随机信号分析(简化).ppt

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1、2023/11/18,通信原理北化信息学院王学伟,1,2.1 引言2.2 随机过程的一般表述2.3 平稳随机过程2.4 平稳随机过程的相关函数和功率谱密度2.5 高斯过程2.6 窄带随机过程2.7 正弦波加窄带高斯过程2.8 随机过程通过线性系统,笫2章,笫2章 随机信号分析,2023/11/18,通信原理北化信息学院王学伟,2,2.1引言,通信过程是有用信号通过通信系统的过程。,2023/11/18,通信原理北化信息学院王学伟,3,2.2 随机过程的一般表述,随机信号和噪声均可归纳为依赖于时间参数t 的随机过程。,2023/11/18,通信原理北化信息学院王学伟,4,2.在任意时刻上观察到的

2、值都是不确定的，是一个随机变量。,为随机过程(t)某个具体的实现，也称为随机过程(t)的样本。,2023/11/18,通信原理北化信息学院王学伟,5,为第 i 个样本函数(称之为实现)。每次试验之后,取空间S中的某一样本函数，称 为随机函数。当 t 是时间时，称此 为随机过程。,2023/11/18,通信原理北化信息学院王学伟,6,设随机过程为，其在任意时刻 t1上 是一个随即变量，这个随机变量的统计特性可用分布函数和概率密度函数去描述，称：,为随机过程 的一维分布函数。如果存在,2.2-1,2023/11/18,通信原理北化信息学院王学伟,7,则称 为 的一维概率密度函数。,一维分布函数只刻

3、划随机过程 在各个孤立时刻的统计特性。这种统计特性极不充分，通常需要在n个时刻上考虑随机过程的多维分布函数。,的n维分布函数定义为：,2023/11/18,通信原理北化信息学院王学伟,8,与1维类似,2.2-2,则称其为 的n维概率密度函数。,数学期望，方差，协方差函数，相关函数,若存在,2023/11/18,通信原理北化信息学院王学伟,9,2.2-3,1.随机过程 的数学期望,2.2-4,2.随机过程的方差,2023/11/18,通信原理北化信息学院王学伟,10,3.协方差函数：随机过程(t)任意两个时刻t1,t2 上,对应随机变量的统计相关特性。,2.2-5,为二维概率密度函数。,2.2-

4、6,4.相关函数,2023/11/18,通信原理北化信息学院王学伟,11,5.协方差函数 与相关函数 之 间的关系式。,2.2-7,2.2-8,7.互相关函数,2.2-9,2023/11/18,通信原理北化信息学院王学伟,12,称 是平稳随机过程，也叫做：严平稳、狭义平稳的随机过程。,2.3 平稳随机过程,2023/11/18,通信原理北化信息学院王学伟,13,*平稳随机过程的统计特性，不随时间的推移而变化。,它的一维分布函数与 t 无关，二维分布函数只与时间间隔 有关。,平稳随机过程的数字特征：,数学期望与 t 无关,即 a(t)=a,指它的任何N维分布函数或概率密度函数与 时间的起点无关。

5、,2023/11/18,通信原理北化信息学院王学伟,14,自相关函数只与 有关：,方差：,机过程是宽平稳的或广义平稳的。,2023/11/18,通信原理北化信息学院王学伟,15,许多平稳随机过程的数字特征，完全可由随机过程中的任一实现的数字特征来决定:1）随机过程的数学期望（统计平均值）可由任一实现x(t)的时间平均值来代替。2）随机过程的自相关函数也可以由“时间平均”来代替“统计平均”。,2023/11/18,通信原理北化信息学院王学伟,16,若有；以概率1成立，则称该随机过程 为具有“各态历经性”的平稳随机过程。,2023/11/18,通信原理北化信息学院王学伟,17,2.4 平稳随机过程

6、的相关函数与功率谱密度,相关函数:可以描述随机过程的数字特征；还 可以表示随机过程的频谱特性。,1.相关函数的性质:设 为实平稳随机过程,2023/11/18,通信原理北化信息学院王学伟,18,2023/11/18,通信原理北化信息学院王学伟,19,即：,随机过程 的自相关函数与其功率谱密度之间有付立叶变换关系。,2023/11/18,通信原理北化信息学院王学伟,20,上式中,2023/11/18,通信原理北化信息学院王学伟,21,为归一化协方差矩阵的行列式。,为归一化协方差函数；,2023/11/18,通信原理北化信息学院王学伟,22,为行列式 中元素 的代数余因子,2023/11/18,通

7、信原理北化信息学院王学伟,23,则高斯过程是严平稳的。因为其几何分布与时间起点无关。,2023/11/18,通信原理北化信息学院王学伟,24,2023/11/18,通信原理北化信息学院王学伟,25,2023/11/18,通信原理北化信息学院王学伟,26,对于正态分布的随机变量，其概率密度函数可表示成,2023/11/18,通信原理北化信息学院王学伟,27,概率密度函数 的特性 1.以 对称;即 2.在 内单调上升，在 内 单调下降。单调性 在 a 点达到极大值,并且有：,2023/11/18,通信原理北化信息学院王学伟,28,4.当 时，正态分布称为标准 化的正态分布。,2023/11/18,

8、通信原理北化信息学院王学伟,29,概率积分函数,对于正态分布函数,令：,2023/11/18,通信原理北化信息学院王学伟,30,则有：,称概率积分函数，简称概率积分。,2023/11/18,通信原理北化信息学院王学伟,31,误差函数 与补误差函数,所以,2023/11/18,通信原理北化信息学院王学伟,32,所以,2023/11/18,通信原理北化信息学院王学伟,33,2023/11/18,通信原理北化信息学院王学伟,34,2.6 窄带随机过程,若信号和噪声的频谱均被限制在“载波”或某一中心频率附近的一个窄的频率上，这个中心频率离开零频率又相当远，且信号或噪声是一个随机过程，则称它们为窄带随机

9、过程。,2023/11/18,通信原理北化信息学院王学伟,35,2023/11/18,通信原理北化信息学院王学伟,36,2.6-1,式中，窄带随机过程的包络函数，随机相位函数。是正弦波的中心角频率。,2023/11/18,通信原理北化信息学院王学伟,37,对于上式变形得窄带过程另一表示：,2.6-2,的同相分量 的正交分量,2023/11/18,通信原理北化信息学院王学伟,38,上式表明 统计特性由 统计特性决定。,为零均值、平稳高斯窄带过程的 的统计特性 的统计特性 由2.6-2式，可得到,2023/11/18,通信原理北化信息学院王学伟,39,2.6-5,因为 是平稳的，且均值为零，即对于

10、任意时间 t，等于零。,即：,2023/11/18,通信原理北化信息学院王学伟,40,2.的自相关函数,2023/11/18,通信原理北化信息学院王学伟,41,另外，由2.6-9和2.6-10可看出,2.6-10,2.6-9,由互相关函数性质：,2023/11/18,通信原理北化信息学院王学伟,42,2.6-9,2.6-10,2.6-17,2023/11/18,通信原理北化信息学院王学伟,43,结论：均值为零的窄带平稳高斯过程,其同相分量 和正交分量 同样是平稳高斯过程，且均值都为零，方差相同。在同一时刻上得到的 和 是不相关的 或统计独立的。,2023/11/18,通信原理北化信息学院王学伟

11、,44,2.6-18,2023/11/18,通信原理北化信息学院王学伟,45,与 的二维分布密度函数为,2.6-19,2023/11/18,通信原理北化信息学院王学伟,46,服从瑞利分布,服从均匀分布。,2023/11/18,通信原理北化信息学院王学伟,47,维分布是均匀的分布，就一维分布而言，和 是统计独立的。,2023/11/18,通信原理北化信息学院王学伟,48,功率谱密度在整个频域内都是均匀分布的噪声，被称之为自噪声。,常数，单位“瓦/赫”,自噪声的自相关函数,意义：白噪声的自相关函数仅在 时 才不为零。对于其它任意，它 都为零。(白噪声只有在 时才相关),2023/11/18,通信原

12、理北化信息学院王学伟,49,图2-5a,2023/11/18,通信原理北化信息学院王学伟,50,如果白噪声被限制在 内，在该频率区上有，而在该区间外，则这样的白噪声被称为带限白噪声。,带限白噪声的自相关函数为：,2023/11/18,通信原理北化信息学院王学伟,51,如果对带限白噪声按抽样定理取样的话，(即抽样频率)则各抽样值是互不相关的随机变量。如图2-5(b)所示。,2023/11/18,通信原理北化信息学院王学伟,52,2.7 正弦波加窄带高斯过程,1.信号的形式,2023/11/18,通信原理北化信息学院王学伟,53,是窄带高斯过程，均值为零，在 上均匀分布。,2023/11/18,通

13、信原理北化信息学院王学伟,54,2023/11/18,通信原理北化信息学院王学伟,55,2.7-4,2.5-10,2023/11/18,通信原理北化信息学院王学伟,56,图 2-6 正弦波加高斯窄带过程的包络和相位分布,2023/11/18,通信原理北化信息学院王学伟,57,1.的数学期望,2.8 随机过程通过线性系统,2023/11/18,通信原理北化信息学院王学伟,58,2.的自相关函数,结论：输出过程的 与时间起点 无关，输出过程 是宽平稳的。,2023/11/18,通信原理北化信息学院王学伟,59,3.的功率谱密度,2.8-8,2023/11/18,通信原理北化信息学院王学伟,60,4.输出过程 的分布,2023/11/18,通信原理北化信息学院王学伟,61,作业2思考题 21；23；24；19；习题 21；22；25；27；,作业3思考题 28；29；210；习题 28；29；212；214；,