小学奥数基础教程.docx

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1、小学奥数根底教程（四年级）第1讲速算与巧算（一）第2讲速算与巧算（二）第3讲高斯求和第4讲4,8,9整除的数的特征第5讲弃九法第6讲数的整除性（二）第7讲找规律（一）第8讲找规律（二）第9讲数字酸（一）第10讲数字谜（二）第11讲归一问题与归总问题第12讲年龄问题第13讲鸡兔同笼问题与假设法第14讲盈亏问题与比拟法（一）第15讲盈亏问题与比拟法（二）第16讲数阵图（一）第17讲数阵图（二）第18讲数阵图（三）第19将乘法原理第20讲加法原理（一）第21讲加法原理（二）第22讲复原问题（一）第23讲复原问题（二）第24讲页码问题第25讲智取火柴第26讲逻辑问题（一）第27讲逻辑问题（二）第28讲

2、最不利原那么第29讲抽展原理（一）第30讲抽展原理（二）第1讲速算与巧算（一）计算是数学的根底，小学生要学好数学，必须具有过硬的计算本领。准确、快速的计算能力既是一种技巧，也是一种思维训练，既能提高计算效率、节省计算时间，更可以锻炼记忆力，提高分析、判断能力，促进思维和智力的开展。我们在三年级已经讲过一些四那么运算的速算与巧算的方法，本讲和下一讲主要介绍加法的基准数法和乘法的补同与同补速算法。例1四年级一班第一小组有IO名同学，某次数学测验的成绩（分数）如下：86,78,77,83,91,74,92,69,84,75。求这10名同学的总分。分析与解：通常的做法是将这10个数直接相加，但这些数杂

3、乱无章，直接相加既繁且易错。观察这些数不难发现，这些数虽然大小不等，但相差不大。我们可以选择一个适当的数作“基准”，比方以80作基准，这10个数与80的差如下：6,-2,-3,3,Ib-6,12,-11,4,-5,其中号表示这个数比80小。于是得到总和=80X10+（6-2-3+3+11-=800+9=809o实际计算时只需口算，将这些数与80的差逐一累加。为了清楚起见，将这一过程表示如下：通过口算，得到差数累加为9,再加上80X10,就可口算出结果为809。例1所用的方法叫做加法的基准效法这种方法适用于加数较多，而且所有的加数相差不大的情况。作为“基准”的数(如例1的80)叫做基准数，各数与

4、基准数的差的和叫做累计差、山例1得到：总和数基准数加数的个数累计差，平均数基准数累计差-：加数的个数在使用基准数法时，应选取与各数的差较小的数作为基准数，这样才容易计算累计差。同时考虑到基准数与加数个数的乘法能够方便地计算出来，所以基准数应尽量选取整十、整百的数。例2某农场有10块麦田，每块的产量如下(单位：千克：462,480,443,420,473,429,468,439,475,461。求平均每块麦田的产量。解:选基准数为450,那么累计差=12+30730+2321+18-11+25+11=50,平均每块产量=450+5010=455(千克。答：平均每块麦田的产量为455千克。求一位数

5、的平方，在乘法口诀的九九表中已经被同学们熟知，如7X7=49(七七四十九)。对于两位数的平方，大多数同学只是背熟了10-20的平方，而2199的平方就不大熟悉了。有没有什么窍门，能够迅速算出两位数的平方呢？这里向同学们介绍一种方法一凑整补零法所谓凑整补零法，就是用所求数与最接近的整十数的差，通过移多补少，将所求数转化成一个整十数乘以另一数，再加上零头的平方数。下面通过例题来说明这一方法。例3求29?和82?的值。解：29s=2929=(29+1)X(29-1)+12=3028l=840+1=841o822=8282=(82-2)X(82+2)+22=80X84+4=6720+4=6724由上例

6、看出，因为29比30少1,所以给29“补”1,这叫“补少”；因为82比80多2,所以从82中“移走*2,这叫“移多”。因为是两个相同数相乘，所以对其中一个数“移多补少”后，还需要在另一个数上“找齐”。本例中，给一个29补1,就要给另一个29减1；给一个82减了2,就要给另一个82加上2。最后，还要加上“移多补少”的数的平方。由凑整补零法计算35得3535=4030+52=1225o这与三年级学的个位数是5的数的平方的速算方法结果相同。这种方法不仅适用于求两位数的平方值，也适用于求三位数或更多位数的平方值。例4求9932和2004的值。解：9932=993993=(993+7)X(993-7)+

7、72=1000X986+49=986000+49=98604920042=20042004=(2004-4)(2004+4)+42=2000X2023+16=4016000+16=4016016o下面，我们介绍一类特殊情况的乘法的速算方法。请看下面的算式：66X46,73X88,1944o这几道算式具有一个共同特点，两个因数都是两位数，一个因数的十位数与个位数相同，另一因数的十位数与个位数之和为10这类算式有非常简便的速算方法。例58864=?分析与解：由乘法分配律和结合律，得到88X64=(80+8)X(604)=(80+8)60+(80+8)X4=8060+860+804+84=8060+

8、806+804+84=80(60+6+4)+8X4=80(60+10)+8X4=8(6+1)100+84o于是，我们得到下面的速算式：由上式看出，积的末两位数是两个因数的个位数之积，本例为8X4：积中从百位起前面的数是“个位与十位相同的因数苻的十位数与“个位与十位之和为10的因数的十位数加1的乘积，本例为8X(6+1)o例677X91=?解:由例3的解法得到由上式看出，当两个因数的个位数之积是一位数时，应在十位上补一个0,本例为7X1=07。用这种速算法只需口算就可以方便地解答出这类两位数的乘法计算。练习1L求下面10个数的总和：165, 152,168,171,148,156,169,161

9、,157,149o2 .农业科研小组测定麦苗的生长情况，量出12株麦苗的高度分别为(单位：厘米：26,25,25,23,27,28,26,24,29,27,27,25求这批麦苗的平均高度。3 .某车间有9个工人加工零件，他们加工零件的个数分别为：68,91,84,75,78,81,83,72,79。他们共加工了多少个零件？4 .计算：13+16+10+11+17+12+15+12+16+13+125 .计算以下各题：(1) 372；532；(3)912；(4)682：(5)108?；(6)3972o6 .计算以下各题：(1)77X28；(2)66X55；(3) 33X19；(4)82X44；(

10、5)37X33；(6)4699o练习1答案1 .1596,2.26厘米。2 .711个。4.1475.(1)1369；(2)2809：(3)8281：(4) 4624；(5)11664；(6)157609o6. (1)2156：(2)3630；(3)627；(4)3608：(5)1221；(6)4554o第2讲速算与巧算(二)上一讲我们介绍了一类两位数乘法的速算方法，这一讲讨论乘法的“同补芹与“补同苻速算法。两个数之和等于10,那么称这两个数互补。在整数乘法运算中，常会遇到像72X78,26X86等被乘数与乘数的十位数字相同或互补，或被乘数与乘数的个位数字相同或互补的情况。72X78的被乘数与

11、乘数的十位数字相同、个位数字互补，这类式子我们称为“头相同、尾互补苻型；26X86的被乘数与乘数的十位数字互补、个位数字相同，这类式子我们称为“头互补、尾相同型。计算这两类题目，有非常简捷的速算方法，分别称为“同补”速算法和“补同”速算法例1(1J76X74=?(2)31X39=?分析与解：本例两题都是“头相同、尾互补”类型。(1)由乘法分配律和结合律，得到76X74=(7+6)X(70+4)=(70+6)70+(7+6)4=7070+670704+64=70(70+6+4)+6X4=70(70+10)+6X4=7(7+1)100+64o于是，我们得到下面的速算式：(2)与(1)类似可得到下面

12、的速算式：由例1看出，在“头相同、尾互补的两个两位数乘法中，积的末两位数是两个因数的个位数之积(不够两位时前面补0,如1X9=09),积中从百位起前面的数是被乘数(或乘数)的十位数与十位数加1的乘积。“同补”速算法简单地说就是：积的末两位是“尾X尾，前面是“头X(头+1).。我们在三年级时学到的15X15,25X25,95X95的速算，实际上就是“同补”速算法。例2(17838=?(2)4363=?分析与解：本例两题都是“头互补、尾相同”类型。(1)由乘法分配律和结合律，得到78X38=(70+8)(30+8)=(70+8)30+(708)X8=7030+830+70888=7030+8(30

13、70)88=73100+8100+8X8=(73+8)100+88o于是，我们得到下面的速算式：(2)与(I)类似可得到下面的速算式：由例2看出，在“头互补、尾相同”的两个两位数乘法中，积的末两位数是两个因数的个位数之积(不够两位时前面补0,如3X3=09),积中从百位起前面的数是两个因数的十位数之积加上被乘数(或乘数)的个位数。“补同”速算法简单地说就是：积的末两位数是“尾X尾，前面是头X头+尾”例1和例2介绍了两位数乘以两位数的“同补”或补同”形式的速算法。当被乘数和乘数多于两位时，情况会发生什么变化呢？我们先将互补的概念推广一下。当两个数的和是10,100,IOo0,时，这两个数互为补数

14、，简称互补如43与57互补，99与1互补，555与445互补。在一个乘法算式中，当被乘数与乘数前面的几位数相同，后面的几位数互补时，这个算式就是“同补”型，即“头相同，尾互补型。例如在WX红，因为被乘数与乘数的前两位数相同，都是70,后两位数互补，77+23=100,所以是“同补”型。又如148X152,238232,等都是“同补”型。当被乘数与乘数前面的几位数互补，后面的几位数相同时，这个乘法算式就是“补同”型，即头互补，尾相同型。例如，734y4f58614586电等都是“补同”型。在计算多位数的“同补”型乘法时，例1的方法仍然适用。例3(1)702708=?(2)1708X1792=?解

15、:(1)(2)计算多位数的“同补”型乘法时，将“头X(头+1)”作为乘积的前几位，将两个互补数之积作为乘积的后几位。注意：互补数如果是n位数，那么应占乘积的后2n位，缺乏的位补“0”。在计算多位数的“补同”型乘法时，如果“补”与同，即”头苻与尾的位数相同，那么例2的方法仍然适用(见例4)；如果“补”与同的位数不相同，那么例2的方法不再适用，因为没有简捷实用的方法，所以就不再讨论了。例42865X7265=?解:练习2计算以下各题：1.68X62；2.93X97；3.27X87；4.79X39；5.42X62；6.603X607；7. 693X607；8.40856085o第3讲高斯求和德国著名

16、数学家高斯幼年时代聪明过人，上学时，有一天老师出了一道题让同学们计算：l+2+3+4+99+100=?老师出完题后，全班同学都在埋头计算，小高斯却很快算出答案等于5050。高斯为什么算得又快又准呢？原来小高斯通过细心观察发现：l+100=2+99=3+98=49+52=50+5U1100正好可以分成这样的50对数，每对数的和都相等。于是，小高斯把这道题巧算为(1+100)1002=5050o小高斯使用的这种求和方法，真是聪明极了，简单快捷，并且广泛地适用于“等差数列”的求和问题。假设干个数排成一列称为数列.数列中的每一个数称为一项，其中第一项称为首项，最后一项称为末项，后项与前项之差都相等的数

17、列称为等差数列，后项与前项之差称为公差例如：(1) 1,2,3,4,5,，100：(2) 1,3,5,7,9,，99；(3)8,15,22,29,36,，71。其中(1)是首项为1,末项为100,公差为1的等差数列；(2)是首项为1,末项为99,公差为2的等差数列；(3)是首项为8,末项为71,公差为7的等差数列。由高斯的巧算方法，得到等差数列的求和公式：和=(首项+末项)X项数2例11+2+3+1999=?分析与解：这串加数1,2,3,，1999是等差数列，首项是1,末项是1999,共有1999个数。由等差数列求和公式可得原式=(1+1999)19992=1999000注意：利用等差数列求和

18、公式之前，一定要判断题目中的各个加数是否构成等差数列。例211+12+13+31=?分析与解：这串加数11,12,13,，31是等差数列，首项是11,末项是31,共有31T1+1=21(项)。原式=(11+31)212=441o在利用等差数列求和公式时，有时项数并不是一目了然的，这时就需要先求出项数。根据首项、末项、公差的关系，可以得到项数=(末项-首项)+公差+1，末项=首项+公差X(项数-1)C例33+7+ll+99=?分析与解：3,7,IL,99是公差为4的等差数列,项数=(99-3)4+l=25,原式=(3+99)252=12750例4求首项是25,公差是3的等差数列的前40项的和。解

19、:末项=25+3X(40-1)=142,和=(25142)402=3340o利用等差数列求和公式及求项数和末项的公式，可以解决各种与等差数列求和有关的问题。例5在以下图中，每个最小的等边三角形的面积是12厘米2,边长是1根火柴棍。问：(1)最大三角形的面积是多少平方厘米？(2)整个图形由多少根火柴棍摆成？分析：最大三角形共有8层，从上往下摆时，每层的小三角形数目及所用火柴数目如下表：.；iii；!归至手；jjJII1;1(由上表看出，各层的小三角形数成等差数列，各层的火柴数也成等差数列。：!川.；ih小小卜解：(1)最大三角形面积为(l+3+5+15)12=(1+15)8212=768(厘米2

20、)。2)火柴棍的数目为3+6+9+24=(3+24)82=108(根)0答：最大三角形的面积是768厘米2,整个图形由108根火柴摆成。例6盒子里放有三只乒乓球，一位魔术师第一次从盒子里拿出一只球，将它变成3只球后放回盒子里；第二次又从盒子里拿出二只球，将每只球各变成3只球后放回盒子里第十次从盒子里拿出十只球，将每只球各变成3只球后放回到盒子里。这时盒子里共有多少只乒乓球？分析与解：一只球变成3只球，实际上多了2只球。第一次多了2只球，第二次多了2X2只球第十次多了2X10只球。因此拿了十次后，多了2l22+210=2(l+2+10)=2X55=110(只)o加上原有的3只球，盒子里共有球11

21、0+3=113(只)。综合列式为：(3-1)X(l+2+10)+3=2(1+10)102+3=1131只o练习31 .计算以下各题：(1) 2+4+6+200；(2) 17+19+21+-+39；(3) 5+8+11+14+50；(4) 3+10+17+24+101。2 .求首项是5,末项是93,公差是4的等差数列的和。3 .求首项是13,公差是5的等差数列的前30项的和。4 .时钟在每个整点敲打，敲打的次数等于该钟点数，每半点钟也敲一下。问：时钟一昼夜敲打多少次？5 .求100以内除以3余2的所有数的和。6 .在所有的两位数中，十位数比个位数大的数共有多少个？第四讲我们在三年级已经学习了能被

22、2,3,5整除的数的特征，这一讲我们将讨论整除的性质，并讲解能被4,8,9整除的数的特征。数的整除具有如下性质：性质1如果甲数能被乙数整除，乙数能被丙数整除，那么甲数一定能被丙数整除例如，48能被16整除，16能被8整除，那么48一定能被8整除。性质2如果两个数都能被一个自然数整除，那么这两个数的和与差也一定能被这个自然数整除.例如，21与15都能被3整除，那么21+15及2175都能被3整除。性质3如果一个数能分别被两个互质的自然数整除，那么这个数一定能被这两个互质的自然数的乘积整除。例如，126能被9整除，又能被7整除，且9与7互质，那么126能被9X7=63整除。利用上面关于整除的性质，

23、我们可以解决许多与整除有关的问题。为了进一步学习数的整除性，我们把学过的和将要学习的一些整除的数字特征列出来：(1) 一个数的个位数字如果是0,2,4,6,8中的一个，那么这个数就能被2整除。(2) 一个数的个位数字如果是。或5,那么这个数就能被5整除。(3) 一个数各个数位上的数字之和如果能被3整除，那么这个数就能被3整除。(4) 一个数的末两位数如果能被4(或25整除，那么这个数就能被4(或25整除。(5) 一个数的末三位数如果能被8(或125)整除，那么这个数就能被8(或125)整除。(6) 一个数各个数位上的数字之和如果能被9整除，那么这个数就能被9整除。其中(1(2)(3)是三年级学

24、过的内容，(4)(5)(6)是本讲要学习的内容。因为100能被4(或25)整除，所以由整除的性质1知，整百的数都能被4(或25)整除。因为任何自然数都能分成一个整百的数与这个数的后两位数之和，所以由整除的性质2知，只要这个数的后两位数能被4(或25)整除，这个数就能被4(或25)整除。这就证明了(4)O类似地可以证明(5)0(6)的正确性，我们用一个具体的数来说明一般性的证明方法。837=800+30+7=8100+3X10+7=8(99+1)+3(9+1)+7=899+8+39+3+7=(89939)+(8+3+7)o因为99和9都能被9整除，所以根据整除的性质1和性质2知，(8x99+3x

25、9)能被9整除。再根据整除的性质2,由(8+3+7)能被9整除，就能判断837能被9整除。利用(4)(5)(6)还可以求出一个数除以4,8,9的余数：(44J一个数除以4的余数，与它的末两位除以4的余数相同。(5r)一个数除以8的余数，与它的末三位除以8的余数相同。(6,)一个数除以9的余数，与它的各位数字之和除以9的余数相同。例1在下面的数中，哪些能被4整除？哪些能被8整除？哪些能被9整除？234, 789,7756,8865,3728.8064解:能被4整除的数有7756,3728,8064；能被8整除的数有3728,8064；能被9整除的数有234,8865,8064,例2在四位数562

26、中，被盖住的十位数分别等于几时，这个四位数分别能被9,8,4整除？解：如果56口2能被9整除，那么5+6+2=13+应能被9整除，所以当十位数是5,即四位数是5652时能被9整除；如果562能被8整除，那么62应能被8整除，所以当十位数是3或7,即四位数是5632或5672时能被8整除；如果56口2能被4整除，那么2应能被4整除，所以当十位数是1,3,5,7,9,即四位数是5612,5632,5652,5672,5692时能被4整除。到现在为止，我们已经学过能被2,3,5,4,8,9整除的数的特征。根据整除的性质3,我们可以把判断整除的范围进一步扩大。例如，判断一个数能否被6整除，因为6=2X

27、3,2与3互质，所以如果这个数既能被2整除又能被3整除，那么根据整除的性质3,可判定这个数能被6整除。同理，判断一个数能否被12整除，只需判断这个数能否同时被3和4整除；判断一个数能否被72整除，只需判断这个数能否同时被8和9整除；如此等等。例3从0,2,5,7四个数字中任选三个，组成能同时被2,5,3整除的数，并将这些数从小到大进行排列。解：因为组成的三位数能同时被2,5整除，所以个位数字为0。根据三位数能被3整除的特征，数字和2+7+0与5+7+0都能被3整除，因此所求的这些数为270,570,720,750o例4五位数a329B能被72整除，问：A与B各代表什么数字？分析与解：A329B

28、能被72整除。因为72=8X9,8和9是互质数，所以A329B既能被8整除,又能被9整除。根据能被8整除的数的特征，要求西百能被8整除，由此可确定B=6。再根据能被9整除的数的特征，A329B的各位数字之和为+3+2+9B=A3-f-2+96=A+20,因为1A9,所以21WA+20W29。在这个范围内只有27能被9整除，所以A=7。解答例4的关键是把72分解成8X9,再分别根据能被8和9整除的数的特征去讨论B和A所代表的数字。在解题顺序上，应先确定B所代表的数字，因为B代表的数字不受A的取值大小的影响，一旦B代表的数字确定下来，A所代表的数字就容易确定了。例5六位数防丽丽是6的倍数，这样的六

29、位数有多少个？分析与解：因为6=2X3,且2与3互质，所以这个整数既能被2整除又能被3整除。由六位数能被2整除，推知A可取0,2,4,6,8这五个值。再由六位数能被3整除，推知3+A+BA+B+A=3+3+2B能被3整除，故2B能被3整除。B可取0,3,6,9这4个值。由于B可以取4个值，A可以取5个值，题目没有要求ArB,所以符合条件的六位数共有5X4=20(个。例6要使六位数15ABC6能被36整除,而且所得的商最小，问A,B,C各代表什么数字？分析与解：因为36=4X9,且4与9互质，所以这个六位数应既能被4整除又能被9整除。六位数15ABC6能被4整除，就要前能被4整除，因此C可取1,

30、3,5,7,9要使所得的商最小，就要使15ABC6这个六位数尽可能小。因此首先是A尽量小，其次是B尽量小，最后是C尽量小。先试取A=Oo六位数而而的各位数字之和为12+B+C。它应能被9整除，因此B+C=6或B+C=15.因为B,C应尽量小，所以B+C=6,而C只能取1,3,5,7,9,所以要使记而无尽可能小，应取B=l,C=5。当A=0,B=l,C=5时，六位数能被36整除，而且所得商最小，为15015636=4171练习41 .6539724能被4,8,9,24,36,72中的哪几个数整除？2 .个位数是5,且能被9整除的三位数共有多少个？3 .一些四位数，百位上的数字都是3,十位上的数字

31、都是6,并且它们既能被2整除又能被3整除。在这样的四位数中，最大的和最小的各是多少？4 .五位数加丽A能被12整除，求这个五位数。5 .有一个能被24整除的四位数口23口,这个四位数最大是几？最小是几？6 .从0,2,3,6,7这五个数码中选出四个，可以组成多少个可以被8整除的没有重复数字的四位数？7 .在123的左右各添一个数码，使得到的五位数能被72整除。8 .学校买了72只小足球，发票上的总价有两个数字已经识别不清，只看到是67.9元，你知道每只小足球多少钱吗？第5讲弃九法从第4讲知道，如果一个数的各个数位上的数字之和能被9整除，那么这个数能被9整除；如果一个数各个数位上的数字之和被9除

32、余数是几，那么这个数被9除的余数也一定是几。利用这个性质可以迅速地判断一个数能否被9整除或者求出被9除的余数是几。例如，3645732这个数，各个数位上的数字之和为3+6+45+73+2=30,30被9除余3,所以3645732这个数不能被9整除，且被9除后余数为3,但是，当一个数的数位较多时.，这种计算麻烦且易错。有没有更简便的方法呢？因为我们只是判断这个式子被9除的余数，所以但凡假设干个数的和是9时，就把这些数划掉，如3+6=9,4+5=9,7+2=9,把这些数划掉后，最多只剩下一个3（如以下图），所以这个数除以9的余数是3。这种将和为9或9的倍数的数字划掉，用剩下的数字和求除以9的余数的

33、方法，叫做弃九法一个数被9除的余数叫做这个数的九余数。利用弃九法可以计算一个数的九余数，还可以检验四那么运算的正确性。例1分析与解：利用弃九法，将和为9的数依次划掉。只剩下7,6,1,5四个数，这时口算一下即可。口算知，7,6,5的和是9的倍数，又可划掉，只剩下1。所以这个多位数除以9余1。例2将自然数1,2,3,如果一直写到自然数100,那么所得的数除以9的余数是多少？分析与解：因为这个数太大，全部写出来很麻烦，在使用弃九法时不能逐个划掉和为9或9的倍数的数，所以要配适宜当的分析。我们已经熟知l+2+3+9=45,而45是9的倍数，所以每一组1,2,3,，9都可以划掉。在199这九十九个数中

34、，个位数有十组1,2,3,9,都可划掉：十位数也有十组1,2,3,，9,也都划掉。这样在这个大数中，除了O以外，只剩下最后的100中的数字1。所以这个数除以9余1。在上面的解法中，并没有计算出这个数各个数位上的数字和，而是利用弃九法分析求解。此题还有其它简捷的解法。因为一个数与它的各个数位上的数字之和除以9的余数相同，所以题中这个数各个数位上的数字之和，与1+2+100除以9的余数相同。利用高斯求和法，知此和是5050。因为5050的数字和为5+0+5+0=10,利用弃九法，弃去一个9余1,故5050除以9余1。因此题中的数除以9余1。例3检验下面的加法算式是否正确：2638457+35219

35、83+6745785=129072250分析与解：假设干个加数的九余数相加，所得和的九余数应当等于这些加数的和的九余数。如果不等，那么这个加法算式肯定不正确。上式中，三个加数的九余数依次为8,4,6,8+4+6的九余数为0；和的九余数为1。因为0l,所以这个算式不正确。例4检验下面的减法算式是否正确：7832145-2167953=5664192。分析与解：被减数的九余数减去减数的九余数(假设不够减，可在被减数的九余数上加9,然后再减)应当等于差的九余数。如果不等，那么这个减法计算肯定不正确。上式中被减数的九余数是3,减数的九余数是6,由(9+3)-6=6知，原题等号左边的九余数是6。等号右边

36、的九余数也是6。因为6=6,所以这个减法运算可能正确。值得注意的是，这里我们用的是“可能正确。利用弃九法检验加法、减法、乘法(见例5)运算的结果是否正确时，如果等号两边的九余数不相等，那么这个算式肯定不正确；如果等号两边的九余数相等，那么还不能确定算式是否正确，因为九余数只有0,1,2,8九种情况，不同的数可能有相同的九余数。所以用弃九法检验运算的正确性，只是一种粗略的检验。例5检验下面的乘法算式是否正确：468769537=447156412分析与解：两个因数的九余数相乘，所得的数的九余数应当等于两个因数的乘积的九余数。如果不等，那么这个乘法计算肯定不正确。上式中，被乘数的九余数是4,乘数的

37、九余数是6,4X6=24,24的九余数是6。乘积的九余数是7。67,所以这个算式不正确。说明：因为除法是乘法的逆运算，被除数=除数X商+余数，所以当余数为零时，利用弃九法验算除法可化为用弃九法去验算乘法。例如，检验383801253=1517的正确性，只需检验1517X253=383801的正确性。练习51 .求以下各数除以9的余数：(1) 7468251；(2)36298745；(3) 2657348；(4)66782541932 .求以下各式除以9的余数：(1) 67235+82564；(2)97256-47823；(3)2783X6451；(4)3477+265X84Io3.用弃九法检验

38、以下各题计算的正确性：(1) 228X222=50616；(2) 334X336=112224；(3) 233724286236=3748；(4) 123456789=83810105o4.有一个2000位的数能被9整除，数A的各个数位上的数字之和是B,数B的各个数位上的数字之和是C,数C的各个数位上的数字之和是D。求D。第6讲数的整除性(二)这一讲主要讲能被11整除的数的特征。一个数从右边数起，第1,3,5,位称为奇数位，第2,4,6,位称为偶数位。也就是说，个位、百位、万位是奇数位，十位、千位、十万位是偶数位。例如9位数768325419中，奇数位与偶数位如以下图所示：能被11整除的数的特

39、征：一个数的奇数位上的数字之和与偶数位上的数字之和的差(大数减小数)如果能被11整除，那么这个数就能被11整除例1判断七位数1839673能否被11整除。分析与解：奇数位上的数字之和为1+3+6+3=13,偶数位上的数字之和为8+9+7=24,因为24T3=11能被11整除，所以1839673能被11整除。根据能被11整除的数的特征，也能求出一个数除以11的余数。一个数除以11的余数，与它的奇数位上的数字之和减去偶数位上的数字之和所得的差除以11的余数相同。如果奇数位上的数字之和小于偶数位上的数字之和，那么应在奇数位上的数字之和上再增加11的整数倍，使其大于偶数位上的数字之和。例2求以下各数除

40、以11的余数：(1)41873；(2)296738185o分析与解：(4+8+3)-(1+7)11=7ll=07,所以41873除以11的余数是7。(2)奇数位之和为2+6+3+1+5=17,偶数位之和为9+7+8+8=32。因为17V32,所以应给17增加11的整数倍，使其大于32o(17+11X2)-32=7,所以296738185除以11的余数是1.需要说明的是，当奇数位数字之和远远小于偶数位数字之和时，为了计算方便，也可以用偶数位数字之和减去奇数位数字之和，再除以11,所得余数与11的差即为所求。如上题(2)中，(32-17)11=14,所求余数是11-4=7。1919-191例3求除

41、以11的余数。分析与解：奇数位是101个1,偶数位是100个9。(9100-l101)11=79911=727,11-7=4,所求余数是4。例3还有其它简捷解法，例如每个19”奇偶数位上的数字相差9-1=8,奇数位上的数字和与偶数99个19位上的数字和相差8X99=8X9X11,能被11整除。所以例3相当于求最后三位数191除以11的余数。例4用3,3,7,7四个数码能排出哪些能被11整除的四位数？解：只要奇数位和偶数位上各有一个3和一个7即可。有3377,3773,7337,7733。例5用19九个数码组成能被11整除的没有重复数字的最大九位数。分析与解：最大的没有重复数字的九位数是9876

42、54321,由97+5+3+l)-(8+6+4+2)=5知，987654321不能被11整除。为了保证这个数尽可能大，我们尽量调整低位数字，只要使奇数位的数字和增加3(偶数位的数字和自然就减少3),奇数位的数字之和与偶数位的数字之和的差就变为5+3X2=11,这个数就能被11整除。调整“4321,只要4调到奇数位，1调到偶数位，奇数位就比原来增大3,就可到达目的。此时，4,3在奇数位,2,1在偶数位，后四位最大是2413。所求数为987652413。例6六位数A2875B能被99整除，求A和B。分析与解：由99=9X11,且9与11互质，所以六位数既能被9整除又能被11整除。因为六位数能被9整

43、除，所以A+2+8+7+5+B=22+A+B应能被9整除，由此推知A+B=5或14。又因为六位数能被11整除，所以(8+5)-(2+7+B)=-B+4应能被11整除，即A-B+4=0或A-B+4=ll化简得B-A=4或A-B=7因为A+B与A-B同奇同偶，所以有在(1)中，AW5与A27不能同时满足，所以无解。在(2)中，上、下两式相加，得(BA)+(B-A)=14+4,2B=18,B=9o将B=9代入A+B=14,得A=5。所以，=5,B=9o练习61 .为使五位数6口295能被11整除，口内应当填几？2 .用1,2,3,4四个数码能排出哪些能被U整除的没有重复数字的四位数？3 .求能被11

44、整除的最大的没有重复数字的五位数。4 .求以下各数除以11的余数：(1) 2485；(2)63582；(3)9876543213838385 .求一V，除以11的余数。386 .六位数5A634B5A634B能被33整除，求A+B。7 .七位数3A8629B3A8629B是88的倍数,求A和Bl)第7讲找规律(一)我们在三年级已经见过“找规律”这个题目，学习了如何发现图形、数表和数列的变化规律。这一讲重点学习具有“周期性”变化规律的问题。什么是周期性变化规律呢？比方，一年有春夏秋冬四季，百花盛开的春季过后就是夏天，赤日炎炎的夏季过后就是秋天，果实累累的秋季过后就是冬天，白雪皑皑的冬季过后又到了

45、春天。年复一年，总是按照春、熨、秋、冬四季变化，这就是周期性变化规律。再比方，数列0,1,2,0,1,2,0,1,2,0,是按照0,1,2三个数重复出现的，这也是周期性变化问题。下面，我们通过一些例题作进一步讲解。例1节日的夜景真漂亮，街上的彩灯按照5盆红灯、再接4盏蓝灯、再接3盆黄灯，然后又是5盏红灯、4盏蓝灯、3盘黄灯、这样排下去。问：(1)第100盏灯是什么颜色？(2)前150盏彩灯中有多少盏蓝灯？分析与解：这是一个周期变化问题。彩灯按照5红、4蓝、3黄，每12盏灯一个周期循环出现。(1) 10012=84,所以第100盏灯是第9个周期的第4盏灯，是红灯。(2) 15012=126,前1

46、50盏灯共有12个周期零6盆灯，12个周期中有蓝灯4X12=48(盏),最后的6盆灯中有1蠡蓝灯，所以共有蓝灯48+1=49(盆)。例2有一串数，任何相邻的四个数之和都等于25。第1个数是3,第6个数是6,第U个数是7。问：这串数中第24个数是几？前77个数的和是多少？分析与解：因为第1,2,3,4个数的和等于第2,3,4,5个数的和，所以第1个数与第5个数相同。进一步可推知，第1,5,9,13,个数都相同。同理，第2,6,10,14,个数都相同，第3,7,11,15,个数都相同，第4,8,12,16个数都相同。也就是说，这串数是按照每四个数为一个周期循环出现的。所以，第2个数等于第6个数，是6；第3个数等于第11个数