逻辑代数基础-第1讲.ppt

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1、第二章 逻辑代数基础,2.1逻辑代数的基本概念,2.2 逻辑代数的公理、定理及规则,2.3 逻辑函数表达式的形式与转换,2.4 逻辑函数的化简,1逻辑指事物的前因和后果之间所遵循的规律。,2.1 逻辑代数的基本概念,2.1.1 基本概念,在数字电路中，我们要研究的是电路的输入输出之间的逻辑关系，所以数字电路又称逻辑电路，相应的研究工具是逻辑代数（布尔代数）。,2.逻辑代数用于描述客观事物逻辑关系的数学工具，又称布尔代数(Boole Algebra)或开关代数。,2.1 逻辑代数的基本概念,2.1.1 基本概念,3逻辑状态逻辑代数中的 1 和 0 不表示数量大小，仅表示两种相反的状态。,例如：开

2、关闭合为 1 晶体管导通为 1 电位高为 1 断开为 0 截止为 0 低为 0,4.基本逻辑函数及运算,基本逻辑函数,与逻辑,或逻辑,非逻辑,与运算(逻辑乘),或运算(逻辑加),非运算(逻辑非),1、“与”运算,若决定某一事件的所有条件都成立，这个事件就发生，这样的逻辑关系称为逻辑“与”或逻辑“乘”。,举例：灯L亮的条件是开关A、B都闭合,2.1.2 逻辑运算,“与”的运算法则,00=001=010=011=1,A0=0A1=AAA=A,有0出0，全1出1,2、“或”逻辑,当决定一件事情的几个条件中，只要有一个或一个以上条件具备，这件事情就会发生。我们把这种因果关系称为或逻辑。,举例：灯L亮的

3、条件是开关A、B只要一个闭合,0+0=00+1=11+0=11+1=1,A+0=AA+1=1A+A=A,“或”门的运算法则,有1出1，全0出0,3、“非”逻辑,某事情发生与否，仅取决于一个条件，而且是对该条件的否定。即条件具备时事情不发生；条件不具备时事情才发生。,举例：灯L亮的条件是开关A断开。,“非”门的运算法则：,逻辑函数表示：,2.1.3 逻辑函数,逻辑函数的特点：（1）逻辑变量和逻辑函数的取值只能是0和1两个值。（2）函数和变量之间的关系是由“与”、“或”、“非”三种基本运算决定的。（3）遵守“先括号，再非，然后乘(与)，最后加（或）”的运算顺序,两个逻辑函数相等的条件：,对应变量A

4、1、A2An的任一组取值，F1和F2的值都相同。记作F1=F2,(1)变量相同；(2)真值表相同或卡诺图相同,1、公理系统,2.2 逻辑代数的公理、定理及规则,普通代数没有！,2、基本定理,解：,真值表法,公式法,右式=(A+B)(A+C),=AA,+AC,+BA,+BC,=A+AC+AB+BC,=A(1+C+B)+BC,=A 1+BC,0,0,0,0,例 证明等式 A+BC=(A+B)(A+C),(二)有关变量和常量的定律,0，1律 A 1=A A 0=0 A+1=A互补律,(三)逻辑代数的特殊定律,重迭律 A A=A A+A=A,否定律,反演律(德摩根定律）,公式1,证明：,公式2,证明：

5、,A+AB=A,A+AB=A(1+B)=A,公式3,证明：,=A+B,公式4,证明：,3、逻辑代数中常用公式,(一)代入规则,将逻辑等式两边的某一变量均用同一个逻辑函数替代，等式仍然成立。,A A A,利用代入规则能扩展基本定律的应用。,4、逻辑代数中常用规则,(二)反演规则,变换时：(1)不能改变原来的运算顺序。(2)反变量换成原变量只对单个变量有效，而长非 号保持不变。,对任一个逻辑函数式，将“”换成“+”，“+”换成“”，“0”换成“1”，“1”换成“0”，原变量换成反变量，反变量换成原变量，则得到原逻辑函数的反函数。,注意,举例：,求逻辑函数的反函数有两种方法：利用反演规则或摩根定律。

6、,原运算次序为,原函数,反函数,分析：,结论,(三)对偶规则,对任一个逻辑函数式 Y，将“”换成“+”，“+”换成“”，“0”换成“1”，“1”换成“0”，则得到原逻辑函数式的对偶式 Y。,对偶规则：两个函数式相等，则它们的对偶式也相等。,注意,变换时注意：(1)变量不改变(2)不能改变原来的运算顺序,应用对偶规则可将基本公式和定律扩展。,23,2.3.1 逻辑函数的建立及表示方法,逻辑函数描述了某种逻辑关系。常采用真值表、逻辑函数式、卡诺图和逻辑图等表示。,1.真值表,列出输入变量的各种取值组合及其对应输出逻辑函数值的表格称真值表。,2.3 逻辑函数表达式的形式与转换,24,0,0,4 个输

7、入变量有 24=16 种取值组合。,25,2.逻辑函数式,表示输出函数和输入变量逻辑关系的 表达式。又称逻辑表达式，简称逻辑式。,逻辑函数式一般根据真值表、卡诺图或逻辑图写出。,(1)找出函数值为 1 的项。(2)将这些项中输入变量取值为 1 的用原变量代替，取值为 0 的用反变量代替，则得到一系列与项。(3)将这些与项相加即得逻辑式。,26,3.逻辑图,运算次序为先非后与再或，因此用三级电路实现之。,由逻辑符号及相应连线构成的电路图。,例如 画 的逻辑图,27,例 图示为控制楼道照明的开关电路。两个单刀双掷开关 A 和 B 分别安装在楼上和楼下。上楼之前，在楼下开灯，上楼后关灯；反之，下楼之

8、前，在楼上开灯，下楼后关灯。试画出控制功能与之相同的逻辑电路。,(1)分析逻辑问题，建立逻辑函数的真值表,(2)根据真值表写出逻辑式,解：,方法：找出输入变量和输出函数，对它们的取值作出逻辑规定，然后根据逻辑关系列出真值表。,设开关 A、B合向左侧时为 0 状态，合向右侧时为 1 状态；Y 表示灯，灯亮时为 1 状态，灯灭时为 0 状态。则可列出真值表为,28,(3)画逻辑图,与或表达式(可用 2 个非门、2 个与门和 1 个或门实现),异或非表达式(可用 1 个异或门和 1 个非门实现),=B,29,卡诺图主要用于化简逻辑式。,真值表通常用于分析逻辑函数的功能、根据逻辑功能要求建立逻辑函数和

9、证明逻辑等式等。,逻辑式便于进行运算和变换。在分析电路逻辑功能时，通常首先要根据逻辑图写出逻辑式；而设计逻辑电路时需要先写出逻辑式，然后才能画出逻辑图。,逻辑图是分析和安装实际电路的依据。,30,真值表、逻辑式、卡诺图和逻辑图之间可相互转换,(1)按 n 位二进制数递增的方式列出输入变量的各种取值组合。(2)分别求出各种组合对应的输出逻辑值填入表格。,31,真值表、逻辑式、卡诺图和逻辑图之间可相互转换,(1)找出函数值为 1 的项。(2)将这些项中输入变量取值为 1 的用原变量代替，取值为 0 的用反变量代替，则得到一系列与项。(3)将这些与项相加即得逻辑式。,实用中通常先由真值表画卡诺图，然

10、后应用卡诺图化简法写出简化表达式。,32,真值表、逻辑式、卡诺图和逻辑图之间可相互转换,(1)应用摩根定律和分配律等求出与或表达式。(2)根据变量数 n 画出变量卡诺图。(3)根据与或式填图。,根据电路逐级写出相应逻辑运算。,将各级逻辑运算用相应逻辑门去实现。,33,(1)应用摩根定律和分配律等求出与或表达式。(2)根据变量数 n 画出变量卡诺图。(3)根据与或式填图。,根据电路逐级写出相应逻辑运算。,将各级逻辑运算用相应逻辑门去实现。,2.逻辑函数表达式的基本形式,多个与项由或符号“+”连接而成的表达式。,（2）“或-与”表达式“和之积”,多个或项由与符号“”连接而成的表达式。,（1）“与-

11、或”表达式“积之和”,对于n个变量，如果某乘积项含有n个变量,每个变量都以原变量或反变量的形式出现,且仅出现一次,则这个乘积项称为最小项,3.逻辑函数表达式的标准形式,（1）最小项表达式(最小项之和),n个变量一共有2n个最小项。,比如：3变量有8个最小项,比如：,最小项记为mi确定下标i方法：首先确定变量的顺序（A、B、C)；将与项中的原变量记为1、反变量记为0，并按顺序排列成二进制数；确定与二进制数对应的十进制，就是该最小项的下标i。,简记为,记为：F（A,B,C）=m2+m3+m6+m7,010,011,110,111,最小项是组成逻辑函数的基本单元 由最小项组成的与-或表达式称为最小项

12、之和（简称为最小项表达式）。任何逻辑函数都可以表示成为最小项之和的形式，并且这种形式是唯一的。就是说，一个逻辑函数有且只有一个最小项表达式。,F（A,B,C）=m1+m3+m4+m5=m(1,3,4,5),先将逻辑表达式转换成“与-或”表达式。再将“与-或”表达式中非最小项的“与”项添加变量扩展成最小项。,逻辑表达式最小项表达式代数法,先根据“逻辑表达式真值表”方法，写出逻辑表达式的真值表。根据“真值表逻辑表达式”方法，给出逻辑表达式，该表达式即为最小项表达式,逻辑表达式最小项表达式真值表法,F（A,B,C）=m1+m3+m4+m5=m(1,3,4,5),最小项性质:n个变量的F有2n个最小项

13、；且变量的每组取值，只能使一个最小项的值为1，其它均为0。任意两个最小项之积恒为0，记作：mimj=0（ij）；所有最小项之和恒为1，记作：mi=1（i=0，1，2，2n-1）n个变量的最小项有n个相邻项。相邻是指：两个最小项中除一个变量相反外，其它都相同，这两个最小项就是相邻。相邻项相加可以消去互反的变量。,逻辑相邻的项可以合并，消去一个变量,对于n个变量，如果某或项含有n个变量,每个变量都以原变量或反变量的形式出现,且仅出现一次,则这个或项称为最大项。由最大项组成的或-与表达式称为最大项之积（简称为最大项表达式）。任何逻辑函数都可以表示成为最大项之积的形式，并且这种形式是唯一的。就是说，一

14、个逻辑函数有且只有一个最大项表达式。,（2）最大项表达式(最大项之积),最大项记为Mi确定下标i方法：首先确定变量的顺序（A、B、C)；将或项中的原变量记为0、反变量记为1(与最小项相反),并按顺序排成二进制数；确定与二进制数对应的十进制，就是该最大项的下标i。,记为：F（A,B,C）=M0 M1 M4 M5,101,100,001,000,简记为：F（A,B,C）=M(0,1,4,5),最大项性质:n个变量的F有2n个最大项；且变量的每组取值，只能使一个最大项的值为0，其它均为1。任意两个最大项之和恒为1，记作：Mi+Mj=1（ij）；所有最大项之积恒为0，记作：Mi=0（i=0，1，2，2

15、n-1）n个变量的最大项有n个相邻项。,对n个变量，下标相同的最大项和最小项之间恒为互补关系，即互为反函数。Mi+mi=1 Mimi=0；,例如：,（3）最大项与最小项的关系,最小项之和最大项之积:因为最大项和最小项互为反函数，最小项之和的反函数下标即为最大项之积的下标；反之亦然。,F(A,B,C)=m(1,3,4,5),4.逻辑函数表达式的转换,（1）代数法,转换成“最小项之和”先将逻辑表达式转换成“与-或”表达式。再将“与-或”表达式中非最小项的“与”项添加变量扩展成最小项。,转换成“最大项之积”先将逻辑表达式转换成“或-与”表达式。再将“或-与”表达式中非最大项的“或”项添加变量扩展成最大项。,（2）真值表法,转换成“最大项之积”找出真值表中输出为0的行。然后将这一行所有自变量写成或项：变量值为1写成反变量，变量值为0写成原变量。最后将所有或项相与，得到最大项表达式,转换成“最小项之和”找出真值表中输出为1的行。然后将这一行所有自变量写成与项：变量值为1写成原变量，变量值为0写成反变量。最后将所有与项相或，得到最小项表达式,作业：,P56：2.1，2.2，2.4，2.7,