的值域为-3,5.【变式4-112022.上海普陀高三曹杨二中校考阶段练习旧知定义在R上的函数/S)满足Q+l)=(x),若函数收)=(x)在区间1,2上的值域为-1,3,则且。)在区间【-3,5上的值域是.【答案】工刀【解析】因为/G)是R上周期为1的函数

13、，(x+l)=(x+l)-(x+l)=(x)-x-l=.g(x)-l,故对任意的整数&,当+l次+2时，x-k三,2而g(x)=g(l)-l=g(元-2)-2=g(x-k)-k.lg(x-Q-l,3,.g(x)e-l-Z,3-k,即xe%+l/+2,g(x)e-l4,3,故当X3,-2,g(x)e3,7,当x2,l,g(x)e2,6,当x,g(x)el,5,当xe,l,g(x)e,4,当xwl,2,g(x)dT,3,当xw2,3,g(x同-2,2,当工3,4送(力-3,当x4,5,g(x)e-4,.则g在-3,5的值域是g(x)-4,7【变式4-2(2022.江苏扬州高三统考阶段练习)已知g(

14、x)=(2x-1)+1,且g(x)的定义域为(1,4,值域为13,+，设函数/(X)的定义域为A、值域为B,则AB=()A.0B.4,7C.2,7D.2,|【答案】C【解析】因为析X)=F(2x-l)+l,且g(x)的定义域为(1,4,值域为3,+8),则/(2x7)的定义域为(1,4,值域为2,+e),由l),所以AS=2,7,故选：C.【变式43】(2023湖南.高三祁东县第一中学校联考阶段练习)(多选)已知函数/(X)的定义域和值域均为-3,3,则()A.函数/(1-2)的定义域为T,5B.函数的定义域为卜U)x-1C.函数“X-2)的值域为-3,3D.函数2a)的值域为。，且dT)=T

15、,则不等式/(f-8)占，则/(%)-/(W)=/(西一与)，因为当0时()0,所以/(mf)0,则/(x)s),所以/(X)在R上单调递增.由得也卜,所以41)=也卜也卜4冏=4./(x2-8)4qKt(x2-8)(l),所以Y-8l,解彳导一3vx0,则()王一赴A.34)4(3)B.函数y=组在区间(0,y)为增函数XC.函数y=MX”在区间(0,+8)为增函数D./(3x1+x2)+(+3x2)4(x1x2)【答案】ABD【解析】依题意，当用工”2时，恒有色W*),0,X-X2令芭=4,=3,则巨学20,3/(4)-4/(3)0,3/(4)4/(3),所以A选项正确.43不妨设。0),

16、鼠内)一鼠个卜也一皿=J(Xj芭人气).X内KIX2由于玉一9。，所以Wa)Tj(W)V。，所以g&)-g/)TJ。,g)。(百)-(9)=再/(%)-/(工2)的符号无法判断，所以y=4()的单调性无法判断，所以C选项错误.由上述分析可知，函数g(x)=(x0)在(O,+)为增函数，所以g(3X+w)g(+w),所以俨+?)心辿,/(3%+/)3豆(3%+目,3xl+x2xl+x2x1+x2同理g6+3叫Aga+再),所以z誓小EIja+3吐丝匕IG+3%),x1+3x2x1+x2x1+x2所以1(3+)+/(4+3/)/)(3%+/)+/1J)+(X+3与)=2l(4x142)=4(xi+

17、x2)i所以D选项正确.故选：ABDx+x2【变式5-2(2023江西上饶高三婺源县天佑中学校考期中)已知定义在R上的函数Ax)满足：对立，yeR,/(x+y)=(x)+(y)-l；当xO时，f(x)；/=3.(1)求/(0),判断并证明/S)的单调性；(2)若对任意的.rR,关于X的不等式/(以2)+/(2幻。，则工2)-/(XI)=f(f+内)-/(不)=工2-芭)+(N)-l-f(xJ=(Ti)T,因为x0时，/(),所以芭。，所以fO)在R上的单调递增.(2)令工=丁=1,得/(2)=门1)+/(1)-1=5,因为/。+丫)=/3+/(丁)一1,所以/。+)+1=/(*)+/(),不等

18、式/(加)+/(2x)6等价于f(2)+/(2x)=(x2+2x)+l6,即/(加+2工)5=/(2);因为f(x)在R上单调递增，所以+2x-20恒成立，。=0时，2x-20,解得xl,不等式并非在R上恒成立；a01”0时，只有A1o八满足条件，解得。-亍=4+8。l时，/()VO.(1)证明：人劝为减函数；0)若/()=2,求不等式a)+a-D+2o的解集.【答案】(1)证明见解析；(2)(1,2)【解析】(1)设由屿(0，内)，且须，则,xi因为电)一Fa)=/(三F)-)=(三)。，XX1所以/(w)0,令X=y=i,则/(I)=F+/，BPZ(I)=O,所以/生2一句/，又因为/S)

19、在Q+oo)上单调递减，x0所以b-10,解得lxv2,a12110一xxo.(1)求/(0)的值；(2)判断/(x)的单调性,并证明;(3)解关于大的不等式:心一(+2)x+(+y)+(-y)0【答案】(1)/()=0；(2)/(x)是R上的减函数，证明见解析；(3)答案见解析【解析】(1)因为函数/(X)对任意实数乂)恒有f(-y)+f(+y)=(2)成立，令X=O,y=o,贝U/(O)+f(0)=F(O),所以，(O)=0.(2)函数/(力为R上的减函数.证明:令X=O,贝J(-y)+f(y)=(0)=0,所以F(-y)=(y),故/(%)为奇函数.任取x,eR,且王“2,则M-X20,

20、所以/&一七)。，所以/6)=/(玉)+/(9)=/(寸+空)+/(空一空)=(-),即内)/(七)，所以/(x)是R上的减函数.(3)根据题意，可得/(*-(+2)x)T3+y)+3-y)=-(2)=(-24),由(2)知/(x)在R上单调递减，所以/一(+2口-2。,BPx2-(a+2)x+2a2时，原不等式的解集为(2,。)；当。=2时，原不等式的解集为0；当。2时，原不等式的解集为(。，2).【题型6抽象函数的奇偶性问题】满分奇偶性：抽象函数奇偶性判定的根本依据是函数奇偶性的定义，判断力和/(r)的关系.【丽6?五赢茶辐扇市鬼二市享乐承羸丽而、(画T丽丽蠢豆女茬RjM筋布勺偶函数，gW

21、是定义在R上不恒为。的奇函数，则()A./(/(X)为奇函数B.g(g(x)为奇函数c./(g(x)为偶函数Dg(f(x)为偶函数【答案】BCD【解析】由题意可知(f)=/(1),所以/(/(T)=/(/(，所以/(/(力)为偶函数，A项错误；由g()=-g(,得g(g(r)=g(-g(x)=-g(g(%),所以g(g(x)为奇函数，B项正确；因为/(g()=(-g(X)=/(g(x),所以/(g(M)为偶函数，C项正确；因为g(f(r)=g(x),所以g(x)为偶函数,D项正确.故选：BCD.【变式6-l(2023云南校联考模拟预测)(多选)已知/(x),g(x)都是定义在R上且不恒为O的函

22、数，则()A.y=()(T)为偶函数B.y=g(x)+g(r)为奇函数c.若g()为奇函数，/()为偶函数，则y=(g()为奇函数D.若“力为奇函数,g()为偶函数,则y=)r()为非奇非偶函数【答案】AD【解析】选项A:igA(x)=(x)(-x),因为/(x)是定义在R上的函数，所以网力的定义域为R,i(-x)=(-)(x)=(x),所以(可为偶函数，故A正确；选项B:G)=g(x)+g()，因为g(x)是定义在R上的函数，所以r(x)的定义域为RJ(T)=g(r)+g(x)=(x),所以/(x)为偶函数，故B错误；选项C：设加()=f(g(),因为/(X),g(x)都是定义在R上的函数，

23、所以MX)的定义域为R,因为g(x)为奇函数，/(x)为偶函数，所以Mr)=f(g(r)=f(r(x)=(g(x)=Mx),所以相(为偶函数，故C错误；选项D：设MX)=Fog(X)，因为/(x),g(x)都是定义在R上的函数，所以(力的定义域为Rw(x)w(-x)=(x)-g(x)(-x)-(-x)=(x)-g(x)-(x)-g(x)=-2g(x),因为g(“是不恒为。的函数，所以(同+(-力=0不恒成立，所以(x)不是奇函数(工)-(T)=/(x)-g(x)-()-g()=f(x)g(x)+f(x)+g(x)=2(x),因为/(x)是不恒为0的函数，所以(x)=(r)不恒成立，所以(刈不是

24、偶函数，所以U)是非奇非偶函数，故D正确，故选：AD.【变式6-2】(2023江苏扬州高三仪征市第二中学校考期中)已知U+y)+(x-y)=2(x)(y),且/(x)0,则“X)是()A.偶函数B.奇函数C,非奇非偶函数D.不能确定【答案】A【解析】取Ay=O,则2(0)=20)T,因为Fa)NO,所以/(O)=L取X=O,贝!jf(y)+f(-y)=2(0)(y)=2(y),即f(-y)=y)即函数/(x)是偶函数，故选：A【变式63X2023.重庆.高三统考阶段练习I多选)已知定义在R上的函数f(X)满足/(x+y)=MXy)+W*)定义在R上的函数g。)满足g*+l)=*+l)(f+2x

25、),贝I()A.7(X)不是奇函数B/(X)既是奇函数又是偶函数C.g*)是奇函数D.g(x)既不是奇因数又不是偶困数【答案】BC【解析】令Ar=O,得A。)=。,令y=o,得/()=9()=o,则/(T)=F(X)=-/a)=。,所以f(X)既是奇函数又是偶函数.由g(x+D=(x+l)(2+2)=+l)(x+l)2-1,得g(x)=f-,因为g(-x)=-g(x),所以g(x)是奇函数.故选：BC【变式6-4】(2023河北保定高三校联考阶段练习)已知定义在R上的函数/(x)满足f(y)=f()f(y)-f(x)-f(y)+2,/(0)0.(1)求/(。)，/6)的值；(2)判断/(x)的

26、奇偶性，并证明.【答案】(1)/(0)=lf/(1)=2f/(-1)=2；(2)偶函数，证明见解析【解析】(1)令“=0,得f(0)=(0)了-20)+2,因为/(0)2(T)+2,即Iy(T)了=2八-1),因为/(x)0,所以/(T)0,所以/(T)=2.(2)为偶函数.证明如下：令y=,得f()=f(-)f()-f()-f()+2,由(1)得f()=2(x)-2-5)+2,即/()=(x),又/(x)的定义域为R,所以，(力为偶函数.【题型7抽象函数的周期性问题】满分技巧函数周期性的常用结论(。是不为0的常数)(1)若/(x+)=(x),则T=a；(2)若x+a)=(x-),则T=2;(

27、3)g(x+)=-W，则丁二2；(4)若/()=为，则7=2。;(5)若/(工+。)=-为，则T=2。;(6)若f(x+a)=(x+Z?),则T=Ia4(ab),例7（2023河南高三校联考阶段练习）已知函数/“）的定义域为R,对任意实数X,都满足且/(x+l)=(x)f/(x)+(-x)=(0),当re(0,l)时，/)=5则/=（）【答案】C【解析】由+D=力X),W(x+2)=-(x+l)=(x)f可得/(x+2)=f(x),所以Fa)的周期为2.令X=O,代入/()+f(-)=(0),可得0)=0,所以W+(-)=o,故函数F(X)为奇函数,所以f(logs表)=f(Togs35)=(

28、IOg535)=(Iog5352)=/(log5因为01吗(U)=()A=IA.一3B.-2C.0D.1【答案】B【解析】因为F(X+y)+(-y)=()”y)且，(1)=目令y=,/(+)+(-)=(),则(x+2)+(x)=(x+l),(x+2)+(x-l)=0,即f(x+3)+f(x)=0,所以：/(x+3)=-Wrf(x+6)=-f(x+3)=f(x),所以函数/G)是周期为6的周期函数.在+y)+(-y)=(y)中，令=,产。，得MI)+/()=)f(o),则“0)=2；令=,y=,得42)+(o)=()f，则/(2)=T；由x+3)=-(x)得:/(3)=-(0)=-2,4)=-/

29、(I)=T,5)=-八2)=1,八6)=-3)=2,所以/+/(2)+(3)+(4)+(5)+(6)=0故由函数的周期性知A),(A=12，27)中,任意连续6个数之和为0,而27=6x4+3,所以fy（八）=f(l)+f(2)+3)=l-l-2=-2,故选：Bk【变式7-2(2024.福建厦门统考一模)已知函数/Q)的定义域为R,Vx,NGR,/(x+l)(y+l)=(x+y)-(x-y),若/(0)0,则/(2024)=()A . 2B . -4【答案】A【解析】令=y=o,得力/。)=/(0)-O)=O,即/=O,令=o,得f()f(y+)=f(y)-(7)=o,得“r)=(y),所以函

30、数f()为偶函数,令x=y=l,得r(2)=2)-/(0),令x=y=!得(0)=f(-2)-f(0)=f-f(0),/2(2)=Z2(O),=F(O)或/=-0),若f(2)=(0),解得f(O)=O与已知O)Ho矛盾，.(2)=-(0),即尸=22),解得2)=2,/(O)=-2,令y=,得/(+)2)=(x+)-41),2(x+l)=(x+l)-(x-l),(x+l)=-(-l),(x2)=-(x),/(x+4)=(x),所以函数人力的周期为4./(2024)=/(0)=-2,故选：A.【变式7-3】(2024.浙江宁波.高三统考期末)已知函数/(x)的定义域为R,且2024/(+y)(

31、)f(y)=(+y)-()-f(y),/=6,则之/仅)=()三lA.2024B,10123C.3D.0【答案】D【解析】由题意，在/()中，定义域为R(+y)f()f(y)=f(+y)T(X)-y),当=y=o时,/(o)(o)(o)=(o)-(o)-(o),解得:/(o)=o,当y=时，Z()()()=(+)-()-(),BP3(x+l)(x)=(x+l)-(x)-3当X=O时,(l)(0)=(l)-(0)-3f解得：/(1)=3,当X=I时，3(2)(l)=(2)-(l)-3,解得:/=-6,当x=2时，3(3)(2)=(3)-(2)-3,解得：/(3)=0f函数值周期性变化，周期为3,

32、V2024=6753-l,2024可得：()=(l)(2)+(3)+(2022)(2023)+(2024)A=I=675(l)+(2)+(3)-(2025)=3(3-3+0)-(3)=0-0=0f故选：D.【变式7-4(2023陕西咸阳高三统考期中)已知函数人劝的定义域为R,且/+丁)+/(工-)=，(幻/。)，2024/。)=1,则=.A二I【答案】0【解析】依题意，/(1)=1f+y)+-y)=(W),令y=1得/(X+1)+/(X-I)=f()f()=f(),所以*+l)=(x)-(xT),则*+2)=(x+l)-f(x),/(x+3)=/(x2)-/(x+1)=-/(x),所以/(x+

33、6)=(x+3+3)=-仆+3)=-(-(x)(x),所以/(M是周期为6的周期函数.令=Ly=O,则/+/=TW(O)J(O)=2,/(2)=/(1)-/(0)=-1,/(3)=/(2)-/(1)=-2,/(4)=/(3)-/(2)=-1,/(5)=/(4)-/(3)=1,/(6)=/(5)-/(4)=2,所以/(1)+/(2)+/(3)+/(4)+/(5)+/(6)=0,因为2024=337x6+2,所以之/(幻=/(1)+/(2)=0.Aj=I【题型8抽象函数的对称性问题】雨而一1、轴对称：(1)函数y=(x)关于直线X=。对称o+G=3-x)o(x)=(20)o()=(%+x)(2)函

34、数y=(x)关于直线”二色产对称。/(x+)=3-X)O/3-x)=(x+h)2、中心对称：(1)函数.y=(x)关于点(。,0)对称o(x)=-(2-X)O/(x+)=-/3-x);(2)函数y=(x)关于点3。)对称o(x+0)=3-x)o()+(2tz+x)=33、因数的奇偶性和对称性的关系：(1)若/(X+。)为奇函数，则/(x)关于(。,0)对称；(2)若/(无+。)为偶函数，则/(x)关于X=Q对称；(3)若5+0)为奇函数,则“X)关于(8,0)对称；(4)若/(5+0)为偶函数，则“X)关于X=W对称.【例8】(2023河北石家庄一中校联考模拟预测)已知对任意实数X,，函数/(

35、x)(不是常函数)满足/(y+l)=(x+l)+(y+l),贝(x)()A.有对称中心B.有对称轴C.是增函数D.是减函数【答案】B【解析】令“=y=l,得f(2)=f+/，(2)=0;令x=y=T,得f(2)=2/(O)=O,/./(O)=O;令y=-l,得Ir)=/(x+l)+(0)(l+x),J/(x)的图象关于直线关于X=I对称，故选：B.【变式8-1】(2023四川南充.高三南充高级中学校考阶段练习)已知定义在R上的函数/(“满足/(x-l)=-4-(-l-x),且与曲线y=交于点A(,y),A(x2,y2),An(xn,yn),则&+%)X+lf-l为()A.-16B.-12C.-

36、9D.-6【答案】B【解析】由f(xf=-4-f(Tr)可得f(x-l)+(TT)=Y=/(力+/(-2T)=T,所以/(x)关于(-2)对称，IOr3又)，=匕4=-2+一一关于(T-2)对称，x+1x+l三l(-+jJ=+),=-22+(-4)2=-12,故选：B1-1r-l(-1【变式8-2(2024.湖南邵阳统考一模I多选)已知函数/(工)与其导函数g(x)的定义域均为R,S(x-l)和g(2x+l)都是奇函数，且g(0)=g,则下列说法正确的有()A.g(关于X=T对称B./(x)关于(LO)对称C.g(x)是周期函数D.(2)=4【答案】ACD【解析】因为/GT为奇函数，所以Al)

37、=-),所以ra)=r(-),即g(-)=g(-),所以g(x)的图象关于直线X=T对称.故A正确；因为f(X-I)为奇国数，则其图象关于(0,0)对称，向左平移一个单位后得到/(X)的图象，则“X)的图象关于(To)对称，故B错误；因为g(2x+l)为奇函数，则g(2x+l)=-g(-2x+l),则有g(x+l)=-g(r+),所以g(M=-g(r+2)，又g(xT)=g(-1),贝!g(x)=g(-2)，由g(-2)=-g(r+2),则g(x-2)=-g(x+2),贝!U(x)=-g(x+4),g(x+4)=-g(x+8),则g()=g(x+8),所以8是函数g(x)的一个周期，g(x)是周期函数，故C正确；因为g(O)