金融数学第六章连续时间金融初步.ppt
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1、第六章 连续时间金融初步,连续时间金融理论是现代金融经济学的分支 衍生品的定价(比如期权)正是建立在连续时间金融理论之上本章共分为4节第一节,连续时间金融的基础数学知识;第二节,Merton(1969)的开创性论文;第三节,讲解BlackScholes模型;第四节,简单回顾最新连续时间金融理论研究,第一节 连续时间金融数学基础,涉及到的数学:测度论、实变函数、随机过程、随机微分方程、马尔可夫链 等等已经超过本教材的范围,详细内容,参阅下面经典著作:Protter(1992)Karatzas和Shreve(1988)Ikeda和Watanabe(1989)Chung和Williams(1990)
2、Williams(1991),布朗运动与几何布朗运动,定义:称随机过程为标准布朗运动(Brownian Motion)或维纳过程(Wiener process),如果满足4个条件:(1)该运动起始于0点,即,B0=0;(2)该运动具有平稳性和独立增量性;(3)对任意的t0,Bt服从均值为0,方差为t的正态分布,即,BtN(0,t)。(4)该运动样本轨迹连续,即,不存在跳跃,结论:随机变量BtBs(ts)与随机变量Bt-s的分布相同,都服从均值为0,方差为t-s的正态分布分布的相等并不意味着样本路径的相等,结论:布朗运动为高斯过程,并且,均值 E(Bt)=0协方差 E(BtBs)=min(s,t
3、),性质6-1:布朗运动为0.5自相似性质6-2:布朗运动相对于自然过滤Ft=(Bs,ts)而言,为一个鞅,几何布朗运动,在BlackScholes(1973)和Merton(1973)的论文中,都假定价格的波动(运动)服从几何布朗运动,即,Taylor展开,以双变量的Taylor展开为例。三阶略去。,Ito引理,第二节 不确定情形下的连续时间资产组合决策,以Merton(1969)的经典论文为例在Merton(1969)之前,有少量的文章分析多期下的资产组合问题,或者在分析经济问题的时候运用多期分析的框架例如,Tobin(1965)、Phelps(1962)和Samuelson(1969)从
4、严格的意义上讲,Merton(1969)的文章是连续时间金融领域的奠基之作,Merton连续时间金融模型,假设存在一个典型代表性的经济人W(t)表示该经济人在t时刻的总财富Xi(t)表示t时刻第i种资产的价格(i=1,2,m)C(t)表示t时刻的单位时间消费假定任一资产价格服从几何布朗运动某一时间段资产收益服从大漂移的布朗运动投资者面临的决策问题是:在给定的投资期限下(无限期的情形更简单),如何进行消费决策以及投资决策,使得投资期限内的总效用最大化,在这个决策系统里,消费水平以及投资于m种资产的比例为控制变量求解Bellman方程时,必须清楚哪些是控制变量,哪些是状态变量为了求解优化问题,先进
5、行必要计算,以便在求解优化问题的时候将注意力集中于数学背后的经济学,简单思路,财富变化的平均速率两种资产的简化情况投资者的问题:选择最优的S(t)和C(t),使得效用函数最大化,约束:预算方程(6.15),C(t)0,W(t)0,W(0)=W00。效用函数u0,u0T表示终结期。B(W(T),T)是一个设定的残值函数,在W(t)上是凹函数,最优消费和投资策略,给定约束条件和优化条件,偏微分方程系统可以通过Matlab用数值方法求出给定参数下的解,对具有不变的相对风险厌恶系数类的效用函数,最优消费为该时刻财富的线性函数投资与风险资产的最优权重与时间及财富都无关与风险资产的波动性、经济人偏好有关,
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- 金融 数学 第六 连续 时间 初步
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