第8讲放缩法.docx

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1、第8讲放缩法在前面的几个章节中已经涉及了一部分放缩法的运用,在导数里放缩法具有广泛用途,比如说直接利用放缩法证明不等式,利用放缩法找零点或者隐零点区间,利用放缩法判定导函数的正负号,进而判定函数单调性等.那放缩法到底是什么？放缩法本质上是一种近似估算,利用它达到简化计算的目的,其理论依据是高等数学里面的泰勒展开,这在后面的章节会具体讲解,本节先从高中数学的视角来讲解不等式放缩.那么如何利用放缩法解决导数问题呢？放缩法的核心在于利用不等式,对函数进行放大或缩小,从而达到简化函数进而简化计算的目的.下面一些关于不等式的常用结论,请在做题过程中慢慢体会.1 .能够利用的不等式通常分为三类：(1)常用

2、不等式,就是常用对数不等式、常用指数不等式和基本不等式,以及相关的变形.(2)已证不等式,通常就是第一小问证明出来的不等式会被用在第二小问题来进行放缩.(3)变形不等式,常用不等式的变形或者在解题过程中积累下来的不等式.2 .在利用不等式放缩的时候需要注意“一向,二等,三证明”.一向.就是不等式放缩时要注意不等号的方向要一致,需要同向才能放缩.二等.就是要注意等号成立的条件,如果多次放缩还要注意等号能否同时成立.三证明.就是在运用了不等式放缩之后,一定要对不等式进行证明,除基本不等式之外,其他必须证明,也就是我们常说的“欲用不等式,必证不等式”.3 .运用不等式放缩时通常可以分为以下几类：(1

3、)直接放缩.就是直接利用常用不等式或者函数单调性放缩即可求解.(2)去参数放缩.利用函数的单调性和参数取值范围,把参数去掉来实现放缩.(3)去项放缩.是通过舍弃一些项来实现放缩简化.(4)系数放缩.对函数进行因式分解,在可预见不等式性质的前提下,把某一个因式作为另一个因式的系数进行放缩.基本放缩公式总结下面一些常用的不等式,可用于放缩法证明不等式或者赋值法找零点,其原理会在后面泰勒展开那里具体讲【解析】，这里不过多证明.注意:如果考试的时候使用了下面的不等式,一定要用构造函数的方式证明出来,所谓“欲用不等式,必证不等式第一组:对数放缩(1)放缩成一次函数lrx!k-1,Inx 1), InX

4、y x(0x 1) .(0x _ I fx =-21 G(Ox 1) .(Ox 1).放缩成二次函数-x,ln(l+x)x-x2(-lxO).(4)放缩成类反比【例】函数12(1)2(%Tlnx.1,Inx-(X1)Jnr-(Ox(XO),ln(l+x)(xxeex.放缩成类反比【例】函数e贺卜!一(X0),et-(x。)1+/+!/+226第三组:指对放缩eA-lnx.(x+l)-(x-l)=2.第四组:三角函数放缩sinxxO),sinx-x2,l-x2cos?1-sin2x.222第五组:以直线j=x-l为切线的函数y=Inx,y=e1-,y=x2-x,y=1-,=xlnx.X下面举例说

5、明如何运用不等式放缩来证明不等式.【例】设/(X)=以+lnx+l,若对任意的x0J(x),xe2恒成立,求的取值范围.先参变分离：/、，InX+1g(x)=e-放缩法:由e=x+l可得2rInx+1xe2x-(lnx+l)e2v+,nx-(lnx+l)2x+lnx+l-(lnx+1)e=.=2.XXXX这里直接利用指数不等式整体代换放缩,即可求出g(x)min,极大地简化了计算,这也是放缩法的魅力所在,我们一定要铭记不等式放缩的“三注意”：一向,二等,三证明.常用不等式及其变形方法总结不等式一：常用指数不等式【例1】证明:指数不等式:e.x+L【解析】证明:令f(x)=e*-(x+l),则r

6、(x)=eT.令r(x)v得XVO.令/,(x)0fx0.,.(x)在(-8,0)单调递减,在(0,+8)上单调递增.(x).()=eo-l=,即et-(x+l).0./.ex.x+l.记忆:可以利用图像辅助记忆,即指数函数y=d的图像在一次函数y=x+l的上方.取等条件：x=0时可以取到等号.(3)变形:对于指数不等式变形通常是利用整体代换，el=+iev1%.(4)变方向:当xT时要改变不等号方向通常不等号两边取倒数，qxJSx+=exx+不等式二:常用对数不等式【例2】证明:对数不等式:1咚X-L【解析】证明：令g(x)=lnx-(X-I)(X0),则/(x)=g-l.令/(x)1,令/

7、(x)0得OVXVLg(x)在(0,1)单调递增,在(1,+上单调递减.,.g(x)g(1)=Inl-(1-1)=0,BPlnx-(x-1)0./Jru;,x-1.记忆:可以利用图像辅助记忆,即指数函数y=Inx的图像在一次函数y=x-l的下方.取等条件：x=l时可以取到等号.(3)变形:对于对数不等式变形通常是利用整体代换，lr-liln(x+l)%.(4)变方向:通常不等号两边同时乘负号,1a由Ik-I=InL-x.常用不等式直接放缩对于一些无参不等式的证明,特别是同时包含指数函数、对数函数的不等式,我们通常需要用常用指数不等式和常用对数不等式放缩为累函数,从而实现函数简化,进而方便计算和

8、求解.【例1】证明:eZln(x+l).【解析】证明：由常用指数不等式-/+I,整体代换可得1)+1=%,当且仅当x=l时,取等号.由常用对数不等式hr,x-1,整体代换可得In(X+1),(x+1)-l=x,当且仅当x=0时,取等号.式与式取等号的条件不同,.eiln(x+l).【例2】证明:elnx+至二1.X【解析】证明：由e.x+l得D.x,即屋.勿,故L.e-x,当且仅当X=I时,取等号.ex1令J11XvInrM-I=In-tslInexBI=Inx+0.terex由于式等号不能同时成立,两式相加得lnx+3e-,两边同乘e得f(x)L例3设f(x)=In(X+1)+JX+1-1.

9、证明:当OVXV2时,f(x)0时，2(x+l)lx+2,yx+1/./(x)=111(x+1)+x+1-lln(x+l)+.记MX)=In(X+1)+一,则“()=,+LJ=v7x+l2(X+6)2Xx2+15%-36)2(x+l)(x+6)2当OVXV2时,(x)0,.(x)在(0,2)内是减函数.又.(x)(0)=0.9xx + 6当 OVXV2 时,/(X)V9xx+6.,.ln(x1)-,BPl(x1)+Jx+1-10恒成立,按去参数放缩可得4f(x).(x)0,只需要证明/(x)0即可.例1已知函数/(x)=eA-IlU1,证明:当上.(时,/(x).0.Ie【解析】证明:当。一时

10、,/Inx-I.设g(x)=J-InX-I,则g，(X)=J-L当OVXVI时,gl时遭)0.“=1是8(%)的最小值点.二.当x0时,g(x).g=0./.当a时Ja).0.【例2】已知函数/=竺*=1,证明:当a.1时,f()+e.O.e【解析】证明；当a.l时,/(x)+e.(2+ei)e-令g(力=f+工_1+e-vjjg)=2xl+ex+,.当XV-I时,g(x)-l时,g，(x)0,g(X)单调递增.g(x).g(T)=O.因此f(x)+e.O.【例3】已知函数/(x)=e*-In(X+?)，当想,2时,证明:/(x)0.【解析】证明：当以,2,x(n,M)时，ln(x+m),ln

11、(x+2),故只需证明当加=2时J(X)0当m=2时,函数/(力=/-+，在(一2,+8)上为增函数,且/(1)0.故/(H=O在(-2,+e)上有唯一实数根x,且o(T,O).当冗(-2,时,r(x)o.从而当X=X0时,/(X)取得最小值.由/(%)=0得e%=!,ln(,0+2)=-x0.Xo+2故/()J(0)=7+=:?。.,vr14.,vrTX*综上,当图,2时,f(x)O.去项放缩所谓去项放缩,就是直接去掉不等式两边的一些不影响不等式恒成立的确定项,从而去除参数或者简化不等式,进而快速得到证明.说白了,就是简单粗暴地扔掉一些累赘,自然就简单了.比如要证明g(x)+/()Mr),如

12、果能够得到g()，则把g(r)直接扔掉，若/(x)(x)成立,则不等式g(x)+/(x)MX)恒成立.【例1】已知函数/(x)=(X+1*，-1),若得,0,证明:/一如:?+%.【解析】证.明：由F(X)=(X+0(e*-1)得/(0)=0,/(-1)=0,去项放缩:根据以,0,x20,可直接放缩去掉含参项X./nr?+,令g(x)=(x+l)(-1)一工,则g(x)=a+2)e，-2,当工,-2时,gM)=(x+2)e-2-2-2时,设力(X)=g(x)=(x+2)0ex-2,则/(x)=(x+3)eA0.故函数8(力在(-2,+巧上单调递增.又g(O)=0,当X(y,0)时,g(x)0.

13、函数g(力在区间(-8,0)上单调递减,在区间(0,+8)上单调递增.g(x).g(0)=0,即(x+l)(er-l)fmx2+x.故/(x).nx2+x.【例2】已知函数/(x)=e用一oe2(x+D(R),当0.【解析】证明：要证明/(x)-e2ln(x+l)0,即证et+,-tze2(x+1)-e2ln(x1)0(x+10).当40时,a*(x+l)O.设g(r)=eM-e21n(x+l),设g) = e川e-x+1e2x+1,+o(x+D2.gx)在(-1,+8)上是增函数.又/(0)=e2O,(l)=e2-1.存在x0(0,1),使得g(题)=e+,-e2即e%+=,111(0+1)

14、=1-.+1.当x(-l,%)时,gx)v.当x(,+0?)时,gO.因此g(x)在(T,%)上是减函数,在(0,+r)上是增函数，.g(力有极小值,也是最小值,且最小值为g(xo)=e*-e2ln(0+1)=e-e2(1-j)=e+e2(+l)-2e22e2-2e2=0因此g(x)O,即(x)=c1-e2ln(x+l)0.综上,当v时,/(R)-e21n(x+l)0.【例3】已知函数/(x)=ev-gov?-X.设/(x)是/(x)的导函数,讨论函数y=fx)的单调性.(2)当,1时,求证:，(力+工一111(工+1).1.e【解析】(1)由已知f(x)=et-dx-l.设g(x)=(x).

15、g,(x)=er-6t.当O时,g(x)=e，一4O在R上恒成立，g(%)=r()在(0,+8)上单调递增.当0时令g(x)O得xln0,g(x)0时,y=/(X)在(re,Ino)单调递减,在(Ina,+?)上单调递增.(2)(证明)由(1)题知,当&0时./(力=与-1在(-1,+8)上单调递增.XvT(O)=O,/.当一1VXVO时J(x)0时J(x)0.则/(x)在(-1,0)上单调递减,在(O,+cc)上单调递增.(n=()=l当04,时,ln4,-1.e由题知r(“在(+e)上单调递增.又r(o)=o,则/(x)在(TO)上单调递减,在(0,+8)上单调递增.(x)min=(0)=

16、1当Jl-J时由(1)题知，T(X)在(一1,Ina)上单调递减，在(Ina,+8)上单调递ee增，且r(0)=0,-i)=l+-io,e二当-lxv时，f,(x)0时，f,(x)0.(x)在-1,0)上单调递减.在(0，+8)上单调递增，贝J(x)mm=(0)=L综上所述:函数/(x)在-1,+00)上的最小值为1.f(x)1,故只需要证明X-In(X+l)0.设(x)=x-ln(x+I)(X-1).1X,(x)=1-x+1x+1则当TVXVO时，(x)0时，f(x)O.即力(X)在(-1,0)上单调递减，在。+0。)上单调递增.则MHmin=M。)=。，即X-In(X+l)0.又f(x)l,故/(x)+x-ln(x+l)1.