随机向量3-4中心极限定理.ppt

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1、3.4中心极限定理,正态分布的复习,XN(,2),定理 设XN(,2),则YN(0,1).,所以，若XN(,2),则 P(Xa)=P(aXb)=,二项分布的复习,XB(n,p),定义：若在一次实验中成功的概率为p(0p1),独立重复进行n次,则在n次中实验成功的次数X服从的分布为二项分布:,列维林德贝格中心极限定理,定理（列维林德贝格中心极限定理(）设X1,X2,X n,为独立同分布序列,期望,方差20,则当n充分大时,列维林德贝格定理的注意事项,(1)一般地,只要n比较大,就可应用以上定理;(2)应用该定理时,需要找出独立同分布的随机变量序列以及它们的期望和方差,再应用正态分布的有关计算方法

2、.,例题讲解,例.用机器包装味精,每袋味精净重为随机变量,期望值为100克,标准差为10克,一箱内装200袋味精,求一箱味精净重大于20500克的概率?,解:,设一箱味精净重为X,箱中第i袋味精净重为Xi,(i=1,2,200),则 X1,X2,X200独立同分布,EXi=100,DXi=102=100,且,由独立同分布的中心极限定理得:,例题讲解（续）,所求为P(X20500)=,1-P(X20500),=0.0002,故 一箱味精净重大于20500的概率为0.0002.,棣莫佛-拉普拉斯积分定理,推论:,特别，若X（n，p）,则当n充分大时，,（np，npq）,即若随机变量(n，p),则对

3、任意实数x有,棣莫佛-拉普拉斯积分定理注意事项,注意(1).它表示当n重 Bernoulli实验次数很大时(n100,p接近于0.5),二项分布可用正态分布近似逼近,期望为np,方差为npq.(2)P(X=m)=P(m-0.5Xm+0.5),此处区间越小越精确,习惯上取长度为1的对称区间,例题讲解,例 设电站供电所有10000盏电灯,夜晚每一盏灯开灯的概率都是0.7,而假定开关时间彼此独立,估计夜晚同时开着的灯数在6800与7200之间的概率.解 开着的灯数xB(10000,0.7),二项分布计算总结,1：n40,p0.4，,2：n40,p0.6,应用以下定理:,定理 若XB(n,p),且Y=

4、n-X,则YB(n,q),其中q=1-p.,3：n100,p0.1,应用Possion定理有,4：n100,p 接近于0.5,XN(np,npq),XB(n,p),例题讲解,例：设每颗炮弹命中目标的概率为0.01,求500发炮弹中命中 5发的概率。,解:设X表示命中的炮弹数,则,XB(500,0.01),0.17635,(2)np=5,应用Possion逼近:,=0.17547,(3)应用正态逼近:XN(5,4.95),P(X=5)=P(4.5X5.5),=0.1742,例题,例.某保险公司多年的统计资料表明,在索赔户中被盗索赔户占20%,随机抽查100户,利用棣莫佛-拉普拉斯积分定理,求被盗

5、索赔户不少于14户且不多于30户的近似值.,例题解答（续）,解:设X表示100户中被盗索赔户数,则,由棣莫佛-拉普拉斯积分定理得 X近似服从正态分布,EX=np=20,DX=npq=16,所以 XN(20,16),所求 P(14X30),=0.927,中心极限定理的注解,中心极限定理是概率论的一个非常重要的定理,它原来叫中心极限定律.对中心极限定理,只需要记住这样一个描述就行:如果多个相互独立的随机变量相加,不管它们是离散的还是连续的或者是任何类型的,只要它们大小相差并不悬殊,则加起来以后得到的随机变量,就近似服从正态分布.,补充练习1,1：一个螺丝钉的重量是一个随机变量,期望值是1两,标准差

6、是0.1两.求一盒(100个)螺丝钉的重量超过10.2斤的概率.解 设一盒重量为x,盒中第i个螺丝钉的重量为xi,(i=1,2,.,100).x1,.,x100相互独立,补充练习2,2:对敌人的防御地段进行100次轰炸,每次轰炸命中目标的炸弹数目是一个随机变量,其期望值为2,方差为1.69.求在100次轰炸中有180颗到220炸弹命中目标的概率.解 令第i次轰炸命中目标的次数为x,100次轰炸命中目标次数x=x1+x2+.+x100.Ex=200,Dx=169,近似有xN(200,132),补充练习3,3:某车间有200台车床，它们独立地工作着，开工率为0.6，开工时耗电各为1千瓦，问供电所至少要供给这个车间多少电力才能以99.9的概率保证这个车间不会因供电不足而影响生产？,续,作业,26314147,