概率论与数理统计C课件第四章_反常积分的收敛性.docx
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1、习题&2反常积分的收敛判别法1 .证明比较判别法(定理8.2.2);举例说明,当比较判别法的极限形式中/=O或+8时,J:。a)公和7)公的敛散性可以产生各种不同的的情况。解(1)定理8.2.2(比较判别法)设在4+co)上恒有0f(X)K(x),其中K是正常数。则当风幻心:收敛时/(X)公也收敛;当/()公发散时jo()公也发散。证当收敛时,应用反常积分的CaUChy收敛原理,W0,30a,VA,A,Aq:J;xdx于是JA/(x)daKe(X)叫0,VAO,3A,A,o:f(x)cbcKo于是J;(xdx卜;(x)dx,所以J:/*)公也发散。(2)设在0,+8)上有f(x)0,(x)0,
2、且Iim=0o则当+f(x)dxXT+0(x)Ja发散时,J7(x)dx也发散;但当JfV(X)公收敛时,J7(x)dx可能收敛,也可能发散。例如/*)=4,(x)=(OP2),则Iim这=0。显然有Xxpx+x)rf(x)dx收敛,而对于广e(x)dx,则当lvpv2时收敛,当0-),则Iim4=+oo0显然有xxp2XTye(X)广7*)公发散,而对于(外公,则当gl时收敛。2 .证明Cauchy判别法及其极限形式(定理8.2.3)。证定理&23(CaUChy判别法)设在,+8)u(0,+oo)上恒有/(%)0,K是正常数。若/(x)匹,且pl,则r(x)公收敛;xpJ(2)若/(x)t,
3、且pl,则厂/(XMX发散。推论(CaUehy判别法的极限形式)设在k+oo)u(0,+8)上恒有U)0,且IimXPf(X)=I,+则若01时,积分J:卢公收敛,在其余情况下积分j,+xp井上公发散。Jl+p4 .证明:对非负函数/(x),(cpv)O(x)d收敛与公收敛是等价的。证显然,由70)办收敛可推出(CPV)J:x)办收敛,现证明当/(x)0时可由(cpv)IZfMdx收敛推出J二7(X)公收敛。由于(CPV)J=f(x)公收敛,可知极限IimF(八)=Iimaf(x)dxl+ool+ooJ-A存在而且有限,由Cauchy收敛原理,e0,30,VAA0:F(八)-F(Ar),于是A
4、,A)与8,90,成立Hfa)NI/(八)-尸(八)IVE与(x)F(B)-F(Bt)l时,誓=7,而/0-L公收敛,所以当pl时积分X1X1XpJ:处心绝对收敛;Jlp当0pl时,因为尸(八)=J:SinMr有界,;在口,+oo)单调,且Iim-L=O,由Dirichlet判别法,积分广皿公收敛;但因为当01+xjvPXP时积分J1应IdX发散,所以当0l时,sinxarctanx-,而-L公收敛,所以当时XP2xpj,XP积分sinxar;tan、x绝对收敛;当0pl时,因为尸(八)=J:SinMr有界,”写叫在1,+8)单调,且Iim吧吧=0,由DiriChlet判别法,积分J;SinX
5、arCtan收敛;但因x+coXPJlP为当0pl时积分8罩斗in加发散,所以当0m+ 1且X充分大时,有Sin工 q)与,可知当 m+1时 X积分厂器M绝对收敛。当=7+1时,因为尸(八)=J;sinxdx有界,且当X充分大时,1qQ)单调且Iim29=(),由DiriChlet判别法可知9SinMX收敛;但XTeq“(x)Jaq,l(x)由于当工+8时,区回J易知广 qn(x) X J,PmM .Sinx4(外公发散,所以当=加+1时,积分也3sinxdx条件收敛。纵(R)当机+1时,由Iim=A,A为非零常数、+8或-8,易知+8qn(x积分厂器M发散。6.设/(X)在W,切只有一个奇点
6、X=。,证明定理8.2.3和定理8.2.5。定理8.2.3,(CalIChy判别法)设在上恒有AX)0,若当X属于人的某个左邻域g-外,力时,存在正常数K,使得f(x)y且V1,则M攵敛;(2)f(x)S*,且1,则hafxdx发散。证(1)当P0, BOV(O,S):dx0,V30,V(0,5):0由于仁”(汹仁念T。,所以*(x)公发散。推论(CaiIChy判别法的极限形式)设在值切上恒有/(x)0,且lim(b-x)pf(x)=I,XTb-则若0v+,且pl,则/(冗M收敛;若0v+,且pl,则J:f(X)公发散。证(1)由Iims-X)P/(x)=/(pl,0Z0,Pxe(b-,b):
7、f(x)-1-1-,(Dp再应用定理8.2.3,的(Do(2)由IimS-X)P/(x)=/(p1,00,PXn,b):f(x)-,2(b-x)p再应用定理8.2.3,的(2)o定理8.2.5,若下列两个条件之一满足,则J(x)g(x)公收敛:(1) (Abel判别法)/(%)公收敛,g()在,6)上单调有界;(2) (Dirichlet判别法)/()=J/(x)dx在(O,b-上有界,g()在a,。)上单调且Iimg(x)=0。XTb一证(1)设Ig(X)IG,因为J(x)办收敛,由CaUChy收敛原理,V0,0,VA,A,(b-,b):f(x)dxo由积分第二中值定理,J:f(x)g(x)
8、dx伞(4J(x心卅g(八)“:f(x)dxGJ;f(x)dx+GJF(X0,30,VXS-5,0),有Ig(X)I。由积分第XTb-4M二中值定理,J:f(x)g(x)dx伞(硼(不同市(4)f(x)dx2Mg(八)+2MIg(A,)=.所以无论哪个判别法条件满足,由Cauchy收敛原理,都有)g(x心收敛的结论。Ja7.讨论下列非负函数反常积分的敛散性:IflInxhE公CJ一;。匕等公;jcos2xsn2X)pJ;IInXl公;T(I-X)2公;xp,d-xr,IlnxUx.解(1)因为-r=X=A(x0+),1-(x1-),m2(17)1x2(-x)(1_x)5所以积分J、dx收敛。0
9、Ijx2(I-X)(2)因为Iim?,=L且对任意OS即当x0Xfr2_12x0X2_1充分小时,有I聋。,所以积分1署公收敛。(3)因为;(x0+),=-(xg-),cosxsinXXcosxsinx(乙_%)22所以积分12I2公发散。J。cos-xsn2X(4)因为a丝L丁(0+),所以当p3时积分3些公收xp2xp-2jXP敛,当p3时积分”公发散。(5)首先对任意的OV5O0+充分小时,有IlnMP-1时,积分J;IlnXIP公收敛,当p-1时,积分J;IIn%I。公发散。(6) XPT(I-X)I-(X0+),K(l-x尸T(x1-),所xi-pd尸以在pO,qO时积分J;XkI(
10、I一)M公收敛,在其余情况下积分J:XpT(I-x)gdr发散。(7) XPT(I-X尸TlInXl一i(xl-),且(DFHmx2(P-(1-)-1IIn%I)=O,即当xO充分小时,有0+xp-,(l-x)1lnxO,gT时积分J;XPT(I-工尸IC1X2收敛,在其余情况下积分jZ(Jx)gIlnxldx发散。8.讨论下列反常积分的敛散性:。-nx(PMeR+);1。及X-1)2(”2产;厂也3厂胆言公;*0JoXp小舞Z;广1xp + Xqdx ;J;xpln47xdx.解(I) J;中也办J Inx1 YP-I fl Jo Inx1dx-i3In X,f XPTTIdx+.dx o2
11、 Inx2当0,90时积分公与积分点高公显然收敛,且当xl一时,-T=k+(D)X_1_卜+(JT)ZTI(-。-1)InXln(l+(x-l)X-I即”一JyH公不是反常积分,所以积分J:片士公收敛。InxjoInx(2)Jr1dx=J:dx+j/1dxx(x-1)2(x-2)x(x-1)2(x-2)x(x-1)2(x-2)r+1,+Ldxcyx(x-l)2(x-2)因为V%U-1)2(x-2) 一点;(x0+),X3f1=(X1-),V%U-D2(x-2)公收敛;因为-1)2(x-2) (Dg1 1 1(x 1+),V%U-D2(x-2) V2 I所以积分比1 dx收敛;y X(X I)2
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- 概率论 数理统计 课件 第四 反常 积分 收敛性
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