第13章虚位移原理.ppt

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1、1,注：每次每个实验1节课；带实验指导书；撰写实验报告。,理论力学动力学实验安排,2,例A：考虑并回答解题步骤,如图，系统平衡。已知Q、l、，求P。,1.整体：,解：,2.E点（或BE、AE及重物）,3.BC和滑块C,分析：,1.欲求P，可通过图(c)求，但NC、SBE未知；,2.NC可通过整体求，图(a)；,3.SBE可通过AEB求，图(b)。,结论：取3个分离体，列4个方程 较繁，尚可忍受！,3,例B：考虑并回答解题步骤,如图，系统平衡。已知Q、l、，求P。,？！,分离体太多！中间未知量太多！方程太多！太繁！不能忍受！,分析问题特点，引入新的求解思想：,结构特点：几何可变体系。,待求量特点

2、：较少，且具有主动力的性质。,拓展思路：可否直接建立P和Q 的关系？可否避开求中间反力？可否从动力学方程考虑？,动量定理 或质心运动定理,或,动量矩定理,达朗伯原理？,仍然会得到纯静力学方程，也无效！,4,动能定理,假设系统有一小的位移,虚功方程，即虚位移原理,严格建立虚位移原理，需有诸多基本概念。,5,第十三章 虚位移原理,13-1 约束 约束的运动学分类,静力学中讲的约束约束的力的性质（约束的力的方面），用约束力表示，常指物体；,此处讲的约束约束的运动的性质（约束的运动的方面），用约束方程表示，指运动限制条件。,一、约束和约束方程,自由质点系：运动不受任何限制。,非自由质点系：运动受到限制

3、。,限制条件用数学方程表示即约束方程。,约束,6,二、约束的运动学分类,从三方面理解：概念、实例和约束方程。,常有以下4种（独立）分类方法：,1.几何约束和运动约束,单摆：杆为刚性,质点：小球,约束：铰链和杆,约束方程：,圆轮纯滚动：,质点系：圆轮,约束：地面，无滑动,约束方程：,几何约束只限制质点或质点系在空间的位置，约束方程为位置坐标的代数方程（不含位置坐标的导数）；,运动约束除位移方面的限制外，还有速度或角速度方面的限制，约束方程为位置坐标的微分方程（或速度、角速度及位置坐标的代数方程，显含位置坐标的导数）。,7,2.定常约束和非定常约束,3.完整约束和非完整约束,定常约束约束方程中不显

4、含时间t；（如前二例）,非定常约束约束方程中显含时间t。,变摆长单摆：,完整约束约束方程中不包含坐标对时间的导数，或虽包含，但可积（转换为有限形式）；（如前）,非完整约束约束方程中包含坐标对时间的导数，且不可积。,二质点追踪问题：,质点：小球,约束：铰链和绳,约束方程：,质点A、B在平面内运动，且A的速度始终指向B。,质点系：A、B,约束：A速度指向B,约束方程：,8,4.双面约束（固执约束）和单面约束（非固执约束）,双面约束（固执约束）不仅能限制质点沿某一方向的运动，还能限制相反方向的运动，约束方程为等式方程；（如前单摆）,单面约束（非固执约束）只能限制质点沿某一方向的运动，约束方程为不等式

5、方程。,单摆：用绳连,约束方程：,我们遇到的一般是完整、定常、几何、双面约束（或具有双面约束性质的单面约束），其约束方程可用含各质点直角坐标的代数方程表示。此处只讨论上述情形。,13-2 自由度 广义坐标,一、自由度,具有完整约束的质点系，确定其位置的独立坐标数，称为自由度或自由度数。,9,曲柄连杆机构：,自由质点系：A、B；自由度 22 4,约束方程：,自由度的计算：,质点系自由度 自由质点系自由度 约束（方程）数,1.以质点作为基本单元,约束数 3,质点系自由度 4 3 1,2.以刚体作为基本单元,质点系自由度 自由刚体系自由度 约束（方程）数,自由刚体系：OA、AB；自由度 32 6,约

6、束数 5,约束方程：,质点系自由度 6 5 1,10,二、广义坐标,上述方法很麻烦，特别是约束较多而自由度较少时，可采用以下实用方法：,固定质点系中任意质点或刚体的任一方向的运动，若其他质点和刚体都不会运动，则自由度为1，如图(1)；,否则，再固定质点系中质点或刚体的另一方向的运动，若其他质点和刚体都不会运动，则自由度为2，如图(2)；,依此类推。,图(2),引入广义坐标的意义：,如前面例子，当系统自由度较少、约束较多时，用直角坐标和约束方程表示质点系的运动很麻烦，故引入广义坐标。,如图(1)中，可选为广义坐标；图(2)中，可选 1、2为广义坐标。,确定质系位置的独立参变量，称为广义坐标。可为

7、任意坐标，如直角坐标和非直角坐标。,完整约束下，广义坐标数自由度数目。,11,所有直角坐标均可用广义坐标表示：,qj 为广义坐标,或,19-3 虚位移 虚功,一、虚位移,定义：在给定位置上，质点或质点系在约束所容许的条件下可能发生的任何无限小位移，称为质点或质点系的虚位移。,虚位移的数学意义广义坐标的变分,虚位移有两种情形：,质点的虚位移线位移,刚体的虚位移角位移,理解虚位移有4个要点：为约束所容许，即不能破坏系统的约束；可能发生的，即假想的，与时间无关；所有的，可不止一种；无限小，不改变系统位置。,12,图(b),例子：,图(c),虚 位 移 与 实 位 移 的 比 较,13,二、虚位移的求

8、法实际是求虚位移的关系,1.几何法（运动分析法）,假想系统运动，找该位置下各速度（角速度）的关系，即各虚位移的关系。通常将各有关虚位移用广义坐标的虚位移表示。,例：曲柄连杆机构,选为广义坐标。,OA杆：,AB瞬心在I：,所以，,2.解析法（变分法）,第 i 点：,虚位移：,14,通常选直角坐标系，直接写各点直角坐标的变分，且不在图中画出虚位移：,例：曲柄连杆机构,选为广义坐标，考虑几何关系：,注：通常两种方法各有侧重，有些问题用几何法容易，有些问题有解析法容易。一般容易作运动学分析的问题宜选用几何法。,15,三、虚功,力在虚位移上所做的功称为虚功。,指力 对轴或瞬心P之矩，特别对刚体此式常用,

9、例 曲柄连杆机构，求各主动力之虚功。,力：,或,力偶：,力G：,力偶M：,力F：,直接求C点虚位移不易，故不用下式求虚功：,而用G对瞬心的力矩求：,解1：几何法,16,解2：变分法,建立图示坐标系。选为广义坐标。,力偶M：,力G：,力F：,17,19-4 理想约束,动能定理中曾提过，此处给出更严格的定义：,约束力在任何虚位移中所做的虚功为零，称此约束为理想约束。即满足：,我们已分析，大多数常见约束为理想约束。,19-5 虚位移原理,事实上，我们早已知道：,有了上述各种概念，可严格叙述为：,又称虚功原理,具有完整、双面、定常、理想约束的质点系，在给定位置保持平衡的充要条件是，所有作用于质点系上的

10、主动力在任何虚位移上所做的虚功之和为零。,约束力的虚功约束的动力学性质,18,用虚位移原理可求两类问题：,一、求主动力或平衡条件（位置）对几何可变体系,解题步骤：,(一)研究整体（不取分离体），并选广义坐标；,(二)（若用几何法）画出系统一组虚位移，并用广义坐标虚位移 表示所有对应主动力的虚位移；,(三)列解方程。,（若用解析法，不画虚位移）画出直角坐标系，并求所有对应主动力坐标的变分；,19,例1：本章开头例子,如图，系统平衡。已知Q、l、，求P。,解，建立图示坐标系，则有,对应虚位移为：,代入虚功方程可得,20,例2：(例1变形),已知Q、弹簧原长 l、k，AC=BC=CE=CD=DH=H

11、E=l，求平衡时。（以方程给出）,答案：,注：弹簧处理方法：去之，代以弹簧力，为常主动力。,解，建立图示坐标系，则有,平衡时弹力为由虚位移原理方程,21,例3：,图示机构。已知OA=r，铅直杆OE=l，OB=BE，AB水平，。求图示位置时力偶M与力Q的关系。,答案：,22,问题：用虚功方程可解几个代数未知量？,看例子平面自由刚体,几个自由度？,给刚体虚位移：,对应平动,对应转动,变分方程对应独立代数方程数 广义坐标数,23,图示所示平面机构，不计各杆好滑块的质量，略去接触面摩擦，求在图示位置平衡时，力矩M和F的关系。,虚位移关系的建立需要 运动合成,24,二、求约束力（或内力）一般为几何不变体

12、系,处理方法：去掉约束，代之以约束力，转化为几何可变体系，同一。,一般去掉1个约束，转化为1自由度的可变体系。,各种约束的解除方法：,25,例4：将本章开头例子改动,已知Q、l、，求C处水平反力。,去掉C处水平约束，同例1。,例5：,已知：M=5.0 kN m，P1=P2=4 kN，q=2 kN/m，=30，l=2 m。求固定端A的反力。,26,去A处y方向约束,去A处转动约束,去A处x方向约束,作业：135，8，10,27,13-4 动力学普遍方程,拉格朗日是分析力学的创始人。,动力学普遍方程的思想是：,对n个质点的质点系：,动力学问题,形式上的平衡问题,动力学普遍方程,理想约束：,28,注：上式中不一定指质点，而一般可理解为力或力偶个数；当质点系静止时（静平衡），退化为虚功方程：,即，对动力学问题，给系统加上惯性力，再应用虚位移原理即可解题。,例 138 瓦特调速器,29,