随机变量的数字特征与极限定理.ppt
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1、1,概率论与数理统计,第五章随机变量的数字特征与极限定理,2,第五章 随机变量的数字特征与极限定理,在前面关于随机变量及其分布的讨论中,我们较仔细地讨论了随机变量的概率分布,我们看到随机变量的概率分布(分布函数或分布列和概率密度)是随机变量的概率性质最完整的刻划,是能够完整地描述随机变量的统计规律的.,但是在许多实际问题中,求概率分布不是一件容易的事;另一方面,有时不需要知道随机变量的概率分布,而只需要知道它的某一方面的性质.,3,例如,考察某种大批生产的元件的寿命,如果知道了它的概率分布,就可以知道寿命在任一指定的界限内的元件的百分率有多少,这对该种元件的寿命状况提供了一幅完整的图景.,下面
2、我们将看到,根据这一分布我们可以算出元件的平均寿命值m,这个数m虽然不能对元件的寿命状况提供一个完整的刻划,但却在一个重要方面,且往往是人们最为关心的一个方面,刻划了元件寿命的状况,因而在应用上有极重要的意义.,类似的情况很多,比如我们在了解某一个行业的经济状况时,我们首先关心的恐怕会是其平均收入,这给了我们一个总的印象;至于收入的分布状况,除非为了特殊的研究目的,倒反而不一定是最重要的了.,4,另一类重要的数字特征,是衡量一个随机变量(或其分布)取值的散布程度.,例如,两个行业工人的平均收入大体相近,但一个行业中工人收入的分配较平均,即大多数工人的收入都在平均值上下不远处,其“散布”小;另一
3、个行业则相反,其收入远离平均值者很多,“散布”较大,这二者的实际意义当然很不同.,又如生产同一种产品的两个工厂,各自的产品平均说来都能达到规格要求,但一个工厂的波动小,较为稳定,另一个工厂则波动大,有时质量超标准,有时则低于标准不少,这二者的实际后果当然也不同.,5,上面提到的平均值和散布程度,是刻划随机变量性质的两类最重要的数字特征.,对于多维随机变量而言,则还有一类刻划各分量之间的关系的数字特征.,在本章中,我们将要介绍的数字特征有:数学期望、方差、协方差、相关系数和矩.,6,引例 考试的平均成绩问题,假设有n名同学参加了某种考试,考试后的成绩是:第一个同学得了a1分,第二个同学得了a2分
4、,第n个同学得了an分,那么他们这种考试的平均成绩,7,引例 考试的平均成绩问题,假设有n名同学参加了某种考试,考试后的成绩是:第一个同学得了a1分,第二个同学得了a2分,第n个同学得了an分.,将他们的成绩进行了汇总,发觉得x1分的人有n1个,得x2分的人有n2个,得xk分的人有nk个,其中n1+n2+nk=n,那么他们这种考试的平均成绩,8,9,第五章 随机变量的数字特征与极限定理,5.1 随机变量的数学期望,离散型随机变量的数学期望,10,定义5.1 设离散型随机变量X的分布列为P(X=xk)=pk,k=1,2,若级数,绝对收敛,即,则称该级数为离散型随机变量X的数学期望或均值,记为EX
5、或E(X),即,11,当,发散时,则称X的数学期望不存在.,定义中的绝对收敛条件是为了保证式,不受求和的次序的改变而影响其和的值.,12,如果把x1,x2,xk,看成是x轴上质点的坐标,而把p1,p2,pk,看成是相应质点的质量,质量总和为,则式,表示质点系的重心坐标.,13,常用的离散型随机变量的数学期望,例1(01分布)设随机变量X的分布列为,求EX.,解 EX=0(1p)+1p=p.,14,由前面可知,事件A的示性函数IA服从01分布:,故EIA=P(A),即任意事件的概率等于它的示性函数的数学期望.,15,例2(二项分布)设随机变量X的分布列为,求EX.,解,16,17,18,例3(泊
6、松分布)设随机变量X的分布列为,求EX.,解,19,由此看出,泊松分布的参数就是相应随机变量X的数学期望.,20,第五章 随机变量的数字特征与极限定理,5.1 随机变量的数学期望,连续型随机变量的数学期望,对以f(x)为概率密度的连续型随机变量X而言,值x和f(x)dx分别相当于离散型随机变量情况下的“xk”和“pk”,故由离散型随机变量的数学期望的定义可知,连续型随机变量的数学期望可定义如下:,21,定义5.2 设连续型随机变量X的概率密度为f(x),若积分,绝对收敛,即,则称该广义积分为连续型随机变量X的数学期望或均值,记为EX或E(X),即,22,EX的物理意义可理解为以f(x)为质量密
7、度的一维连续质点系的重心坐标.,23,常用的连续型随机变量的数学期望,例4(均匀分布)设连续型随机变量X的概率密度为,求EX.,24,解,这个结果是可以预料的,因为X在a,b上服从均匀分布,它取值的平均值当然应该是a,b的中点.,25,例5(指数分布)设连续型随机变量X的概率密度为,其中是正常数,求EX.,26,解,27,例6(正态分布)设连续型随机变量XN(,2),求EX.,解 EX=.正态分布中的参数,表示相应随机变量X的数学期望.,28,29,30,例7(柯西分布)设连续型随机变量X的概率密度为,求EX.,解 由于,故X的数学期望不存在.,31,第五章 随机变量的数字特征与极限定理,5.
8、1 随机变量的数学期望,随机变量函数的数学期望,32,随机变量函数的数学期望,关于一维随机变量函数的数学期望,有下面的定理,定理5.1 设Y=g(X),g(x)是连续函数.()若X是离散型随机变量,分布列为P(X=xk)=pk,k=1,2,,且,则有,33,()若X是连续型的随机变量,概率密度为fX(x),且,则有,根据上面的这个定理5.1可知,当求Y=g(X)的数学期望时,不必知道Y的分布,只需知道X的分布就可以了.,34,例8 设随机变量X的概率密度为,求E(sinX).,当然,我们可以先求出Y=sinX的概率密度fY(y),再由连续型随机变量的数学期望的定义求出 E(sinX).不过,这
9、样计算要麻烦得多.,35,解,36,例9 设在国际市场上每年对我国某种出口商品的需求量是随机变量X(单位为吨),它在2000,4000上服从均匀分布的,又设每售出这种商品一吨,可为国家挣得外汇3万元,但假如销售不出去而囤积于仓库,则每吨需要浪费保养费1万元,问需要组织多少货源,才能使国家的收益最大.,解 设y为预备出口的该种商品的数量,由已知条件X在2000,4000上服从均匀分布可知,这个数量y可以只考虑介于2000与4000之间的情况.,用Z表示国家的收益(单位为万元),则由题设可得,37,下面求EZ,并求使EZ达到最大的y值.,38,故当y=3500时,EZ达到最大值8250.因此,组织
10、3500吨这种商品是最佳的决策.,39,定理5.1还可以推广到二维及二维以上的随机变量函数的情况.以二维随机变量函数Z=g(X,Y)为例,有下面的定理.,定理5.2 设Z=g(X,Y),g(x,y)是连续函数()若(X,Y)是二维离散型随机变量,分布列为pij=P(X=xi,Y=yj),i,j=1,2,且,则有,40,()若(X,Y)是二维连续型随机变量,概率密度为f(x,y),且,则有,41,从式,可以得到由(X,Y)的概率密度f(x,y)求X与Y的数学期望的公式:,42,例10 设随机变量X、Y相互独立,且都服从N(0,2)分布,求,解 由二维随机变量函数的数学期望的公式,有,43,44,
11、45,46,47,例10 设(X,Y)在区域A上服从均匀分布,其中A为x轴、y轴和直线x+y+1=0所围城的区域(图5.1),求EX,E(3X+2Y),E(XY).,图5.1,48,解(X,Y)的概率密度为,于是,49,50,51,随机变量的数学期望的性质,()EC=C,C为常数;,()E(CX)=CEX,C为常数;,()E(X1+X2+Xn)=EX1+EX2+EXn;,()若X1,X2,Xn相互独立,则E(X1X2Xn)=EX1EX2EXn.,在上面的性质中,均假设数学期望是存在的.,证()将C看成一个离散型随机变量,有分布列P(C=C)=1.于是EC=CP(C=C)=C1=C.,52,()
12、设X为连续型随机变量,概率密度为f(x).令Y=g(X)=CEX,则由上面的定理5.1得,故E(CX)=CEX.,离散型随机变量的情况,可类似证明.,53,()对n=2的情况给出证明,一般的情况不难用数学归纳法推得.,先考虑连续型随机变量的情况,设(X,Y)是二维连续型随机变量,概率密度为f(x,y),则由上面的定理5.2立即可得,54,下面考虑离散型随机变量的情况,设(X,Y)是二维离散型随机变量,分布列为 pij=P(X=xi,Y=yj),i,j=1,2,则由上面的定理5.2立即可得,55,()对两个连续型随机变量的情况给出证明,离散型随机变量的情况,可类似证明;一般的情况不难用数学归纳法
13、推得.,设X,Y是两个连续型随机变量,概率密度分别fX(x)和fY(y),于是由X与Y相互独立得(X,Y)的概率密度f(x,y)可由fX(x)和fY(y)的乘积来表达,从而,56,例12 设XB(n,p),求EX.,解 在前面的例2中,我们已经直接用数学期望的定义求得了EX=np.现在利用数学期望的的性质()来作.,设在n重伯努利试验中,成功的次数为Y,而在每次试验成功的概率为p,则Y与X有相同的分布,从而有相同的数学期望.,若设Xi表示在第i次试验成功的次数,i=1,2,n,则Xi的分布列为,57,且,由Xi的分布列得,EXi=p,于是由数学期望的的性质()得到,与例2的作法比较可见,本例的
14、作法要简单得多.,58,例13 设r个人在楼的底层进入电梯,楼上有n层,每个乘客在楼的任一层下电梯的概率是相同的.如果到楼的某一层无乘客下电梯,电梯就不停车,求直到乘客都下完时电梯停车的次数X的数学期望.,解 设Xi表示在第i层电梯停车的次数,i=1,2,n,则,易见,59,下面求Xi的分布列(i=1,2,n),由于每个人在楼的任一层下电梯的概率均为1/n,故他不在楼的某一层下电梯的概率均为,故r个人同时不在第i层下电梯的概率为,即,60,从而,于是,61,因此,在这个例子中,若r=10,n=10,则EX=6.5,即电梯平均停车6.5次.,在上面的例子中,把一个比较复杂的随机变量X拆成n个比较
15、简单的随机变量Xi的和,然后通过这些比较简单的随机变量的数学期望,根据数学期望的性质()求得了X的数学期望,这样的方法是概率论中常采用的方法.,62,例 同时掷四颗匀质的骰子,求所得点数之和的数学期望?,解 设X表示四颗骰子的点数之和,则X是一个离散型的随机变量,它的取值是4,5,24.,设Xi表示第i颗骰子的点数,i=1,2,3,4,,则,63,例13 设N个人进行验血,有两种方案:,(1)对每个人的血液逐个化验,共需进行N次化验;,(2)将采集的每个人的血液分成两份,按k个人一组混合后进行化验(设N为k的倍数),若呈阴性反应,则认为k个人的血都是阴性反应;如果混合后血液呈阳性反应,则需要对
16、k个人的另一份血液逐个进行化验,这时k个人的血总共要化验k+1次.,假设所有人的血液呈阳性反应的概率都是p,且各次的化验结果是相互独立的,试说明适当选取k可使第二个方案减少化验次数.,解 设X表示第二个方案下的总化验次数,64,解 设X表示第二个方案下的总化验次数,Xi为第i个分组的化验次数(i=1,2,N/k),则,EX表示第二个方案下的总的平均化验次数,EXi表示第i个分组的平均化验次数(i=1,2,N/k).,下面先求EXi.,按照第二个方案的规定,Xi可能取两个值:混合血液呈阴性时,Xi=1;血液呈阳性,Xi=k+1.,65,因为“Xi=1”表示“组内k个人的血都是阴性”这个事件,又由
17、于各次的化验结果是相互独立的,所以,于是,66,因此,这就是第二个方案下的总的平均化验次数,由此可知,只要选k使,即,67,就可以使第二个方案减少化验次数.,当q已知时,若选k使,取最小值,就可以使化验次数最少.,例如,当q=0.9时,可以证明,选k=4可以使f(k)最小,这时,故当q=0.9,k=4时,第二个方案的化验次数比第一个方案平均减少40%.,68,例 设XN(4,9),YU0,4,Z=2XY5,求EZ?,解 EZ=E(2XY5)=2EXY5.,若X,Y相互独立,则EZ=E(2XY5)=2EXY5=2EXEY5.,由于XN(4,9),YU0,4,故EZ=E(2XY5)=2EXY5=2
18、EXEY5=11.,69,引例 考试的平均成绩问题,y,O,EX,EY,x,70,第五章 随机变量的数字特征与极限定理,5.2 方差,方差的概念,数学期望反映了随机变量的平均值,它是一个很重要的数字特征.但是,在某些场合下只知道平均值是不够的.,例如研究灯泡的质量时,人们不仅要知道灯泡寿命X的平均值EX的大小,而且还要知道这些灯泡的寿命X离开EX的平均偏离程度如何.,71,如果平均偏离较小,那么说明这批灯泡的寿命大部分接近它的均值,这也说明灯泡厂的生产是稳定的;这时,如果EX比较大,那么灯泡的质量就是比较好的.相反,如果X离开EX的平均偏离较大,那么即使均值较大,生产质量也是有问题的.,再如在
19、打靶比赛中,不但要求射击准确,而且还要求稳定.如果某射手射击10次,虽然有7次正中靶心,但是另外3次却打歪了,弹孔离靶心很远,甚至子弹射到了靶外打伤了人,这也说明此人的射击技术是成问题的.,72,那么,用什么量来衡量这种平均偏离程度呢?,人们自然会想到采用|XEX|的平均值E|XEX|.,但是式E|XEX|带有绝对值号,运算不便,故采用(XEX)2的平均值E(XEX)2来代替E|XEX|.,显然,E(XEX)2的大小完全能够反映X离开EX的平均偏离大小的,这个值就称为X的方差.定义如下:,73,定义5.3 设X是一个随机变量,若E(XEX)2存在,则称E(XEX)2是X的方差,记作DX,即DX
20、=E(XEX)2.,同时,称方差的平方根是X的标准差或根方差,记作X,即,由于X与X具有相同的量纲,故在实际问题中经常被采用.,74,根据一维随机变量函数的数学期望公式,对于离散型和连续型随机变量的方差可以分别得到如下的表达式:,()离散型随机变量的情况,其中P(X=xk)=pk,k=1,2,.,()连续型随机变量的情况,其中fX(x)为随机变量X的概率密度.,75,关于方差的计算,常利用如下的公式 DX=EX2(EX)2.这个公式可用的数学期望的性质来证明.,证,76,常用的离散型、连续型随机变量的方差.,例1(01分布)设随机变量X的分布列为(q=1p),求DX.,解 EX=0(1p)+1
21、p=p EX2=02(1p)+12p=pDX=p2p=p(1p)=pq.,77,例2(二项分布)设随机变量X的分布列为,求DX.,解,78,解,79,80,81,例3(泊松分布)设随机变量的分布列为,求DX.,解,82,83,84,由此看出,泊松分布的参数既是相应随机变量X的数学期望又是它的方差.,85,例4(均匀分布)设XUa,b,求DX.,解 EX=(a+b)/2,而,86,故,由此看出,在a,b上服从均匀分布的随机变量的方差与区间长度的平方成正比.,87,例5(指数分布)设XE(),即连续型随机变量X的概率密度为,其中是正常数,求DX.,解 EX=1/,而,88,89,90,例6(正态分
22、布)设连续型随机变量XN(,2),求EX.,解 EX=,DX=2.正态分布N(,2)中的参数和2分别表示相应随机变量X的数学期望和方差.,91,92,随机变量的方差的性质,()DC=0,C为常数;,()D(CX)=C2DX,C为常数;,()若X1,X2,Xn相互独立,则D(X1+X2+Xn)=DX1+DX2+DXn;,()DX=0的充要条件是X取某一常数值a的概率为1,即 P(X=a)=1,a=EX.,在上面的性质中,均假设方差是存在的.,证()DC=E(CEC)2=E(CC)2.,93,证()DC=E(CEC)2=E(CC)2.,()D(CX)=E(CX)2E(CX)2=C2EX2C2(EX
23、)2=C2EX2C2(EX)2=C2DX,()对n=2的情况给出证明,一般的情况,证法相同,()证明略.,94,又,95,因为X与Y相互独立,故,于是,从而,96,应用方差的性质计算方差,常常能使运算简化,见下例,例6 设 XB(n,p),求DX.,解 设在n重伯努利试验中,成功的次数为Y,而在每次试验成功的概率为p,则Y与X有相同的分布,从而有相同的方差(0p1,q=1p).,设Xi表示在第i次试验成功的次数,i=1,2,n,则Xi的分布列为,97,显然,Y可以用Xi(i=1,2,n)表示为:,由Xi的分布列可知,DXi=pq,i=1,2,n.由于 X1,X2,Xn相互独立,故由方差的性质(
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