第13章晶格振动.ppt

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1、第13章 晶格振动,13.1 一维单原子晶格振动13.2 一维双原子晶格振动13.3 周期边界条件与格波数13.4 晶格振动的量子化和声子13.5 晶格比热,第13章 晶格振动,原子在平衡位置不动,原子偏离平衡位置而振动,原子离开平衡位置而扩散,晶体由固态转变成液态,理想情况,晶格振动,熔解,晶格振动能够解释固体的许多物理性质，如比热、热传导、热膨胀、本征电阻、离子晶体的光学性质以及与热现象有关的物理过程,13.1一维单原子晶格振动,一维单原子晶格振动物理模型,两原子间的相对位移：=xn+1-xn,平衡时两原子间作用势U（a）,U(a+),13.1一维单原子晶格振动,简谐近似,运动方程,方程的

2、解xn,色散方程,讨论,1.将偏离平衡位置后的势能在平衡位置处泰勒展开,高阶略去,平衡时势能为极小值,2.将U(a+)对求偏导,常数,：力常数,简谐运动公式,简谐近似,作用力,13.1一维单原子晶格振动,简谐近似,运动方程,方程的解xn,色散方程,讨论,3.相邻两个原子间的作用力,F1,F2,对时间的二阶导数,牛二,13.1一维单原子晶格振动,简谐近似,运动方程,方程的解xn,色散方程,讨论,4.从力的方程到振动位移方程,F1,F2,简谐波的试探解,在简谐近似下，晶格振动以平面波的形式在晶体中传播格波,波矢,振幅,相邻原子相位差,振动角频率,13.1一维单原子晶格振动,简谐近似,运动方程,方程

3、的解xn,色散方程,讨论,F1,F2,格波,ma-na=S,所有原子都以相同和A做简谐振动,简谐波的特性周期性,13.1一维单原子晶格振动,简谐近似,运动方程,方程的解xn,色散方程,讨论,5.色散方程的求出,F1,F2,色散关系之讨论,13.1一维单原子晶格振动,简谐近似,运动方程,方程的解xn,色散方程,讨论,5.色散方程的求出,F1,F2,13.1一维单原子晶格振动,简谐近似,运动方程,方程的解xn,色散方程,讨论,6.有关色散方程的讨论,I.周期性&偶对称,第一布区,只有在第一布区才能找到唯一波矢解,第一布区外的波矢点可以找到其在第一布区的等效点,q,q/,13.1一维单原子晶格振动,

4、简谐近似,运动方程,方程的解xn,色散方程,讨论,6.有关色散方程的讨论,I.周期性&偶对称,两个波矢等效,等效点,13.1一维单原子晶格振动,简谐近似,运动方程,方程的解xn,色散方程,讨论,6.有关色散方程的讨论,II.对波长的讨论长波极限,讨论问题区域在第一布区原点附近,q线性关系,相速度与波长无关,13.1一维单原子晶格振动,简谐近似,运动方程,方程的解xn,色散方程,讨论,6.有关色散方程的讨论,II.对波长的讨论长波极限,相速度与波长无关,与宏观弹性波的性质一致,在长波情况下，相速度是与波长无关的的常数，这与宏观的弹性波是一致的。还可以进一步证明，两者相速度在数值上完全相等；故，在

5、长波近似下，格波的波长远大于原子间距，晶格振动类似于再连续介质中传播的弹性波,13.1一维单原子晶格振动,简谐近似,运动方程,方程的解xn,色散方程,讨论,6.有关色散方程的讨论,II.对波长的讨论短波极限,讨论问题区域在第一布区的布区边缘,连续介质的整体运动，=0，恢复力为0,相邻原子反向振动，=max，恢复力最大,13.2 一维双原子晶格振动,一维双原子晶格振动物理模型,13.2 一维双原子晶格振动,简谐近似,运动方程,方程的解xn,色散方程,讨论,1.从运动方程到色散方程,13.2 一维双原子晶格振动,简谐近似,运动方程,方程的解xn,色散方程,讨论,1.从运动方程到色散方程,振幅A&B

6、有非零解,13.2 一维双原子晶格振动,简谐近似,运动方程,方程的解xn,色散方程,讨论,1.从运动方程到色散方程,+:光学支-:声学支,13.2 一维双原子晶格振动,2.声学支和光学支振动特点,I.一般情况下，声学波相邻（M&m）原子沿同一方向振动；光学波相邻原子沿相反方向振动,13.2 一维双原子晶格振动,2.声学支和光学支振动特点,II.长波极限下，长声学波两种原子运动完全一致，且振幅和位相都无差别，此时长声学波代表着原胞质心的运动；长光学波，异类原子反向振动，原胞质心保持不动；,长声学波,长光学波,布区中心附近,13.2 一维双原子晶格振动,2.声学支和光学支振动特点,III.短波极限

7、下，声学波轻原子不振动，重原子振动；光学波重原子不振动，轻原子振动；,短波极限下声学波,短波极限下光学波,布区边缘附近,13.2 一维双原子晶格振动,2.声学支和光学支振动特点,长波极限,短波极限,13.2 一维双原子晶格振动,关于声学支和光学支运动特点的推导,晶格振动.一维双原子晶格的振动.色散关系.声学支,声学支的色散关系式,一维双原子晶格的振动.色散关系.声学支之长波极限,长声学波的-q呈线性关系,长声学波的原胞中两种原子运动完全一致，振幅和位相都没有差别；即在长声学波时，声学波实际代表原胞质心的振动,长波极限：q0时，,一维双原子晶格的振动.色散关系.声学支之短波极限,短波极限：,解得

8、A=0，但B0，即x2n+1=0，因此，在短波极限的情况下，轻的原子不振动，重的原子振动,一维双原子晶格的振动.色散关系.声学支之一般情况,条件：00,声学波相邻原子的振幅有相同的正负号，即相邻原子沿同一方向振动,一维双原子晶格的振动.色散关系.光学支,一维双原子晶格的振动.色散关系.光学支.长波极限,光学支长波极限条件：q0：,u=Mm/(M+m)，称为折合质量,当q0时，有+max,反向运动；原胞质心不动,一维双原子晶格的振动.色散关系.光学支.短波极限,短波极限：,解得A0，但B=0，即x2n=0，因此，在短波极限的情况下，重的原子不振动，轻的原子振动,晶格振动.一维双原子晶格的振动.色

9、散关系.光学支.一般情况,条件：00,光学波相邻原子的振幅是反向的，即相邻原子沿相反方向振动,13.3 周期边界条件与格波数,玻恩-卡门条件,前面讨论的是一维无限长的原子链，现在讨论有N个原子的有限长链,基本假设：有N个原子的有限长链中，可首尾相接，并将第1个原子看成是第N+1个原子，这样就可以用之前讨论的结果来描述有限长的原子链模型,N+1,13.3 周期边界条件与格波数,qNa=2S,S为整数,讨论第一布区,结论：S在有限的范围内取整数，所以波矢q的值是有限并离散的。与无限长原子链波矢连续形成对比,13.3 周期边界条件与格波数,结论：一维下N个原子的晶体在第一布区有N个独立的振动波矢,N

10、为原子个数,N=1,qNa=2S,S=0,q=2S/(Na),一维布拉菲格子,q=0,N=2,S=0，1,N=3,S=-1，0，1,13.3 周期边界条件与格波数,结论延伸至三维,几个重要的概念和结论,1、晶体中原胞个数：N,2、每个原胞的原子数：n,3、原子自由度 原子的空间维数：k,4、原胞自由度总数：nk,5、晶体中原子的自由度总数：Nnk,I.格波支数 晶体中光学波和声学波的支数之和：nk,II.每支格波的格波数 每支格波包含的波矢个数：N,II.晶体总格波数：Nnk,k支频率最低的格波为声学波，其余为光学波,13.3 周期边界条件与格波数,结论延伸至三维,一维布拉菲格子,举例说明（以

11、下晶体原胞的个数为N）,晶体,格波支数（声学支、光学支）,每支格波的格波数,总的格波数,1（1、0）,N,N,一维双原子格子,2（1、1）,N,2N,二维正方格子,2（2、0）,N,2N,金刚石结构,6（3、3）,N,6N,13.4 晶格振动的量子化与声子,由玻恩卡门条件可以知道：在有限的晶体内，振动模式（q，）是分立的；,每一个独立的振动模式，都可以看成是一个谐振子，总能量为N个谐振子能量之和,根据量子力学，一个谐振子的能量可以写成,声子：晶格振动的最小单位,零点能,格波数,13.4 晶格振动的量子化与声子,对声子的深入理解,1、声子是晶格振动格波的能量量子，是晶格振动能量的最小单位；声子越

12、多，该模式振动越强烈；,2、声子是玻色子，服从玻色-爱因斯坦统计分布；,5、声子服从能量守恒和准动量守恒：,3、声子不是一种真实的粒子，不携带物理量，其准动量为q；,4、声子数不守恒，在与其他粒子碰撞时，可产生，也可湮灭；,13.4 晶格振动的量子化与声子,晶格振动的量子化与声子.一维单原子的振动一般解讨论,关于晶格振动简正坐标的表示，以及谐振子能量公式的推导,晶格振动的量子化与声子.一维单原子的振动一般解讨论,问题的提出：如果采用xn为坐标系，那么会有N（N为原子个数）个实数坐标系；而这N个坐标系的物理性质又相互关联，这将为讨论问题带来麻烦；,解决思路：采用一归一化正交坐标系使其坐标系中的物

13、理操作都是相互独立的简正坐标；,步骤一：线性叠加,解决方法：简正坐标的建立即变原来的几何空间为状态空间，在状态空间建立相应的坐标系去讨论问题；,归一化因子,晶格振动的量子化与声子.一维单原子的振动一般解讨论2,步骤二：简正坐标的表示,以bnq为坐标系简正坐标为状态空间q的坐标系,独立的坐标数仍然为N个，因而晶体中原子的自由度总数仍然是一致的,晶格振动的量子化与声子.晶格振动总能量,在简正坐标系下讨论该问题：,动能,1,势能,设平衡位置时能为零,晶格振动.晶格振动的量子化与声子.晶格振动总能量2,总能量,根xn无关，只跟波矢q有关,进一步讨论：哈密顿方程,晶格振动.晶格振动的量子化与声子.声子,

14、每个谐振子的能量,谐振子能量是量子化的，有N个独立的谐振子，总能量为其和,根据量子力学理论：,谐振子能量,三维空间：,声子,晶格振动的最小单元,晶格振动的零点能,13.5 晶格比热,比热的定义：,单位温度变化所引起的内能变化,以下对比热的讨论只考虑晶格的影响,晶格振动能量引入比热,电子运动能量引入比热,13.5 晶格比热,1、经典比热理论杜隆-珀替定理,经典能量均分原理：,E=3NKBT,晶体振动总的自由度,每个谐振子的能量,比热与温度无关，为一常数：,CV=3NKB,在低温处出现矛盾,13.5 晶格比热,2、晶格比热的量子理论,谐振子的能量,谐振子平均能量,f(B),13.5 晶格比热,2、

15、晶格比热的量子理论,谐振子的能量,谐振子平均能量,13.5 晶格比热,2、晶格比热的量子理论,谐振子的能量,谐振子平均能量,总的平均能量,晶体的比热,13.5 晶格比热,2、晶格比热的量子理论,谐振子的能量,谐振子平均能量,总的平均能量,晶体的比热,假设频率连续,频率分布函数,13.5 晶格比热,2、晶格比热的量子理论,可以证明该公式在T很大时，趋近3NKB；在T很低时，趋向0；,谐振子的能量,谐振子平均能量,总的平均能量,晶体的比热,假设频率连续,13.5 晶格比热,3、爱因斯坦模型,假设：原子中所有原子振动独立，且频率相同,即：,0,0,0,爱因斯坦比热函数,爱因斯坦温度,13.5 晶格比

16、热,3、爱因斯坦模型,高温时,低温时,结论1：高温时与实验相符,趋近于0,结论2：低温时，趋势与实验相同；但是实验表明比热与T3成正比，而爱因斯坦模型比它更快地趋向零。,13.5 晶格比热,4、德拜模型,假设：晶体是各向同性的连续介质，格波可以看成连续介质中的弹性波（长声学波）,波速为常数,经过推导，可得,德拜温度,德拜比热函数,13.5 晶格比热,4、德拜模型,结论1：高温时与实验相符，但是，为了接近实验结果，常常选取随温度变化的德拜温度,结论2：低温时，比热与温度T3成正比，与实验符合得很好。温度越低，符合得越好；,晶格比热.德拜模型,假设：,把布拉菲晶格看作是各向同性的连续介质，即把格波看作是弹性波，并且假定纵的弹性波和横波波速相等，都是 对于每一支振动，波矢的数值在qq+dq的振动方式数目为 其中V为晶体的体积,对于各向同性介质中的弹性波,的格波数,晶格比热.德拜模型2,德拜温度,德拜比热函数,比热与经典的杜隆-珀替定律一致,低温时：,即在低温极限下，比热与温度T3成比例，与实验符合得很好。温度越低符合得越好。因为在非常低的温度下，只有长波激发是主要的，对于长波晶格可以看作是连续介质。但在高温下，不但有长波而且有短波，不但有声学波，而且还有光学波，这时，不能再把晶格看作连续介质,