5.31—以“一题教学”为根让学生思维自然流淌_3.docx

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1、方成勇（1988），男，浙江淳安人，中学一级教师，主要从事初中数学课堂教学研究.邮箱fangchengyongQQ.com,联系电话：15105812267邮编：311700余建明（1975），男，浙江淳安人，中学高级教师，主要从事中学数学教育教学研究.邮箱：yujianming750316163.COnb联系电话：13588331702邮编：311700以“一题教学”为根，让学生思维自然流淌千岛湖初级中学方成勇淳安县第二中学余建明摘要：初中学生数学作业时间多思考少只求完成不讲质量，教师习题讲解灌输多疏通少求速度不求效度.“一题教学”以数学知识的发生发展过程和学生认知数学的思维过程为依据，针对

2、某一个知识点，围绕考试说明，精心设计成一道试题，让一道题串联起知识、串联起方法、串联起思维，让学生的思维自然流淌，最终提升学生数学学习的素养.关键词：一题教学思维素养随着初中新课程改革的进一步推进和实施,教育各界对初中数学课堂实效性的要求已经越来越高.在这样的背景下，从初中数学课堂的角度出发，如何在45分钟内充分的发挥每一道例题、习题的功能，丰富例题解题的方法，调动学生学习兴趣，使不同层次的学生思维能力都得到相应提升.人教社章建跃博士提出在遵循数学知识发生发展过程的合理性和学生思维发展过程的合理性的基础下理解教材、理解教学、理解学生，理解技术.笔者以浙教版义务教育教科书数学八年级上册（以下统称

3、“教材”）第二章特殊三角形章节目标与评定中第16题例谈“一题教学法”的构建与实践.1、理性思考一理念重构与优化1.1概念界定一题教学法：以数学知识的发生发展过程和学生认知数学知识的思维过程为依据，针对某一个知识点，围绕考试说明精心设计成一道试题（其实是一组）的形式，将有关的基础知识、基础技能、基本思想和方法融于其中，让一道题串联起知识、串联起方法、串联起思维，最终提升学生数学学习的素养.1.2研究架构一题教学法根据“学生思维难点”：一题多变，串联思维“一题教学法”本着数学学科特点、学生认知、能力形成、素养提升等特征，设计了研究架构，重点从四个环节（步骤）予以实施，如下图1所示.流淌学生思维自然

4、提升素养立足“学生课堂测评”：-题多思，串联素养图1：以“一题教学”为根的重构与优化2、实践研究一一题教学为根2.1分析“学习起点”：一题多问，串联知识授课对象是我校培优班级学生（16个班级每班挑出3名），学生的总体素质高，学生的认知过程已有归纳猜测到演绎推理的意识.从知识发生发展的合理性看本题是在学完全等三角形和特殊三角形以后对图形认识的进一步提升.例1（教材第85页第16题如图2-1,在等边三角形ABC的AC,BC边上各取一点D,E,使得AD=CE,BD与AE相交于点P,求NBPE的度数；【片段1】先让学生思考5分钟.师：如果D点在AC上运动，NBPE会变化吗？生1：不会？师：你是怎样想的

5、？生1：我发现当D点、E点分别是中点时，JNBPE=60；当点D与A点重合E点与C重合时，NBPE=NABC=60,所以我猜测NBPE不会变.师：这种思想很好，若你能证明这个结论就更好了.生1：我想到了，只要证明aABOgZXCAE就可以了，ZDP=ZEC,PDCE,NAPD=NACE=60,ZBPE=60o师：我们发现点D,E、P都在运动，但NBPE有不变性，你们还能发现其它元素不变性吗？生2：我还发现了P、D、E、C四点共圆.四点共圆笔者课堂没有预设，是继续研究预设的边、角的不变关系，还是顺着学生2研究“四点共圆”的不变性，秒思后果断选择后者增加第（2）问.（2）若三角形ABC的边长为囱，

6、当D点、E点分别在边AC和BC上运动，求P点运动轨迹的长度.【片段2】师：你怎么发现P、D、E、C四点共圆的？生2：对角互补即NDPE+NACB=180所以四点共圆。师：那当D、E点运动时P点的运动轨迹是什么？生2：我猜测是一段圆弧.师：你能在图2-1画出这段圆弧吗？生2：四点P、D、E、C中只有一个定点，其它三个点都是动点，圆心我找不到。师：四点中有三个点动，P能否不局限于P、D、E、C这四个点中的圆，能否根据NAPB的不变性找到动圆的圆心？生3：因AB=6,ZAPB=120o根据如图22利用同弧所对的圆周角相等，所以P运动的轨迹是一段劣弧力与，弧所对的圆心角是120,当P点运动到劣弧1月中

7、点时，就能求出半径师：你真棒，圆心和半径确定，现在你能求出劣弧痛的长度吗？（配合几何画板的动画演示）！心-120oC12生3：AB=2X=36003【素养评价】推理包括归纳推理与演绎推理，我们在现行教学中过分强调演绎推理而忽略了归纳推理,过分强调命题的证明而忽略了命题的提出与思维的生成.其实很多数学的结果是“看”出来的而不是“证”出来的，虽然看出来的结果不一定正确.片段I学生利用特殊位置关系猜测NBPE=600,教师“这种思想很好，若你能证明这个结论就更好了”追问，让学生深入思考，寻找NBPE=60不变的原因，让学生有几何直观认识基础上拥有更为严谨几何论证的思路。片段2学生提出“P、D、E、C

8、四点共圆”完全超笔者预设，如何把课堂中的教学“事故”变成美丽“故事”，师生一同欣赏到沿途美丽风景.2.2依据“学习趣点一题多解，串联方法例I的教学给学生提供了主动参与变式的土壤，挑动了学生学习的激情，点燃学生思维的火花.笔者乘机改变例I条件让学生思考例2.例2：如图3在正aABC中有一尸点，使得AP:BP:CP=1：2：3,求NAPC的度数.【思维流淌】入师：从题中1：2：6数据我们观察一下特点./生3：刚好构成勾股定理中的三个数./师：那如何把这三个数放在一个三角形中呢？yXc生3：我想到旋转，把将AABP绕着8点顺时针旋图3转60使得AB与BC重合，由aABPgZiCBP就能把三边放在同一

9、个APRC中.（如图4）师：很好，那你得到结果了吗？生3：因NPCR=90、NCPR=30、N?RC=60故NBPC=9。、ZAPB=120o、ZAPC=150.生4：老师！我不是这样旋转的，我是将aAPC绕着A点顺时针旋转60使得48与BC重合，连接PQ,由AAPC丝ZiAQB把1、2、后作为直角三角形PQB的三边（如图5）.图4图5生4：我发现也可以将AAPB绕着A点逆时针旋转60构造直角三角形.生4：那这样不是有六种方法了吗？分别以A、B、C点旋转，逆时针有三种方法，顺时针有三种方法（如图6）.学生4讲完教室顿时有雷鸣般的掌声.师：解决此类问题的关键点是什么？生5：观察数据，由图形旋转构

10、建特殊三角形.师：那能否在数据上做些文章？生5：APiBPtCP=I:1：J也可以构建特殊的等腰直角三角形.生5：当ARBRCP=L1：1时P就是外心.图6【素养评价】很多教师把此题数学模式化，要求学生理解其实就是记忆，记住旋转，记住两种旋转方式，美其名日一题多解.其实数学模型的出发点往往不是教师的教，而是将讲诉的现实世界中的故事.数学模型的研究手法也不是单向的，需要从数学和现实这两个出发点开始，就像建筑桥梁一样，在建筑之前必须清楚要把桥建在哪里？要在此岸和彼岸同时设置桥墩的位置.例2关注的是学生学习兴趣点为什么要旋转？学生学习的难点是如何旋转？各种方法本质是观察和运算，通过运算发现1:2:当

11、是一组勾股数，需把三个特殊的数据放在一个三角形中.章建跃博士多次强调运算是数学的童子功，对于这个运算思维“过程”教育，不是数学知识产生过程，也不是数学家所描述的思维过程，更不是展示数学教师思维过程，而是学生自己观察数据进行数学运算理解数学的思维过程.2.3根据“学生思维难点一一题多变，串联思维推理是数学的命根子，“一题教学”立足“思维难点”，通过不断的“变”，让学生在不同的背景下探求知识间的内在联系，使学生思维的高度一步步的提升，让课堂成为学生学习的乐土.一题多变、一题多思，引导学生将知识和方法各自“串珠成线”，“串”联思维，织成“网络”形成素养.例3：如图7在正AABC中有一P点，使得AP:

12、BP:CP=1：2：3,延长AP交BC于点、E,延长BP交AC于点。，则NBPE为多少度？力【思维流淌】/；、生6：VZAPB=120oZBPE=GOo/AV师：除了角度的结论，我们还可以得到哪些边的结论？z生6：AD=CE/丁NBPE=60。BE，NAP)=60。图7：APDACEZADB=ZAEc：AB=ACBAD=NACE=60：.ABDCAE：.AD=CE师：大家再看看例1、例3有何内在联系？生6：两道题目是互逆的.例1研窕方向：由AD=CE,ABDgACAENCAE=NABDNBPE=60例2研究方向：由AP:BP:CP=1：2：3ZAPC=150；NBPE=60。-NCAE=NAB

13、D-AABDCAEAD=CE师：由Ao=CE推出N8PE=60。，由AP:BP:Cp=1：2：JiTNBPE=60。，那么NBPE=60fAP:BP:CP=l：2：3,这个成立吗？生6：不成立，当。点运动时AP、BP.CP的长度会改变，所以不成立.生6：AP.BP.CP=lt2：JJfNBPE=60,这是。点运动到某个特殊位置时成立的.师：这个特殊位置能否用定位下.生6：点P是在以A为圆心，半径为1的圆上，又在以B为圆心2为半径的圆上，同时又在以C为圆心，Vi为半径的圆上，故P点是定点（如图8）.生6：老师!也可以这样理解，由例1可知，P点是以BC为直径的圆，以AB弧，和以AC为弧的三段圆弧的

14、交点（如图9）.【素养评价】例1中D点是在圆弧上一点处于运动状态，例3中D点是三段圆弧的交点，是D运动到某个特殊位置的静止状态.所以例3其实是例1的特殊位置.从特殊情形发现一般结论，利用特殊情形解决的思路和方法来解决一般情形下的问题，这是解决此类问题的基本思路.数学教育不应该让教师和学生沉迷于符号的世界：概念靠记忆、计算靠程式、证明靠形式.为改变这种现状，一个好的数学教学，教师要靠理解数学的本质，创设出合适的教学情境，在学生在情境中理解数学概念和运算法则、感悟数学命题的构建过程12.4立足“课堂测评一题多思，串联素养一堂完整的课堂离不开课堂测评，测评内容可以是当堂课授课内容，也可以适度变化,以

15、检验学生运用知识数学思维灵活度.测评时间可以选择课前3-5分钟，最后留1-2分钟的时间进行课堂评讲.结合本课的主题是研究AP与BP随D点运动时角的不变性，笔者课堂测评换成测评线段的关系的不变性.课堂测评试题：如图10在正aABC中有一P点，使得CP=1：2：3,求AD：DC的值测评结果统计：全班45人有40人得出正确结果，40人中有18人选择通过直尺测量得出结果，有15人猜测得出结论，最终通过推理得出CD=2AD有29人.【思维流淌】师：求AD：DC的值你打算怎么做？生7：先量再猜测.师：你量出来是多少？生7：Ao=I.7。,OC=3.4cm,我猜CZ）=2AD师：证明CD=2AD,接下来你是

16、怎么想的？图10图11生7：证明CO=2AQ想到了线段成比例，所以想到了证明相似.生7：如图1LPR=2AP结合目标CQ=20猜测DP/CR生7：证角相等，我发现了两个内错角相等即NBPR=NPRC=60.生7：这两个角不一定是内错角要证A、P、R三点共线.师：很好，那怎样证？生7：ZAPB+ZRPB=180o.师：因DPCR且A、P、R三点共线得到结论丝=CDPB2生7：老师我还发现了当AD=CE时，NBPR=60,A、P、R三点共线的，故DPCR,AD_AP_生7：当D点开始运动，带动P点运动但在变化过程中切PB恒成立生8：例2是例1的特殊情况，特殊/8PR=60,特殊在A、P、R三点共线

17、的，如I果)AP把例2变成不是例1的特殊情况如AP:8P:CP=1：1：2,那=还成立吗？CDPB下课铃声想起师：这个问题由于时间关系，请同学们课后探究.【素养评价】测评试题带领学生经历测量-猜想-验证-论证的研究过程，体会研究一般问题的策略和方法.是从相似三角形角度去证明线段的比例关系，在学生最近发展区上再推一把，让课堂的生成自然而然，让学生在思考的阶梯上随问题的深入越走越远.华东师范大学叶澜教授指出：“课堂应是向未知方向挺进的旅程，随时都有可能发现意外的通道和美丽的风景”.虽然笔者在备课时做了充分的预设，但对于不共线的情况完全在预设之外.预设之外学生的本源性想法和思路，教师应充分运用自身的

18、经验和智慧，迅速判断出方法的可行性，顺应学生的思维探究前行.3、实践反思一核心素养探源3.1 “一题教学”要主动寻驱动问题的“核”波利亚说“教师在课堂上讲什么固然重要，然而学生想什么更是千百倍重要，思想应该在学生脑海中产生出来，而教师仅仅应起一个助产婆的作用.”故寻求学生原生态的学生思维素材，探寻驱动问题的“核”成为首要任务.驱动问题的“核”可以在常态新课寻，可以在常态作业讲评中寻，甚至可以把握一次学生面对面的交流、一道小小的选择或填空题，让小Y也能开素养之花.爱因斯坦说“提出问题比解决问题更重要”，例1教学我们先让学生思考5分钟，让学生自己去发现问题一一四点共圆，笔者当堂追问，把学生放到逆境

19、中锻炼,在追问中寻驱动问题的“核”，让问题本原化顺应学生思维发展.3.2 “一题教学”要明学生思维的“心”经验丰富的研究型教师必须克服过分的自我展示欲，明明白白学生的心，把时间还给学生，还思维的本质一一返璞归真.教师把自己的思维降低到学生的思维水平，亲近学生，有意识的退回到学生水平，退回到与学生相仿的思维状态.教师不认为自己的解法是正宗的、最好的解法.学生提出的解法都是稀奇古怪的想法，不具有普遍性和可行性，则不利于学生的创新意识及思维能力的培养.例2教学教师的普遍做法是直接告诉学生旋转，没有学生观察和运算发现规律体验.虽然学生对某一个问题的见解可能不成熟，但学生的思路是原生态的，应该积极保护.

20、例2中学生3、学生4的不同旋转方式教师应得以尊重，在这“本原性思维”基础上学生5的思维才能迸发.只有让学生说出心中所想脑中所思拉长数学思维探究过程，课堂风景一定会这边独好.3.3 “一题教学”要表数学思维的“魂”数学是一门思维的学科，数学复习离不开解题教学.解题教学是培养学生思维能力、提升学生数学素养的最好途径.但长期以来，数学解题教学被演变成了数学题目讲解，过分注重数学题目的结果而忽视了题目结果的生成过程，过分注重怎么解而忽视了如何想，因此，数学复习陷入了“讲题一做题一讲题一做题”的怪圈之中，教师试图用大量的解题训练达到猜题压题的目的，其结果是学生烦躁、教师焦虑，复习效率低下”3道例题甚至测评试题笔者创造机会展示学生思维，让学生展示学生思维，放关系放氛围放方式把课堂还给学生，让数学课堂有数学思维“魂”.英国大文豪肖伯纳曾比喻：“倘若你有一个苹果，我也有一个苹果，那么，你和我仍然是各有一个苹果.但是，倘若你有一种思想，我也有一种思想，而我们彼此交流这种思想，那么，我们每个人将各有两种思想参考文献1史宁中数学基本思想18讲北京师范大学出版社跳2林伟民数学课堂动态生成的应对策略J.中学教学月刊2016(3)：P21-233张祖寅“教师有效稚化自己的思维促进学生参与”的教学策略探究中学数学教学参考2015.12.Pii64赵士元高考复习别让高考丢了魂中学教学月刊2016.L侬