第5章误差基本知识.ppt

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1、1,测量误差及其产生的原因测量误差的分类与处理原则偶然误差的特性精度评定的指标误差传播定律及其应用,第五章 测量误差基本知识,本章主要内容如下：,2,一、观测误差 当对某观测量进行观测，其观测值与真值(客观存在或理论值)之差，称为测量误差。用数学式子表达：i=Li X(i=1,2n)L 观测值 X真值,5-1 测量误差概述,1、仪器的原因 仪器结构、制造方面，每一种仪器具有一定的精确度，因而使观测结果的精确度受到一定限制。,二、测量误差的来源 测量误差产生的原因很多，但概括起来主要有以下三个方面：,3,例如：DJ6型光学经纬仪基本分划为1，难以确保分以下 估读值完全准确无误。使用只有厘米刻划的

2、普通钢尺量距，难以保证厘米以下估读值的准确性。,仪器构造本身也有一定误差。例如：水准仪的视准轴与水准轴不平行，则测量结果中含有i 角误差或交叉误差。水准尺的分划不均匀，必然产生水准尺的分划误差。,4,2、人的原因 观测者感官鉴别能力有一定的局限性。观测者的习惯因素、工作态度、技术熟练程度等也会给观测者成果带来不同程度的影响。,人、仪器和外界环境通常称为观测条件；观测条件相同的各次观测称为等精度观测；观测条件不相同的各次观测称为不等精度观测。,3、外界条件 例如：外界环境如温度、湿度、风力、大气折光等因素的变化，均使观测结果产生误差。例如：温度变化使钢尺产生伸缩阳光曝晒使水准气泡偏移，大气折光使

3、望远镜的瞄准产生偏差，风力过大使仪器安置不稳定等。,5,三、测量误差的分类,先作两个前提假设：观测条件相同.对某一量进行一系列的直接观测在此基础上分析出现的误差的数值、符号及变化规律。,6,先看两个实例：例1：用名义长度为30米而实际长度为30.04米的钢尺量距。丈量结果见下表5-1：表5-1,可以看出：误差符号始终不变，具有规律性。误差大小与所量直线成 正比，具有累积性。误差对观测结果的危害性很大。,7,例 2：在厘米分划的水准尺上估读毫米时，有时估读过大，有时估过小，每次估读也不可能绝对相等，其影响大小，纯属偶然。大气折光使望远镜中目标成像不稳定，则瞄准目标有时偏左、有时偏右。,可以看出：

4、从个别误差来考察，其符号、数值始终变化，无任 何规律性。多次重复观测，取其平均数，可抵消一些误差的影响。,8,1.系统误差-在相同的观测条件下，对某一量进行一系列的观测，如果出现的误差在符号和数值上都相同，或按一定的规律变化，这种误差称为“系统误差”。系统误差具有规律性。,2.偶然误差-在相同的观测条件下，对某一量进行一系列 的观测，如果误差出现的符号和数值大小都不相同，从表面 上看没有任何规律性，为种误差称为“偶然误差”。个别偶然误差虽无规律，但大量的偶然误差具有统计规律。,3.粗差-观测中的错误叫粗差。例如：读错、记错、算错、瞄错目标等。错误是观测者疏大意造成的，观测结果中不允许有错误。一

5、旦发现，应及时更正或重测。,引进如下概念：,9,(二)测量误差的处理原则,在观测过程中，系统误差和偶然误差总是同时产生。系统误差对观测结果的影响尤为显著，应尽可能地加以改正、抵消或削弱。对可能存在的情况不明的系统误差，可采用不同时间的多次观测，消弱其影响。消除系统误差的常用的有效方法：检校仪器：使系统误差降低到最小程度。求改正数：将观测值加以改正，消除其影响。采用合理的观测方法：如对向观测。研究偶然误差是测量学的重要课题。消除或削弱偶然误差的有效方法：适当提高仪器等级。进行多余观测，求最或是值。,10,若i=Li X（i=1,2,3,358）,5-2 偶然误差的特性,表5-2,11,从表5-2

6、中可以归纳出偶然误差的特性,在一定观测条件下的有限次观测中，偶然误差的绝对值不会超过一定的限值；绝对值较小的误差出现的频率大，绝对值较大的误差出现的频率小；绝对值相等的正、负误差具有大致相等的频率；当观测次数无限增大时，偶然误差的理论平均值趋近于零。用公式表示为：实践表明：观测误差必然具有上述四个特性。而且，当观测的个数愈大 时，这种特性就表现得愈明显。,为了直观地表示偶然误差的正负和大小的分布情况，可以按表5-2的数据作误差频率直方图(图5-1)。,12,-24-21-18-16-12-9-6 3 0+3+6+9+12+15+18+21+24 x=图5-1 频率直方图,13,若误差的个数无限

7、增大(n)，同时又无限缩小误差的区间d，则图6-1中各小长条的顶边的折线就逐渐成为一条光滑的曲线。该曲线在概率论中称为“正态分布曲线”，它完整地表示了偶然误差出现的概率P。即当n时，上述误差区间内误差出现的频率趋于稳定，成为误差出现的概率。正态分布曲线的数学方程式为:(5-3)为标准差，标准差的平方为 方差。方差为偶然误差平方的理论平均值：,14,从5-3式可以看出正态分布具有前述的偶然误差特性。即:1.f()是偶函数。即绝对值相等的正误差与负误差求得的f()相等，所以曲线对称于纵轴。这就是偶然误差的第三特性。2.愈小，f()愈大。当=0时，f()有最大值;反之，愈大，f()愈小。当n时，f(

8、)0,这就是偶然误差的第一和第二特性。3.如果求f()二阶导数并令其等于零，可以求得曲线拐点横坐标：拐=如果求f()在区间 的积分，则误差出现在区间内的相对次数是某个定值，所以当 愈小时，曲线将愈陡峭，即误差分布比较密集；当 愈大时，曲线将愈平缓，即误差分布比较分散。由此可见，参数 的值表征了误差扩散的特征。,15,f(),+,-,1,1,1,2,1,-,+,f(),2,+,-,2,2,1,2,2,1,16,观测条件较好，误差分布比较密集，它具有较小的参数；观测条件较差，误差分布比较分散，它具有较大的参数；具有较小 的误差曲线，自最大纵坐标点向两侧以较陡的趋势迅速下降；具有较大 的误差曲线，自

9、最大纵坐标点向两侧以较平缓的趋势伸展。,最大纵坐标点：,17,5-3 衡量观测值精度的标准,一.中误差 误差的概率密度函数为：标准差,在测量工作中，观测个数总是有限的，为了评定精度，一般采用下述误差公式：标准差中误差 m 的不同在于观测个数 n 上；标准差表征了一组同精度观测在(n)时误差分布的扩散特征，即理论上的观测指标；而中误差则是一组同精度观测在为 n 有限个数时求得的观测精度指标；所以中误差是标准差的近似值估值；随着 n 的增大，m 将趋近于。,18,必须指出：同精度观测值对应着同一个误差分布，即对应着同一个标准差，而标准差的估计值即为中误差。同精度观测值具有相同的中误差。例3:设对某

10、个三角形用两种不同的精度分别对它进行了10次观测，求得每次观测所得的三角形内角和的真误差为 第一组：+3,-2,-4,+2,0,-4,+3,+2,-3,-1；第二组：0,-1,-7,+2,+1,+1,-8,0,+3,-1.试求这两组观测值的中误差。由 解得：m1=2.7 m2=3.6 可见：第一组的观测精度较第二组观测精度高。,19,二、容许误差（极限误差）,根据正态分布曲线，误差在微小区间d中的概率：p()=f()d 设以k倍中误差作为区间，则在此区间误差出现的概率为：分别以k=1,2,3代入上式，可得：P(m)=0.683=68.3 P(2m)=0.955=95.4 P(3m)=0.997

11、=99.7 由此可见：偶然误差的绝对值大于2倍中误差的约占误差总数的4.6，而大于3倍的误差仅占误差总数的0.3。由于一般情况下测量次数有限，3倍中误差很少遇到，故以2倍中误差作为允许的误差极限，称为“容许误差”，或 称为“限差”即容=2m,20,三、相对误差,在某些测量工作中，对观测值的精度仅用中误差来衡量还不能正确反映观测的质量。例如:用钢卷尺量200米和40米两段距离，量距的中误差都是2cm，但不能认为两者的精度是相同的，因为量距的误差与其长度有关。为此，用观测值的中误差与观测值之比的形式来描述观测的质量。即m/L来评定精度，通常称此比值为相对中误差。相对中误差又可要求写成分子为1的分式

12、，即。上例为 K1=m1/L1=1/10000,K2=m2/L2=1/2000 可见:前者的精度比后者高。与相对误差相对应，真误差、中误差、容许误差都称为绝对误差。,21,5-4 误差传播定律,若 Z=F（x1,x2,x3,，xn）式中xi(i=1,2,3,，n)为独立观测值，其中误差为mi(i=1,2,3,，n),求观测值函数的中误差mz。当观测值xi分别具有真误差xi时，则函数z也随之产生相应的真误差z。由数学分析可知，变量与函数的之间的误差关系可近似用函数的全微分表达，即,22,一般函数：倍数函数：和差函数：线性函数：,一、误差传播定律主要公式,23,二、误差传播定律的应用,应用误差传播

13、定律求观测值函数的精度时，可按下述步骤进行：1、按问题性质先列出函数式：2、对函数式进行全微分，得出函数真误差与观测值真误差之间的关系式 3、将真误差形式转换成中误差形式 注意：各观测值之间必须互相独立。,24,例题1：设有函数 式中:s=150.11m，其中误差ms=0.05m=1194500，其中误差m=20.6；求z的中误差mz 解：因为 所以：,例：有函数式如下，若x的中误差mx为已知，求mz。,方法一:,方法二:,注意：在应用误差传播定律时函数式中各观测值之间必须 相互独立,26,误差传播定律的应用,水准测量的高差中误差：若 hAB=h1+h2+hn 设每站高差中误差均为m站，则有

14、mhAB=n m站 即水准测量高差中误差与测站数的平方根成正比。若水准路线为平坦地区，则每测站间距离S大致相等，设AB路线总长为L，则测站数n=L/S，则：即水准测量高差中误差与距离的平方根成正比。,27,由三角形闭和差求测角中误差,根据中误差的定义：,28,5-5 算数平均值及其中误差,一、算术平均值,即，n 趋近无穷大时，算术平均值即为真值,设在相同的观测条件下对未知量观测了n次，观测值为L1,L2,L3,Ln，现在要根据这n个观测值确定出该未知量的最或然值。设未知量的真值为X，以L表示上式观测值的算术平均值，则有,式中：i=LiX,取极限：,29,现在来推导算术平均值的中误差公式。,式中

15、，1/n为常数。由于各独立观测值的精度相同，设其中误差均为m。现以mx表示算术平均值的中误差，则算术平均值的中误差为,30,二、观测值的改正数,观测量的算术平均值与观测值之差，称为观测值改正数，用v表示。当观测次数为n时，有,将,代入上式，得,观测值改正数的重要特性:即对于一组等精度观测，其观测值改正数的总和为零。,31,三、观测值的精度评定,由真误差与观测值改正数的定义可知：,两边同时平方并相加，得,因为,，令,，代入上式，得,32,因为,所以,33,因为,所以,整理后，得,这就是用观测值改正数求观测值中误差的计算公式。,34,例1：某一段距离共丈量了六次，结果如下表所示，求算术平均值、观测

16、中误差、算术平均值的中误差及相对误差。,35,【例2】：用J6型光学经纬仪观测角度，其1测回方向中误差为6，对该角度观测3个测回。求(1)观测1测回角度中误差m；(2)3测回角度平均值的中误差 m均；(3)欲使角度中误差为3需要观测几个测回。,解：(1)观测1测回角度中误差m=b-a,(2)3测回角度平均值的中误差 m均,(3)根据题意有：,5-6不等精度直接观测平差,一、有关概念,设对某未知量分两组进行观测，第一组测4次，观测值为L1、L 2、L 3、L 4，第二组测2次，观测值为L 1、L 2，它们都是等精度观测，则,表示各观测值可靠程度的数值（p）。,权的定义,权的确定,设不等精度观测值

17、的中误差分别为m1，m2，mn,【例】设以不等精度观测某角度，各观测结果的中误差分别为：m1=1，m2=2，m3=3，则它们的权各为,单位权与单位权中误差,等于1的权称为单位权，与这个单位权相对应的中误差称为单位权中误差，一般用m0表示。对于中误差为mi的观测值，其权pi为,二、不等精度观测值的最或然值,设对某未知量进行了一组不等精度观测，观测值分别为L1，L 2，Ln，其对应的权为p1，p2，pn，则加权平均值即为不等精度观测值的最或然值。计算公式为：,三、评定精度,【例】水准测量中从已知高程点A、B、C出发得O点的三个 高程观测值Hi及各水准路线的长度Li，求O点高程的最或然值Ho及其中误

18、差M,42,本章小结：1.测量误差及其产生的原因 仪器的原因 人的原因 外界环境的影响 2.测量误差的分类与处理原则 系统误差-在相同的观测条件下，对某一量进行一系列的观测，如果出现的误差在符号和数值上都相同，或按一定的规律变化，这种误差称为“系统误差”。偶然误差-在相同的观测条件下，对某一量进行一系列的观测，如果误差出现的符号和数值大小都不相同，从表面上看没有任何规律性，为种误差称为“偶然误差”。,43,误差的处理原则系统误差对观测结果的影响显著，应尽可能地加以改正、抵消或削弱。对情况不明的系统误差，采用不同时间的多次观测。消除系统误差的常用的有效方法：检校仪器：求改正数 采用合理的观测方法

19、。研究偶然误差是测量学的重要课题。消除或削弱偶然误差的有效方法：适当提高仪器等级 进行多余观测，求最或是值。,44,在一定观测条件下的有限次观测中，偶然误差的绝对值不会超过一定的限值；绝对值较小的误差出现的频率大，绝对值较大的误差出现的频率小；绝对值相等的正、负误差具有大致相等的频率；当观测次数无限增大时，偶然误差的理论平均值趋近于零。,3.偶然误差的特性,45,4.观测成果的精度评定指标,中误差 观测个数n总是有限的 中误差是标准差的近似值估值；同精度观测值对应着一个误差分布，即对应着一个标准差和中误差。极限误差 偶然误差的绝对值大于2倍中误差的约占误差总数的5，故以2倍中误差作为允许的误差

20、极限，允=2m 相对中误差 用观测值的中误差与观测值之比的形式来描述观测的质量,即m/L=1/N。,46,5、误差的传播规律及应用一、和差函数的中误差二、线性函数和倍数函数的中误差,47,三、一般函数的中误差,48,1、偶然误差和系统误差有什么不同?偶然误差有哪些特性?2、为什么说观测值的算术平均值是最可靠值?3、某直线段丈量了4次，其结果为：98.427m，98.415m，98.430m，98.426m。计算其算术平均值、观测值中误差，并计算算术平均值中误差和相对误差。4、用经纬仪测水平角，一测回的中误差m=15，欲使测角精度达到m=5，需观测几个测回？5、进行三角高程测量，按h=Dtan计算高差，已知=20，m=1，D=250m，mD=0.13m，求高差中误差mh。,第5章 作业,