13全等模型-倍长中线与截长补短模型（教师版）.docx

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1、专题13全等模型.倍长中线与截长补短模型全等三角形在中考数学几何模块中占据着重要地位，也是学生必须掌握的一块内容，本专题就全等三角形中的重要模型（倍长中线模型、截长补短模型）进行梳理及对应试题分析，方便掌握。模型L倍长中线模型【模型解读】中线是三角形中的重要线段之一，在利用中线解决几何问题时，常常采用“倍长中线法”添加辅助线.所谓倍长中线法，就是将三角形的中线延长一倍，以便构造出全等三角形，从而运用全等三角形的有关知识来解决问题的方法.（注：一般都是原题已经有中线时用，不太会有自己画中线的时候）。【常见模型及证法】1、基本型：如图1,在三角形A8C中，力。为8C边上的中线.证明思路:延长AD至

2、点E,使得AD=DE.若连结BE,则BDE=CZM；若连结EC,则ABD=ECD；图1图2图32、中点型:如图2,C为AB的中点.证明思路：若延长Ee至点尸，使得CF=EC,连结A尸，则ABCE3A4CF；若延长DC至点G,使得CG=DC,连结BG,则A4CZ）=A8CG3、中点+平行线型：如图3,ABHCD,点E为线段Ao的中点.证明思路：延长CE交AB于点尸（或交8A延长线于点尸），则AEDC=AEAf.例1.（2023江苏徐州模拟预测）（1）阅读理解：如图，在.ABC中，若A8=8,AC=5,求BC边上的中线AO的取值范围.可以用如下方法：将aACD绕着点。逆时针旋转180。得到在ZA即

3、中，利用三角形三边的关系即可判断中线AD的取值范围是；（2）问题解决：如图，在二A8C中，。是8C边上的中点，DElDF于点D,DE交AB于点E,DF交AC于点尸，连接小，求证：BE+CFEF;（3）问题拓展：如图，在四边形A8C3中，ZB+ZD=180o,CB=CD,ZBCD=KX）0,以。为顶点作一个50。的角，角的两边分别交AB、Ao于E、F两点，连接7L探索线段BE,DF,E产之间的数量关系，并说明理由.313【答案】（1）-AD-（2）见详解：（3）EF=BE+DF,理由见详解22【分析】（1）根据旋转的性质可证明-ADC=EtW,AC=BE=6,AD=ED,在AHBE1中根据三角形

4、三边关系即可得出答案；（2）延长FD至M,使DF=DM,连接BM,EM,可得出b=8M,根据垂直平分线的性质可得LliEF=EM，利用三角形三边关系即可得出结论；（3）延长AB至N,使BN=DF,连接CN,可得/NBC=NO,证明,NBCFDC,得出CN=CF,/NCB=ZFCD,利用角的和差关系可推出NECN=50。=成产，再证明一NCE三尸CE,得出硒=EF,即可得出结论.【详解】解：（1）田AD=ED,CD=BD,ZADC=NBDEADC=iEDBAC=BE=SyAD=ED在AABE中根据三角形三边关系可得出：AB-BEAEAB+BE,即32AD133133130?A0U故答案为：2ad

5、EMBE+CFEF；(3)EF=BE+DF,理由如下：延长AB至N,使BN=DF,连接CN,团ZABC+ZD=I80o,ZABC+ZNBC=1800团ZNBC=ZD0.NBCN工FDC团CF=CN,ZNCB=/FCD0/BCD=100。,AFCE=50团AECN=50=ECFNCEFCE(SAS)国EN=EFEF=EN=BE+BN=BE+DFEF=BE+DF*【点睹】本题考查的知识点有旋转的性质、全等三角形的判定及性质、线段垂直平分线的性质、三角形三边关系、角的和差等，解答此题的关键是作出辅助线，构造出与图中结构相关的图形.此题结构精巧，考查范围广，综合性强.例2.(2023贵州毕节二模)课外

6、兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：如图1,SABC中，若A8=5,AC=3,求BC边上的中线4。的取值范围.小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长4。到点E,使OE=AO,请根据小明的方法思考帮小明完成解答过程.(2)如图2,AO是MBC的中线，BE交AC干E,交4。于F,KAE=EF.请判听AC与BF的数量关系，并说明理由.【答案】见解析AC=BR理由见解析【解析】(1)解：如图，延长AD到点E,使OE=A。，连接BE,AD=DE在4/)C和AKQB中卧NAoC=NE08,0DO3ED(SAS).BE=AC=3.CD=DBAB-BEAEAB+BE2AE3.0E=2AD01D,连

7、接MC在-8Z)户和VCoM中，Z.BDF=CDM,ABDFACDM,中MC=BF,ZM=ZBFM,DF=DMAE=EF,国ZEAF=ZEFA,BNEFA=ZBFM,0Z=ZM4C,SAC=MC,AC=BF.(2)线段。尸与AO的数量关系为：AD=IDF.证明如下：延长。八至点M,使止=EW,连接BM、AM,如图2所示：回点尸为BE的中点，团BF=EFBF=EF在-BFM和AEFD,/BFM=NEFD,0ABFMEFD(SAS)FM=DF国BM=DE,ZMBF=ZDEF,BBM/DE由线段8绕点。逆时针旋转120。得到线段OE国CD=DE=BM,NBOE=I20。，0MBD=180-120=6

8、0况.ABC是等边三角形团AB=AC,ZABC=ZACB=60,0ABM=ABC+ZMBD=60+60=1200ZACD=180o-ZACT=180-60=120,用ZABM=ZACDAB=AC.ABM和ZXACDtP,团,Z.ABM=NACD,MABMWzACD(SAS)BM=CD0M=AD.ZBAM=ZCAd,0ZMAD=ZMAC+ZCAD=ZMAC+ZBAM=ZBAC=6()0团AMD是等边三角形，AD=DM=2DF.【点睛】本题考查了等边三角形的判定和性质，三角形全等的判定和性质，熟练掌握等边三角形的判定和性质，三角形全等的判定和性质是解题的关键.例4.（2022河南商丘一模）阅读材料

9、如图1,在HABC中，。，E分别是边A8,AC的中点，小明在证明“三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半”时，通过延长OE到点尸，使EF=DE,连接C凡证明HAOKaSCFE,再证四边形。8CF是平行四边形即得证.类比迁移：如图2,A。是（MBC的中线，BE交AC于点E,交AD于点F,JAE=EF,求证：AC=BF.小明发现可以类比材料中的思路进行证明.证明：如图2,延长A。至点M,使MO=PQ,连接MG.请根据小明的思路完成证明过程.方法运用：如图3,在等边0A8C中，O是射线BC上一动点（点。在点C的右侧），连接AZX把线段8绕点。逆时针旋转120。得到线段尸是线段3E的中点，连接

10、。凡CF.请你判断线段。尸与AO的数量关系，并给出证明；【答案】（1）见解析线段。片与AO的数量关系为：AD=2DF,证明见解析；【分析】（1）类比材料，运用倍长中线辅助线作法，证得结论.（2）运用倍长中线辅助线作法，结合三角形全等证明及等边三角形性质，得出结论.（1）证明：如图，延长AO至M,使MO=尸。，连接MGBD=CD在BDF和由COM中，0-/BDF=NCDM,DF=DM盟BDW团CDM（SAS）fMC=BF,0=0Ff,AE=EF,00EF=0EM,阖E硒=BFM,mW=SAC,IMC=MC,HAC=3尸；（2）解：线段。尸与A。的数量关系为：AD=IDF,证明如下：延长。尸至点M

11、,使OF=F连接BM、AM,如图所示：团点尸为BE的中点，WF=EF1BF=EF在团6尸M和团尸。中，团(NBFM=NEFD,BFMEFD(S4S),FM=DFBBM=DE,BMBF=BDEf,BWE,团线段Co绕点。逆时针旋转120得到线段E,CD=DE=BM,BDE=120,BD=180-120=60,函48C是等边三角形，08=AC,0A8C=aAC8=6O,00AB/=0AC+0fD=60o+60o=120%ACD=I80-I3ACB=180o-60o=120o,ABM=ACD,AB=AC在0A8M和BACO中，团NABM=ZACD,酿ABMACD(SAS)fBM=CD0AM=AO,g

12、BAM=I3CAD,133MAD=f3MAC+f3CAD=l3MAC+l3Af=AC=60o,三3M。是等边三角形，AD=DM=2DF;【点睛】本题考查了倍长中线的辅助线作法，全等三角形的证明，在倍长中线构造全等三角形的基础上,综合运用相关知识是解题的关键.模型2.截长补短模型【模型解读】截长补短的方法适用于求证线段的和差倍分关系。该类题目中常出现等腰三角形、角平分线等关键词句,可以采用截长补短法构造全等三角形来完成证明过程，截长补短法(往往需证2次全等)。截长：指在长线段中截取一段等于己知线段；补短：指将短线段延长，延长部分等于已知线段。【常见模型及证法】(1)截长：在较长线段上截取一段等于

13、某一短线段，再证剩下的那一段等于另一短线段。例：如图，求证BE+DC=AO方法：在A。上取一点凡使得AF=BE证。F=OC;在4。上取一点尸，使OF=OG证AF=BE（2）补短：将短线段延长，证与长线段相等例：如图，求证BE+。C=AO方法：延长OC至点M处，使CM=BE,证OM=A。；延长DC至点M处，使OM=A。，证CM=BE例1.（2023重庆九年级专题练习）如图，已知AO08C,回布8的平分线与团CBA的平分线相交于E,CE的连线交AP于。.求证：AD+BC=AB.【答案】证明见解析【分析】如图，在AB上截取AH=AD,证明/。石旦人旦再证明.加证:）区可得以入瓦7,从而可得结论.【详

14、解】证明：如图，在AB上截取A=A。，AE平分NOAB,ZDAE=ZME,AE=AE,:ADEAHE,.ZADE=ZAHE,ADHBC,aZADE+ZBCE=180,ZAE+ZBHE=180o,.BCE=NBHE,仍平分ZA8C,ZABE=ZCfiE,BE=BE,HBE=CBE,；.BC=BH,AB=AH+HB,:.AB=AD+BC.【点睛】本题考查的是全等三角形的判定与性质，掌握“利用截长补短的方法证明两条线段的和等于另一条线段”是解题的关键.例2.（2023广东肇庆校考一模）课堂上，老师提出了这样一个问题：A图1图2图4如图1,在AABe中，4。平分NBAC交BC于点O,.AB+BD=AC

15、,求证：NABC=2NAC8,小明的方法是：如图2,在Ae上截取AE,使AE=M,连接。E,构造全等三角形来证明.小天提出，如果把小明的方法叫做“截长法，那么还可以用“补短法”通过延长线段45构造全等三角形进行证明.辅助线的画法是：延长A8至尸，使BF=,连接。厂请补全小天提出的辅助线的画法，并在图1中画出相应的辅助线；小芸通过探究，将老师所给的问题做了进一步的拓展，给同学们提出了如下的问题：如图3,点。在二ABC的内部，AD,BD,Cz）分别平分NBACZABGZACBt且AB+M=AC.求证：ZABC=2ZACB.请你解答小芸提出的这个问题（书写证明过程）；小东将老师所给问题中的一个条件和

16、结论进行交换，得到的命题如下：如果在中，ZABC=2NAC8,点。在边BC上，AB+BD=ACf那么平分/84C小东判断这个命题也是真命题，老师说小东的判断是正确的.请你利用图4对这个命题进行证明.【答案】（1）80,证明见解析见解析见解析【分析】（1）延长AB至尸，使BF=BD,连接。尸，根据三角形的外角性质得到NABC=2ND则可利用SAS证明AADFW,根据全等三角形的性质可证明结论；（2）在AC上截取AE,使ae=ab,连接。石，则M利用SAS证明ZAD3会AM）E,根据全等三角形的性质即可证明结论；（3）延长AB至G,使8G=83,连接。G,则可利用SSS证明一APG之APC,根据全

17、等三角形的性质、角平分线的定义即可证明结论.【详解】（I）证明：（I）如图1,延长A3至F,使BF=3D,连接0尸，则NEW=Nb,团ZABC=ZBDF+NF=2NF,团A。平分NBACmNBA。=NCAO,AB+BD=ACyBF=BD,AF=ACfAF=AC在ZXADF和AWC中，NBAZ）=NCAO,%,APF空ADC（SAS）,AD=AD回NACB=N产，EZABC=2ZACB.故答案为：BD.(2)证明：如图3,在AC上截取Af,使AK=A“，连接OEBAP,BD,C分别平分NBACZABGNACB,ZDAB=ZDAEfNDBA=ZDBC,ZDC=ZDCB,AB+BD=AC,AE=AB

18、,mDB=CE,AB=AE在ADB和7ADE中，2DAB=乙DAE,团一ADB三40E(SAS),AD=ADBD=DE,ZABd=ZAED,DE=CE,EDC=NECD,ZAED=2AECD,eZABD=2ECD,ZABC=2ZACB.(3)证明：如图4：延长A4至G,使BG=BD,连接。G,则NBDG=NAGD,ZABC=ZBDG+ZAGD=2ZAGD,ZABC=IZACB,区ZAGZ)=ZAC8,AB+BD=ACyBG=BD,AG=AC,0ZAGC=ZACG,团ZDGC=ZDCG,0DG=DC,AGAC在AADG和DC中，。G=OC,ADGADC（SSS）ZDAG=ZDAC,即AO平分/8

19、AC.AD=AD【点睛】本题主要考查的是三角形全等的判定和性质、角平分线的定义等知识点，灵活运用全等三角形的判定定理和性质定理是解答本题的关键.例3.（2023广西九年级专题练习）在四边形ABOE中，。是8。边的中点.如图（1）,若AC平分团BAE,ACE=90o,则线段4E、AB.OE的长度满足的数量关系为；（直接写出答案）；（2）如图（2）,AC平分MAE,EC平分0AEO,若0ACE=12（,则线段48、BD.DE、AE的长度满足怎样的数量关系？写出结论并证明.【答案】AE=A8+。； （2）猜想：AE=AB+DE+BD,证明见解析.【分析】（1）在AE上取一点E使AAA8,由三角形全等

20、的判定可证得AAC喇C凡根据全等三角形的性质可得BC=FeACB=0ACF,根据三角形全等的判定证得ACEmSCEQ,得到EF=ED,再由线段的和差可以得出结论；（2）在AE上取点凡使AF=A&连接CR在AE上取点G,使EG=ED,连接CG,根据全等三角形的判定证得MC况三AC尸和MSSSfCG,由全等三角形的性质证得CF=CG,进而证得AbG是等边三角形，就有FG=CG=WBD,从而可证得结论.0AC 平分（384E, E0BAC=0MC.【详解】（I）AE=A8+。：理由：在4E上取一点产，使AF=48.AB=AF在0AC8和SAC/中，ZBAC=ZFAcfAC三3ACF(SAS),BBC

21、FC,0ACB=0ACF.AC=AC团。是8。边的中点，国BC=CD,OCF=CD.三ACE=90o,013AC8+0。CE=90,0ACF+0jECF=9Oo,ECF=ECD.CF=CD在团CEF和团CEo中，ZECF=ZECD,00CE三CEo(SAS),PEF=ED.CE=CEME=AF+EF,ME=AB+DE.故答案为：AEAB+DE;(2)猜想：AE=ABWEBD.证明：在AE上取点尸，使A/W48,连结C/，在AE上取点G,使EG=ED,连结CG.团C是8。边的中点，SICB=CD=D.MC平分团8AE,00BAC=0MC.AB=AF在0AC8和0AC/中，NBAC=NFAC,AC

22、三3ACF(SAS),AC=ACCF=CB,00CA=FCA,同理口证：CD=CG,能1OCE=SGCE.0C=CD,0CG=CF.0三L4Cf=12Oo,005C4+0DCE=18Oo-120=60,B0FCA+GCf=6Oo,FCG=60o,BSPGC是等边三角形，FG=FC=；BD.AE=AF+EG+FG,0E=B+DE+yBD.【点睛】本题考查了角平分线的性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，等边三角形的性质的运用，能熟练应用三角形全等的判定和性质是解决问题的关键.例4.（2023广东九年级期末）（1）阅读理解：问题：如图1,在四边形A8C3中，对角线5。平分NA5C,ZA+ZC=

23、180.求证：DA=DC.思考：“角平分线+对角互补可以通过截长、补短等构造全等去解决问题.方法1：在8C上截取8W=4,连接OM,得到全等三角形，进而解决问题；方法2：延长3A到点N,使得8N=5C,连接ON,得到全等三角形，进而解决问题.结合图1,在方法1和方法2中仔旌;瞥，添加辅助线并完成证明.（2）问题解决：如图2,在（1）的条件下，连接AC,当NDAC=60时，探究线段A6,BC,50之间的数量关系，并说明理由；（3）问题拓展：如图3,在四边形A88中，+ZC=180o,DA=DC,过点。作。石_L8C,垂足为点E,请直接写出线段AB、CE、BC之间的数量关系.图1【答案】（1）证明

24、见解析；（2）AB+BC=BD;理由见解析；（3）BC-AB=ICE.【分析】（1）方法L在BC上截取的W=BA,连接。例，得到全等三角形，进而解决问题；方法2：延长胡到点N,使得8N=8C,连接。N,得到全等三角形，进而解决问题；（2）延长CB到点尸，使BP=BA，连接A尸，证明APACABAD,可得尸C=5。，即尸C=BP+BC=AB+BC（3）连接40,过点。作。产J_AC于尸，证明DB4乌DEC,RtBDFRtDE,进而根据BC=B七+CE=B4+AF+CE=B4+2CE即可得出结论.【详解】解：（1）方法1：在8C上截B=84,连接。M,如图.BD=BDBD平分NABC,.ZABD=

25、NCBD.在ABf和8f）中，NAB。=NM8。，BA=BM.,ABDD.ZA=ZBMD,AD=MD.ZBMD+ZCMD=MZC+ZA=180.ZC=ZCMD.DM=DC,.DA=DC.方法2：延长刚到点N,使得BN = BC,连接。N,如图.8。平分NAHC,.NBD=NCBD.BD=BD在ANBO和ACHZMlNNBD=NCBD,s.NBDCBD.BND=NC,ND=CD.BN=BCZNAD+ZBAD=S0NC+NBAD=180:BND=NNAD,:.DN=DA、：.DA=DC.（2） AB.BC、AD之间的数量关系为：AB+BC=BD.（或者：BD-CB=AB,BD-AB=CB）.延长C

26、B到点尸，使BP=皿，连接AP,如图2所示.由（1）可知AD=CD,Nz）AC=60.ADC为等边三角形.AC=A。，ZADC=60.NBCD+乙BAD=180,.ZABC=3600-180-60=120/.4PBA=180-ZABC=60.BP=BA,.AB尸为等边三角形.aZPAB=60AB=AP.NDAC=60,/.Z.PAB+ZBAC=ZDACABAC,即NW=NBADPA=BA在ZC和AD中，NPAC=/BAD,.ACBAD.:.PC=BD,AC=ADPC=BP+BC=AB+BC,:.AB+BC=BD.（3） AB,CE,8C之间的数量关系为：BC-AB=ICE.（或者：BC-2CE

27、=AB,AB+2CE=BC）解：连接BO,过点。作。FJ_AC于尸，如图3所示.ZBAD+ZC=180，ZBAD+ZMD=180.ZFAD=ZC.ZDFA=NDEC在AoEA和ADEC中，NFAD=NC,:.NDFgIDEC,DF=DE,AF=CE.DA=DCBD=BD在RlABDF和RlABQE中，cl八l，.RtDFRtBDE.BF=BE,DF=DE.BC=BE+CE=BA+AF+CE=BA+2CE,.BC-BA=2CE.【点睛】本题考查了三角形全等的性质与判定，正确的添加辅助线是解题的关键.课后专项训练：1. （2023秋福建福州九年级校考阶段练习）如图，在ABC中，A8=4,AC=2,

28、点。为BC的中点，则AO的长可能是（）A.1B.2C.3D.4【答案】B【分析】延长AO到E,使OE=AO,连接BE.ADCEDB（SAS可得8E=4C=2,再利用三角形的三边关系求出AE的范围即可解决问题.【详解】解：延长Ao到E,使。E=A,连接BE,AD=ED在ZiAQC和AEOB中，ZADC=ZEDB,WADCEDB(SAS),BBE=AC=2tCD=BD在AABf?中,AB-BEAEAB+BEf即2V2OV6,解得1V4OV3,故选：B.【点睛】本题考查三角形的全等判定和性质，三角形三边关系定理，熟练证明三角形的全等是解题的关键.2. （2022浙江湖州二模）如图，在四边形ABCO中

29、，ABHCD,ABLBD,B=5,BD=4,8=3,点E是AC的中点，则BE的长为（）.A.2B.-C.5D.32【答案】C【分析】延长BE交CD延长线于P,可证AAEB丝(;#,求出DP,根据勾股定理求出BP的长，从而求出的长.【详解】解：延长BE交。延长线于P,:AB/CD,/.ZEAB=ZECPt在aAEB和ACEP中，/EAB=NECPP2+BD2=25*BE=BP=5.故选：C.【点睛】考查了全等三角形的判定和性质和勾股定理，解题的关键是得恰当作辅助线构造全等，依据勾股定理求出BP.3.（2022广东湛江校考二模）已知：如图，“WC中，正在BC上，。在BA上，过E作所_LAB于尸，4

30、4=N1+N2,AE=CD,BF=T则Ao的长为.Q9【答案】2-【分析】在EA上取一点，使得Er=8F,连接T,在CB上取点K,使得CK=ET,连接。K.想办法证明4T=OK,DK=BD,推出皿=AT,推出BT=AD即可解决问题.【详解】解：在EA上取一点71使得尸T=B尸，连接ET,在CB上取一点K使得CK二夕，连接。K.1A0BF=F,NEFB=/EFT=90。,EF=EF,4EFBaEFT(SAS),国EB=ET,ZB=ZETO,团NETB=Nl+ZAET,ZB=Z1+Z2,0ZAT=Z2(3AE=CDET=CK,以AET组DeK(SAS),DK=AT,ZATe=ZDKC,RzETB=

31、NDKB,NB=NDKB,SDB=DK,PBD=AT,AD=BT,QQQBBT=2BF=-t0AD=,故答案为：333【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考填空题中的压轴题.4. （2023秋江西九江八年级校考期末）如图，在MBC中，点。是BC的中点，若48=5,AC=I3,AD=6,则BC的长为.【答案】2向【分析】延长AD到E,使。E=AO,连接8E.先运用SAS证明0AZ三EDB,得出8E=13再由勾股定理的逆定理证明出团84房90。，然后在IM8f中运用勾股定理求出BD的长，从而得出8C=2

32、BZ【详解】解：延长A。到E,使。E=4。，连接AD=ED在AOC0ED中，,NAQC=NEDB,ADCWED(SAS),BAC=BE=13.CD=BD在0A8E中，AB=StAE=I2,8E=13,AB2+AE2=BE2t幽RAE=90。.在0ABO中，团BAD=90。，AB=5,AD=6,BD=yAB2+AD1=52+62=610C=26?.故答案为：2屈.【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，勾股定理及其逆定理，综合性较强，难度中等.题中延长中线的一倍是常用的辅助线的作法.5. (2023秋湖北武汉八年级校考阶段练习)(1)阅读理解：如图1,在JIBC中，若4A=3,AC=5.求8C

33、边上的中线AO的取值范围，小聪同学是这样思考的：延长AZ)至E,使DE=AD,连接8E利用全等将边AC转化到战，在a3AE中利用三角形三边关系即可求出中线4。的取值范围，在这个过程中小聪同学证三角形全等用到的判定方法是,中线AO的取值范围是:(2)问题解决：如图2,在中，点。是BC的中点，DMLDN.Z)M交AB于点M,DN交AC于点N.求证：BM+CNMN；(3)问题拓展：如图3,在JWC中，点。是BC的中点，分别以ABAC为直角边向一ABC外作RjAB何和RtAACN,其中NBAM=N附C=90o,AB=AM,AC=N,连接MN,请你探索A。与MN的数量与位置关系.【答案】(I)SAS,1

34、AD4;(2)见解析；(3)2AD=MN,ADlMN【分析】(1)通过证明Vazxwvezm,得到砌=AC=5,在小阳中，根据三角形三边关系可得：BE-ABAEAB+BE,即2AEMF;(3)延长AO于E,使得ED=Ar,连接应：，延长。A交MN于尸，证明ASA且A5fE(SAS)得到BE=AC,ZACD=NEBD,证明AABE四ZM4N(SAS)得到MN=AE=2AD,NBAE=ZAMN,在通过三角形内角和进行角度的转化即可得到ADLMN.【详解】（1）解：如图1,延长AD至E，使OE=A。，连接A。为BC边上的中线，.A力=AD=ED在“（7和4中8中，/0。=/七。8,./04后08（5

35、人5）,.用=人。=5,CD=BD在.ABE中，根据三角形三边关系可得：BE-ABAEAB+BE,即2vAE8,AE=2D,.22AD8,/.1AD=M）,连接MF,ND=NF点。是BC的中点，.BD=CD,在YBDF和ACDN中，NBDF=NCDN,CD=BD0TCM)(SAS),也BF=CN,EDMlDN,FD=ND,中MF=MN,在二BfM中，由三角形的三边关系得：BM+BFMF,BM+CNMN：(3)解：结论：2AD=MN,ADLMN,如图3,延长ADrE,使得ED=AD,连接的，延长D4交MNr/，BD=CD点。是6C的中点，BD=8,在ABZ)E和AsA中，/8。E=NCD4,AD

36、=EDICOAgBDE(SAS),.BE=AC,ZACD=NEBD,NMW+ZM4B+NEAC+NOW=360。，4BAM=/NAC=哪、ZMW+ZC4B=180,.ZBAC+ZABC+ZACB=ISOo,/./MAN=ABC+ZACB=ZABCNEBD=ZABE,AM=AB在 ZW 和.ABE 中，,NMAN=NABE,.ABE均MAJV(SAS),AN=BE:.MN=AE=2AD,ZBAE=ZAMn,AMAF+ZMAB+ZBAE=180o,ZMAB=90。，.zM4F+ZfiAE=90o,.ZMA尸+ZAAfZV=90。，-.AFJLMN,即ADJ_MN.【点睛】本题考查了全等三角形的判定

37、与性质，三角形的三边关系，三角形的内角和定理，熟练掌握全等三家形的判定与性质，三角形的三边关系以及三角形内角和定理，作出恰当的辅助线是解题的关键.6. （2023黑龙江大庆统考三模）如图，四边形ABDE中，ZABD=ZBDE=，）。,C为边8。上一点，连接AC,EC,M为AE的中点，延长交。E的延长线于点F,AC交BM于点、G,连接OW交CE于点H.求证版?=”。；（2）若AB=BC,DC=DE,求证：四边形MGCH为矩形.【答案】（1）见解析（2）见解析【分析】（1）证明.A6M名二ERW（AAS）,则BM=M尸，然后根据直角三角形斜边上的中线性质即可得到MB=MDx（2）由RjABC和Rt

38、&CDE都是等腰直角三角形得到/CE0=/AC3=/45。，则可得到NCED=NF,ZACB=NBDM,进而可得CE防，AC/DM,于是可判断四边形MGCH为平行四边形,加上/GM=90。，则可判断四边形MGeH为矩形.【详解】（1）证明：0ZABC=ZCD=90AB/DFZABF=ZF,回M为AE的中点，AM=ME,ZABF=ZF在-AAM和一石FM中，NAMB=NEMF,ABMEFM（AAS）AM=MEBM=MF,回DA/为Rt-BZ）F斜边上的中线EJMfi=MD（2）由（1）知AB=所，又AB=BC,DC=DE,BD=BC+CD=AB+DE=EF+DF=DF,团-EW为等腰克角.角形.

39、又由(1)知BM=MF,DM工BF，ZDBF=ZF=ZBDM=45,又RtABC和Rt.CQE都是等腰直角三角形.团NCa=NAC8=45，NCED=NF,ZACB=ZBDm,0CEBF,AC/DM,团四边形MGC”为平行四边形，住NGM=90团平行四边形MGcH为矩形，【点睛】本题考查了全等三角形的判断和性质、直角三角形斜边中线定理、矩形的判断，掌握矩形的证明步骤-先证明是平行四边形，再证明有直角是解题关键.7. (2023广东云浮八年级统考期中)(1)阅读理解：如图，在-ABC中，若AQ8,AC=Sf求BC边上的中线Ao的取值范围.可以用如下方法：将AACD绕着点。逆时针旋转180得到AE

40、BD,在A48E中，利用三角形三边的关系即可判断中线AO的取值范围是；(2)问题解决：如图，在二ABC中，。是8C边上的中点，Z)ElOF于点O,DE交AB于点E,DF交AC于点尸，连接所，求证：BE+CFEF;(3)问题拓展：如图，在四边形ABCQ中，Z+ZD=180o,CB=CD,ZfiCD=100o,以。为顶点作一个50。的角，角的两边分别交A反AZ)于E、尸两点，连接E凡探索线段BE,DF,所之间的数量关系，并说明理由.图C【答案】(1) 1.5 VAE6.5； (2)见解析；(3) BE+DF=EF,理由见解析【分析】(1)如图：将AACO绕着点O逆时针旋转180得到AEBD可得二B

41、DECDA,得出BE=AC=5,然后根据三角形的三边关系求出A石的取值范围，进而求得AD的取值范围；(2)如图：AFDC绕着点D旄转180得到dNDB可得CBNDMCFD,得出BN=B,由线段垂直平分线的性质得出RV=印，在.aBNE中,由三角形的三边关系得出座+CQEV即可得出结论；(3)将二Ob绕着点C按逆时针方向旋转100。得到BCHUl得.HBCM,.FDC,得出CH=CF,4HCB=4FCD,证出NECH=50。=NEC/,再由SAS证明,.HCEg./CE,得出EN=所，进而证明结论.【详解】解：(I)如图：将AACD绕着点。逆时针旋转18()得到AEBO中,.BDE三.CDA(SAS),0BE=AC=5,AD=DEAD=AE区A。是BC边上的中线，HBD=CD,在AABE中，由三角形的：边关系得：AB-BEAEAB+BE.08-5AE8+5,即3VAEV13,01.5EN,BE+CFEF,(3)BE+DF=EF,理由如卜.：如图，将一OC尸绕着点C按逆时针方向旋转100。00。Ul308C”,CH=CFiZDCb=ZFCH=100oHBC=D,DF=BH0ZABC+ZZ)=1800ZWBC+ZABC=I80,(