量子力学基础(PPT).ppt
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1、第八章 量子力学基础,The Basis of Quantum Mechanics,引 言,Introduction,从经典力学到量子力学,经典力学:以牛顿三大定律为中心内容 适用于宏观物体的机械运动 质量比一般分子或原子大得多的物体在速度比 光速小得多的情况下服从经典力学的定律.量子力学:描述微观粒子运动规律的科学 适用于微观粒子的运动 如果某一物理量的变化是不连续的,而是以某一最小单位作跳跃式增减,我们就说这一物理量是“量子化”的.波粒二象性是说微观粒子即有微粒的性质,又有波动的性质,是微粒和波动性的矛盾统一体。,量子力学的实验基础,当将经典力学运用来解释与原子、分子有关的实验事实时,有三
2、类实验无法得到圆满的结论,这些实验是:黑体辐射 光电效应 原子光谱,1 黑体辐射(Black-body Rediation),作简谐运动的微粒就叫作谐振子(Harmonic Oscillator),Rayleigh-Jeans 方程,(910),(911),频率与波长的关系:,很大时和实验测得的曲线相符,但在很小时,却和实验曲线不符根据(911)式,当 0时,而实验结果却是 0紫外灾难维恩(Wien W)公式,式中馕该公式仅在 T 1011秒1K1时适用,光照在电极上时,使金属中的电子获得能量脱出金属,因而发生电流。这样发射的电子称为光电子,在A、C二极施加一负向电位差,更可促进光电子奔向C极
3、,使电流强度增大。,若施以正向电位差时,光电子奔向C极的趋势就被阻挠了,G中电流强度就会减弱。,2.光电效应(the Photoelectric effect),用固定强度和频率的光照射所得光电流和两极间电压的实验曲线,爱因斯坦在1905年提出了光子学说,他认为光子的能量E与频率成正比,即Eh质能联系定律E=mc2,则mc2 h动量p应为:p=mc=h/c=h/,光的强度,是光子数量多少的反映,只能影响击出电子的数目,而不能改变电子的动能。,利用光子学说,可以解释光电效应,式中:恚1耄 恚c为波数,是在波的传播方向上单位长度内波的数目;RH里德堡常数。n1、n2皆为正整数,且n2n1。n1=1
4、,黎曼(赖曼Lyman)线系;n1=2,巴尔末(Balmer)线系;n1=3,巴新(Paschen)线系。,3.氢原子光谱(Atomic Spectra),4.电子衍射(The Diffraction of Electron),德布罗意在1923年提出了一个非常大胆的假设:波动性与粒子性的二重性不只限于光的现象,微粒物质都有二重性。,公式的左方是与粒子性相联系的动量p,右方包括与波性相联系的波长,h为普朗克常数。,对于微粒,动量p=m,则,微观粒子运动的基本特征,1.波粒二象性 微观粒子既具有粒子性,又具有波动性。作为粒子性,粒子有动量p及能量E,作为波动性,有波长和频率,波的强度用波函数度量
5、。具有一定波长和频率的波称为简谐波。沿x轴传播的平面简谐波函数为:,式中:t为时间;0为振幅;,对于光子,,波的叠加原理:两个或多个波同时通过时,在空间某区域状态可用几个波函数之和来描述,当波程差为波长的整数倍时,相互得到加强;而波程差为波长的半整数倍时,相互抵消。,驻波:由振幅相同但方向相反的两个平面波叠加而产生,与行波(向前传播着的波)相对。,振幅最大的地方叫做波腹那些不振动的点叫做节点,驻波的形成,2.二象性的统计性,虽然物质波的实质迄今为止沿有争论,但科学界大多认为它是一种几率波。,波恩从统计力学的观点出发,对德布罗意波获得了如下解释:实物微粒的运动并不服从宏观世界的牛顿定律,而是服从
6、量子力学的统计规律。按照测不准原理,对于运动着的这些微粒,不可能确定它们某时刻在空间准确位置。但也不是杂乱无章毫无规律的运动,3.不确定原理(测不准原理),在经典力学中,我们用粒子的坐标和速度来描述它的状态.也可用坐标与动量来描述;微观粒子则根本不具备同时准确决定位置和动量的性质,不确定原理的另一表达式:,不确定原理说明:微观的动量与坐标不能同时准确确定,能量与时间也不能同时准确确定。值得注意的是测不准关系式也同样适用于宏观粒子,只不过这时的不准确量和动量都不起任何实际作用。如P21例题所示。研究微观粒子的运动需要一个崭新的理论,即量子力学。,8.1 量子力学的基本假设,The Postula
7、tes of Quantum Mechanics,1.算符 Operator,(1)运算规则,(2)对易子,所谓算符,就是数学上的一些运算符号,(3)线性算符,(4)算符的本征方程、本征函数和本征值,(5)厄米算符(自厄算符)厄米算符要具备两个特征:线性且自厄,厄米算符的重要性质:a.厄米算符的本征值是实数 这一点很重要,因为薛定谔方程中的本征值就是能量E,角动量方程中的本征值就是角动量的平方M2,显然这类本征值均为实验可测的物理量,当然只能是实数而不应是虚数。而厄米算符正符合这一要求。b.厄米算符的不同本征函数具有正交性。,2.量子力学的四个基本假定,(1)微观粒子系统的状态可用波函数来描述
8、。波函数具有以下特点:a.波函数是坐标和时间的函数(q,t)。b.具有单值、有限和连续可微的性质。即是一个品优函数。c.与共轭复数*的乘积*(或模的平方)代表粒子出现的概率密度。,(2)微观粒子系统的每个可观察的力学量F,都对应着一 个厄米算符。,补充假定:哈密顿算符的本征函数是波函数与时间无关的能量算符即哈密顿算符,相应的本征方程,(3)当在一定状态下测量某力学量F时,可能有不同数值,其统计平均值,E就是某时刻t微观粒子系统能量的统计平均值,(4)微观粒子系统的运动方程由薛定谔方程描述,8.2 势箱中粒子的薛定谔方程求解,The Schrodinger E Equation of Parti
9、cals,与时间无关的薛定谔方程(E不随t变化,如果系统中只含一个微粒,简并度:具有相同本征值的不同的本征函数的个数.例如:若有三个波函数1,2,3具有相同的本征值Ei,则Ei,的简 并度为,态的叠加,1.一维势箱中的粒子一维平动粒子的薛定谔方程,在条件(1)情况下,可得AB0,则,按归一化条件(3),2.三维势箱中平动粒子三维粒子的薛定谔方程,假定粒子在边长为a,b,c的三维势箱中的势能为零,在边界处及边界外所有地方势能无穷大。则粒子的薛定谔方程为:,假设:,三维势箱中粒子的平动能级和平动波函数,由上式可看出:当a,b,c增大时,基态能量E0下降;当a,b,c均趋于无穷时,粒子的能级间隔趋于
10、零,此时粒子的能量变为可连续变化的量。所以粒子能量的量子化是因为粒子受到束缚而引起的。在原子各分子中运动的电子受到原子核和其它电子所产生的力场的束缚,所以这粒子或电子的能量都是量子化的。另外,粒子的能量随势箱的变大而降低的结论也有重要意义。在一定条件下,微粒较狭窄的活动范围过渡到较宽广的活动范围,从而产生能量降低的效应称这为离域效应。,简并能级和简并态当比零点能稍高一点的一个能量应怎样?,当体系的两个以上波函数具有相同能级时,这样的能级就称为简并能级,它所对应的波函数(状态)称为简并态;而相应于同一能量值的波函数的数目就称为简并度。在上例中简并度为3,8.3 一维谐振子,The One-Dim
11、ensional Harmonic Oscillator,1.一维谐振子经典力学处理,2.一维谐振子的量子力学处理,对应于一维谐振子的哈密顿函数,可写出哈密顿算符,振动能级Ev,酰振动量子数 0,Ev=h0/2,称为零点能振动能级是非简并的,即gv=1,振动波函数解一维谐振子的薛定谔方程可得振动波函数,不同踔凳钡H如表94所示(P44)010时不同的振动量子态的波函数及位能曲线如图928所示;相应的概率密度如图929所示。,r=0,V(0)=0为平衡点,即无拉伸亦无压缩;当r0(拉伸)时,V按抛物线升高。n,节点个数与振动量子数相等。0时,质点间距为平衡点的情况出现的概率最高;1时,质点间距为
12、平衡点的情况出现的概率为零。波函数可延伸到位能曲线之外,也称隧道效应。,8.4 二体刚性转子,Rotational Partical of Two Bodies,1.刚性转子经典力学处理,当线型刚性转子绕质量中心旋转时,2.刚性转子的量子力学处理,坐标变换如图所示:,线型刚性转子的薛定谔方程,转动波函数(球谐波函数),转动能级 由薛定谔方程可解得:,由图及表9-3均可知:同一能级,可对应若干不同的波函数或状态。,3.取向量子数m 的意义 角动量不仅本身,它在空间的取向也是量子化的。它在z轴的分量Mz必须符合:,转动的角动量,4.线型刚性转子薛定谔方程的求解,将上述方程分离变量分别解之,对苑匠痰
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