专题1-4椭圆与双曲线22类常考题型汇总.docx
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1、专题1-4椭圆与双曲线22类常考题型汇总后跖题型解读知识点梳理模块一:椭圆与双曲线的基本性质【题型1】椭ID与双曲线的定义与概念【题型2】双曲线的渐近线相关计算【题型3】求焦点三角形面积【题型4)定义法求轨迹【题型5】设点运算求轨迹方程题型6光学性质【题型7】椭Bl与双曲线共焦点问题模块二:最值问题【题型8】坐标轴上的点与椭圆距离最短【题型91直线与椭圆距离最短【题型10线段和差最值问题【题型11焦点弦的最小值【题型12焦半径的最小值问题【题型13利用基本不等式求最值模块三:求离心率与其它值【题型14结合余弦定理求焦半径【题型15余弦定理用2次【题型16构造齐次化方程【题型17双焦点三角形模型
2、:导边【题型18利用几何性质求离心率【题型20与向量结合【题型21其它计算求值问题【题型22求离心率范围知识点梳理一、椭圆的基本量1 .如图(1),过椭圆的一个焦点且与长轴垂直的弦48=,称为通径.图(1)图(2)2 .如图(2),尸为椭圆上的点,尸1,B为椭圆的两个焦点,且NFlPF2=8,则/IPB的面积为.3 .椭圆上的点到焦点距离的最大值为,最小值为.4 .设尸,A,8是椭圆上不同的三点,其中4,8关于原点对称,则直线以与尸8的斜率之积为定值I2加夕b21. 2.Dltan-3.a-rc。-c4.ra2a1二、直线与椭圆1 .直线与圆锥曲线的位置关系的判断将直线方程与圆锥曲线方程联立,
3、消去一个变量得到关于x(或刃的一元方程:0r2+Zx+c=0(或炉+8+c=0).(1)若0,可考虑一元二次方程的判别式,有:40直线与圆锥曲线;Z=O”直线与圆锥曲线;4Z,0)上的一组对称点,尸为椭圆上任意点,则有证明(点差法):设P(x,),A(x2,y2)fB(-x2,-y2),kp4山X1-x2M+乃玉+X2VP,A在椭圆上,代入坐标得4=a2b2+=lab-两式相减得:.2个+J,%2=0,整理得必:一%:=_a2h2x12-X22a2中点弦和第三定义本质上是一样的法二:通过椭圆的垂径定理转换k.kk.kPANPBrvOMNPBb221*y核心题画7模块一:椭圆与双曲线的基本性质【
4、题型1】椭圆与双曲线的定义与概念1 .已知方程4+为2+加+小+或+尸=0,其中力6CO2EF.现有四位同学对该方程进行了判断,提出了四个命题:甲:可以是圆的方程;乙:可以是抛物线的方程;丙:可以是椭圆的标准方程;丁:可以是双曲线的标准方程.其中,真命题有()A.1个B.2个C.3个D.4个【答案】C【分析】根据圆,抛物线,椭圆及双曲线的方程特点结合条件分析即得.【详解】因为方程4+砂2+c,+w+/=o其中z5coeF,所以当4=8=1C=0=E=O/=一1时,方程为/+/-I=。,即Y+/=1是圆的方程,故方程可以是圆的方程;当Z=18=C=0=OE=-1尸=一2时,方程为2-2=0,即N
5、=X?-2是抛物线的方程,故方程可以是抛物线的方程;22-1当=28=lC=O=E=0=T时,方程为2+y2-i=o,即V+1二1是桶圆的标准方程,2故方程可以是椭圆的标准方程;若方程为双曲线的标准方程,则有力B0,C=O=E=O,尸05-k0,解得一3“3+k【分析】根据椭圆C的焦点位置可得出关于左的不等式组,即可解得实数左的取值范围.x2v2【详解】因为椭圆c:+上-=1的焦点在y轴上,则3+k5-k3. (2023佛山高二期末)(多选)己知曲线C的方程为-L+=i,则C可能是()25-k9+A.半径为J万的圆B.焦点在X上的椭圆,且长轴长为后二TC.等轴双曲线D.焦点在V上的双曲线,且焦
6、距为2216【答案】AD25k=9+k【详解】对于A选项,若曲线C为圆,则,解得左=8,25-k0此时,曲线C的方程为V+/=7,该圆的半径为J万,A对;(25-k9+k对于B选项,若曲线C表示焦点在X轴上的椭圆,则、,八,解得-9%0此时,椭圆C的长轴长为2反7,B错;对于C选项,若曲线C为等轴双曲线,则25-%+9+%=0,无解,C错:f9+0对于D选项,若曲线C表示焦点在歹轴上的双曲线,则f八,解得25,25-A:+%-25=22,-16,D对.4. (2023上广东惠州高二统考期末)(多选)已知曲线C:工-廿=1,则下列判断正确的是()abA.a=-ZO,则C是圆,其半径为B.若ab0
7、,则C是双曲线,其渐近线方程为y=RC.若-ab0时,C:工一匕=1转化为/+/=*半径为夜,故A错误;ab,整理可得y均是。的渐近线,故B正确;若0b0,当”0,b0,C是焦点在X轴上的双曲线,当vv,C是焦点在丁轴上的双曲线,无论焦点在哪个轴上,令二一己二0ab若一6-bO可知,C是焦点在X轴上的椭圆,aba-b故C正确:22若=6=l,C:三一匕=1转化为/-V=,是双曲线不是两条直线,故D错误.5.(多选)已知方程上+上=1表示的曲线为C,则下列四个结论中正确的是()6-?in-2A.当j6或m2时,曲线C是双曲线B.当2?6D.若曲线。是焦点在X轴上的椭圆,则2m4【答案】AD【分析
8、】根据双曲线、椭圆标准方程的特征,依次构造不等式求得每种曲线对应的机的范,困即可.【详解】对于A,若曲线C为双曲线,则(6一帆)(加-2)6或zwO对于B,若曲线C为椭圆,则(机一20,解得:26-?0,解得:4mw-20,解得:2viv4,D正确6.(2023上江苏徐州高二统考期末)(多选)己知曲线C:+工=1,则下列说法正确的是()m+mA.若C是椭圆,则其长轴长为2而B.若mzn可知若为楠圆,则焦点在X轴上,进而可判断A,进而可判断BC,根据椭圆的几何性质可判断D.【详解】由于/+1=(小一+O,所以112+lm,对于A,当加0时,故。:/一+上=1表示焦点在X轴上的椭圆,故椭圆的长轴长
9、为2j/+i,故m+mA错误,对于B,当?7w,故C不可能表示一个圆,故C正确,对于D,m=l时,C:+-=1,表示焦点在X轴上的桶圆,且此时/=2,从=1,。2=1,21故桶圆上的点到焦点的最小距离为a_c=&_l,故D错误7.(多选)已知曲线UmX?+材=1,()A.若用0,则C的离心率是B.若机 O ,则C的离心率是C.若机O,则C是椭圆【答案】AC【详解】对A、B:若则mn兰+仁=1由于机f+初2=,即Il,表示焦点在J轴的椭圆,故A正确,B错误;对C:若?0,一0mn故TWX-+即2=1,即1I表示焦点在);轴上的双曲线,综上所述:若“0,曲线。不一定是椭圆,例如加=0,曲线C是圆,
10、D错误8. (2023广东汕头统考二模)(多选)已知曲线C=x2+V8s=l,0,则下列结论正确的是()A.曲线C可能是圆,也可能是直线B.曲线C可能是焦点在y轴上的椭圆C.当曲线C表示椭圆时,则越大,椭圆越圆D.当曲线。表示双曲线时,它的离心率有最小值,且最小值为J5【答案】ABD【分析】设6=COSae-1,由用的符号和取值结合对应方程的特点,结合条件逐项判断可得答案.【详解】设加=CoSa-l,l,故曲线。的方程可表示为f+町/=(_ZM4),对A,当机二O时,曲线。的方程为=,可得=l,此时曲线C为两条直线;当TW=I时,曲线C的方程为/+y2=,此时曲线C是一个圆;故A正确;2对B,
11、当0阳1,曲线。的方程为+T=1,此时曲线。为焦点在箕轴上的椭圆,故m-mB正确;对C,当曲线。表示椭圆时,离心率为e=jT=Jl-CoSa,则。越大,椭圆越扃,故C错误;对D,当Tm0时,-一1,曲线。的方程为X11,此时曲线。为焦点在X轴上的双曲mm线,此时离心率为e,由一17M0,3-加0且阳-13-机可得./?-10r2v2【详解】方程一+=1表示椭圆o0,解得lm3且m2.w-13-m.Cm-3-n所以m的取值范围是(1,2)U(2,3)【题型2】双曲线的渐近线相关计算1(2023深圳高二统考期末)双曲线叱。冷。)的离心率为5则其渐近线方程为A. y = +y2xB. y = y3x
12、C.y=也XD.y=-22【答案】A【详解】分析:根据离心率得a,c关系,进而得a,b关系,再根据双曲线方程求渐近线方程,得结果.洋解:e=J=也、:.=2x,则C的离心率为()A.乎B.2C.3D.5【答案】A【详解】由题意,双曲线的焦点在歹轴上,由于双曲线的渐近线方程为y=2x,12已知双曲吟4=s)的离心率为哈则双曲线的两条渐近线的夹角为() B.-4A.-6【答案】C【详解】设双曲线马-二=1的半焦距为Jab-因为双曲线W-E=I的离心率为2叵,ab3所以e=f=?,解得C=a2 +b2 =c2, b2 =c2-a2 f23 )a 31 2 -a 3所以b=a3by=-x=a3所以渐近
13、线方程为丁+3,X=+Xa3rSTr所以两条渐近线的倾斜角分别为上和H,66y,所以,两条渐近线所夹的锐角为-gy ;即双曲线的两条渐近线的夹角为三.13. (2023上湖北武汉高二华中师大一附中校考期末)若双曲线与-W = l(0,60)的渐近线 a b方程为y = *,且过点(2后,3),则双曲线的标准方程为(R y2 2 18 6c y2 X234=1【答案】C【详解】由双曲线方程可得其渐近线方程为:y = x,b b 2a = -bf 2则双曲线方程可化为: 箓一* = 1,由双曲线过点卜0,3),36 822=1 ,解得:/=4, .=3, 双曲线方程为:工一二 3 41.14 (2
14、023上广东深圳高二深圳中学校考期中)已知年双曲线C十1I的一个焦点,点P在C的渐近线上,。是坐标原点,I。尸|=2|?可,则。尸产的面积为()A.1B.C.D.y222【答案】B【分析】根据给定条件求出NPO尸,再利用余弦定理求出IOPl即可计算作答.【详解】双曲线。1一/二1中。户I=2,其渐近线y=印X,它与X轴的夹角为30。,即N尸。尸=30。,在AOM中,OF=2尸产|=2,由余弦定理得:I尸用2=OP+O用2-2OPO尸ICOSNPo尸,即F=|。尸F+22-292cos30,整理得:OP2-23OP+3=0,解得IOPI=JL所以AOPF的面积为SGPF=gI。尸II。FlSin
15、/POFWXGX2sin30等.【题型3】求焦点三角形面积15 .已知点P在椭圆+=1上,与鸟分别为左、右焦点,若NRPF?=容则片尸鸟的面积为()A.43B.63C.83D.133【答案】AI尸团+1尸闾=8【详解】由附M明2_|甲丁,又怩用=45解得附I附1=16,r一乖而可一SdF格=;陷忸周Sin匹=116=43.V2v2516 .已知产是双曲线j-1=l(,bO)上的点,,工是其焦点,双曲线的离心率是一,且ab4所质:0,若尸片用的面积为9,则+b的值为.【答案】7不妨设点?在双胸线的右支上.设|产石|=加,|?鸟|=.则加一=2,-mn=9,m2+n2=4c2,即/W?+/一2ZM
16、ZJ=加2,所以4c?-36=4。2,又c2=a2+b2,所以6=3.GC5又一=:,a4a2a2+b2t解得=与a=所以0=4.169.+b=7.故答案为:7.17 .已知椭圆工+上=1的焦点分别为鸟,点尸在椭圆上,若IPKl=4,则三角形大”的面枳为92A.与B.3C.23D.43【解答】解:椭圆卷+三=1的焦点分别为打鸟,点尸在椭圆上,则:2=6,若I尸石|=4,所以=2,2c=27.利用余弦定理:CoSFlPFl2242-(27)2224所以NKPE=则:5fpf=124=233122218 .已知耳(-4,0)、乃(4,0)是双曲线。:一=1(加0)的两个焦点,点,是双曲线。上一点,
17、且NKg=60。,用的面为【答案】43【详解】因为一4,0)、鸟(4,0)是双曲线u-1=l(m0)的两个焦点,S一4法一:由双曲线焦点三角形面积公式可得片MK的面积d-0tan30otan2法二:所以用+4=16,所以m=12;=Zl,MF2=t2f因为点M是双曲线上一点,且N玛=60。,所以,-2=46;在片“居中,由余弦定理可得:l2+/J-2r1r,cos600=64;联立上述两式可得:12=16,所以片的面积S=gAsin6()o=4jJ.19 .已知斗名为双曲线C:=1的两个焦点,Pt。为。上关于坐标原点对称的两点,且164IPq二内用,则四边形至。鸟的面积为【答案】8【详解】由题
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