随机变量的数字特征之方差概率论.ppt

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1、2023/11/18,1,上节介绍了随机变量的数学期望，它反映了随机变量取值的平均水平，是随机变量的一个重要的数字特征.,复习,五条性质:,2023/11/18,2,2 方差,上节的例1 甲班有30名学生，他们的数学考试成绩(按五级记分)如右表所示,乙班,则该班的平均成绩也是,你认为两个班的成绩一样吗?,为此需要引进另一个数字特征,用它来度量随机变量取值在其中心附近的离散程度.,这个数字特征就是我们要介绍的,数学期望体现的是随机变量取值的平均水平,是随机变量的一个 重要数字特征.,则该班的平均成绩,2023/11/18,3,2.方差(Variance 或 Dispersion),定义.,设X是

2、一随机变量，,则称EX-E(X)2称为X的方差,记作D(X),即,方差的算术平方根,称为 X 的标准差，,记作,即,若EXE(X)2存在，,2023/11/18,4,注:,(2)方差D(X)用来体现随机变量X取值分散的程度,反映了X偏离其数学期望E(X)的程度.,(3)如果D(X)值越大(小)，,表示X取值越分散(集中),以E(X)作为随机变量X的代表性越差（好）.,0;,(1)由定义知，D(X)=EX-E(X)2,2023/11/18,5,3.方差的计算,(1)利用随机变量函数的数学期望公式,离散随机变量的方差,连续随机变量的方差,2023/11/18,6,解：,求,例1.设随机变量X的分布

3、列为,=0.8,2023/11/18,7,(2)利用方差公式,且E(X2),也存在,则,证明:,定理：设随机变量X的数学期望E(X)存在，,2023/11/18,8,求,例1(续).设随机变量X的分布列为,2023/11/18,9,解:,例2.若XB(n,p),求方差D(X).,已求得,=E(X),其中XB(n-1,p),2023/11/18,10,解:,例3.若,求D(X).,已求得,=E(X),其中XP(lambda),2023/11/18,11,已求得,例4.若XU(a,b),求D(X).,解:,2023/11/18,12,解:,例5.若,求D(X).,已求得,=E(X),其中Xe(1)

4、,2023/11/18,13,指数分布,r 为整数 n 时，(n)=(n 1)!,2023/11/18,14,U(a,b),e(),P(),B(n,p),(01),p pq np npq,常用随机变量的期望与方差,分布,分布列或密度函数,期望,方差,2023/11/18,15,二、方差的性质,证:,证:,2023/11/18,16,证:,2023/11/18,17,例.已知随机变量X的数学期望E(X)与,设随机变量,试证,证：,(标准化的随机变量),都存在,且,2023/11/18,18,求,解：,例.设 X1,X2 相互独立，,由X1,X2 相互独立，有,2023/11/18,19,2023

5、/11/18,20,基本内容：一、原点矩与中心矩 一、协方差与相关系数,第三节 原点矩与中心矩第四节 协方差与相关系数,2023/11/18,21,一、原点矩与中心矩,1.k 阶原点矩：,2.k 阶中心矩：,特别地，k=1,E(X)为数学期望.,k=2,EX-E(X)2为方差.,k=2,E(X2)为2阶原点矩,其计算公式,特别地，k=1,EX-E(X),=0.,2023/11/18,22,1.协方差,定义.随机变量X与Y的函数X-E(X)Y-E(Y),的数学期望存在，,则称其为X与Y的协方差,cov(X,Y),即,记作,二、协方差和相关系数,反映两个变量X和Y相关性的数字特征,2023/11/

6、18,23,协方差的简便计算方法：,2023/11/18,24,若X与Y相互独立，则X与Y一定不相关;,分析:由于X与Y相互独立,则协方差cov(X,Y)=0,证明：由X与Y相互独立，有,两个随机变量独立与不相关的关系：,不一定成立.,所以X与Y不相关.,反之,X与Y不相关 cov(X,Y)=0.,2023/11/18,25,定义.设随机变量X与Y的数学期望和方差都存在，,为X与Y的相关系数，,注：相关系数R(X,Y)仅表示X与Y之间的线性关系.,则称,记作,2.相关系数,2023/11/18,26,基本内容：一、切比雪夫不等式 二、大数定律,第五节 切比雪夫不等式与大数定律,2023/11/

7、18,27,对于任意的正数,设X的数学期望 E(X)与方差D(X)存在,有,或,切比雪夫不等式,2023/11/18,28,证：,仅选择连续随机变量的情形来证明.,设随机变量X的密度函数为f(x),则有,2023/11/18,29,注(1)切比雪夫不等式的用途：,它给出了在X的分布未知的情况下，,估计概率,的方法；,(2)说明了方差D(X)的确刻画了X对E(X)偏离程度.,由,可知:D(X)越小,(即X偏离E(X)程度越小),越大，,(表明X取值越集中在E(X)的附近)；,(3)它是大数定律的理论基础.,2023/11/18,30,例.,已知正常男性成人的每毫升血液中白细胞,数平均在7300,

8、标准差是700,利用切比雪夫不等式,估计每毫升血液中白细胞数在52009400之间的,概率.(P94.19题),解：,设随机变量,设X表示每毫升血液中白细胞数，依题意得,2023/11/18,31,（由切比雪夫不等式）,2023/11/18,32,则对于任意的正数,1.切比雪夫定理,定理：,设独立随机变量序列X1,X2,X n,的数学期望,E(X1),E(X2),E(X n),D(X1),D(X2),D(X n),都存在，,与方差,并且方差是,一致有上界的,即存在常数C,使得,D(Xi)C,i=1,2,n,有,2023/11/18,33,方差都存在，,切比雪夫定理解释：,若独立序列X1,X2,

9、X n,的数学期望和,并且方差是一致有上界的,则,n充分大时,算术平均,紧密地集中在,其数学期望,的附近.,2023/11/18,34,2.伯努利定理,定理：,在独立试验序列中，设事件的概率,P(A)=p,则对于任意的正数,有,伯努利定理解释：,当试验独立重复进行多次时，随机事件A的,频率f n(A)将稳定在事件A的概率的附近.,2023/11/18,35,1.理解方差的定义：,2.熟悉方差的性质:,内容小结,2023/11/18,36,(5)若E(X)与 D(X)存在，,对于任意的正数,(4)对于任意实数CR，有,E(X-C)2D(X),当且仅当C=E(X)时,E(X-C)2取得最小值D(X).,有,2023/11/18,37,3.熟悉一些常见分布的方差,若XB(n,p),D(X)=npq;,若,若XU(a,b),若,2023/11/18,38,4.方差的计算方法,利用方差的定义:,利用方差的简化公式：,利用方差的性质；,利用常见分布的方差.,2023/11/18,39,习题三(P92):5、6、9、10、11、13,作业,