计算机系线性规划运筹学.ppt

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1、2023年11月17日星期五,第一篇 确定型运筹学模型,2023年11月17日星期五,运筹学是一门以决策支持为目标的学科。运筹学的英文名称是Operations Research(美)或Operational Research(英),缩写为OR，直译是作业研究、操作研究或运作研究。运筹学是OR的意译，取自成语“运筹帷幄之中，决胜千里之外”，具有运用筹划、出谋划策，以策略取胜等内涵。目前国内外的管理科学与运筹学的内容基本相同。运筹学的研究内容：运筹学的内容非常丰富，应用范围非常之广，从军事、政治到管理、经济及工程技术等许多领域都能应用到运筹学的思想和方法。构成运筹学的理论大致分3个部分：（1）分

2、析理论。主要研究资源的最优利用、设备最佳运行,运筹学Operations Research,2023年11月17日星期五,等问题。常用的数学分析方法有规划论（线性规划、非线性规划、整数规划、动态规划、目标规划等）、网络模型、最优控制等。随着一些新型学科的发展，还衍生了一些诸如灰规划、模糊规划、随机规划等专门的分析方法。(2)决策理论。主要研究方案或策略的最优选择问题。常用的数学分析方法有博弈论、决策论、多目标决策、存储论。(3)随机服务理论即排队论。主要研究随机服务系统排队和拥挤现象问题，讨论随机服务系统的服务效率、绩效评价和服务设施的最佳设置等问题。,运筹学Operations Resear

3、ch,Chapter 1 线性规划Linear Programming,1.1 LP的数学模型 Mathematical Model of LP1.2 图解法 Graphical Method1.3 标准型 Standard form of LP1.4 基本概念 Basic Concepts1.5 单纯形法 Simplex Method,1.1 数学模型 Mathematical Model,2023年11月17日星期五,1.1 线性规划的数学模型 Mathematical Model of LP,线性规划通常研究资源的最优利用、设备最佳运行等问题。例如，当任务或目标确定后，如何统筹兼顾，合理

4、安排，用最少的资源（如资金、设备、原标材料、人工、时间等）去完成确定的任务或目标；企业在一定的资源条件限制下，如何组织安排生产获得最好的经济效益（如产品量最多、利润最大）。,线性规划（Linear Programming,缩写为LP）是运筹学的重要分支之一，在实际中应用得较广泛，其方法也较成熟，借助计算机，使得计算更方便，应用领域更广泛和深入。,2023年11月17日星期五,【例1.1】最优生产计划问题。某企业在计划期内计划生产甲、乙、丙三种产品。这些产品分别需要要在设备A、B上加工，需要消耗材料C、D，按工艺资料规定，单件产品在不同设备上加工及所需要的资源如表1.1所示。已知在计划期内设备的

5、加工能力各为200台时，可供材料分别为360、300公斤；每生产一件甲、乙、丙三种产品，企业可获得利润分别为40、30、50元，假定市场需求无限制。企业决策者应如何安排生产计划，使企业在计划期内总的利润收入最大？,1.1 线性规划的数学模型 Mathematical Model of LP,1.1.1 应用模型举例,2023年11月17日星期五,表1.1 产品资源消耗,1.1 线性规划的数学模型 Mathematical Model of LP,2023年11月17日星期五,【解】设x1、x2、x3 分别为甲、乙、丙三种产品的产量数学模型为：,1.1 线性规划的数学模型 Mathematica

6、l Model of LP,最优解X=(50,30,10);Z=3400,2023年11月17日星期五,线性规划的数学模型由,决策变量 Decision variables 目标函数Objective function及约束条件Constraints构成。称为三个要素。,其特征是：1解决问题的目标函数是多个决策变量的 线性函数，通常是求最大值或 最小值；2解决问题的约束条件是一组多个决策变量 的线性不等式或等式。,怎样辨别一个模型是线性规划模型？,1.1 线性规划的数学模型 Mathematical Model of LP,2023年11月17日星期五,【例1.2】某商场决定：营业员每周连续工

7、作5天后连续休息2天，轮流休息。根据统计，商场每天需要的营业员如表1.2所示。,表1.2 营业员需要量统计表,商场人力资源部应如何安排每天的上班人数，使商场总的营业员最少。,1.1 线性规划的数学模型 Mathematical Model of LP,2023年11月17日星期五,【解】设xj(j=1，2，7)为休息2天后星期一到星期日开始上班的营业员，则这个问题的线性规划模型为,1.1 线性规划的数学模型 Mathematical Model of LP,2023年11月17日星期五,最优解：,Z617（人）,2023年11月17日星期五,【例1.3】合理用料问题。某汽车需要用甲、乙、丙三种

8、规格的轴各一根，这些轴的规格分别是1.5，1，0.7（m），这些轴需要用同一种圆钢来做，圆钢长度为4 m。现在要制造1000辆汽车，最少要用多少圆钢来生产这些轴？,【解】这是一个条材下料问题，设切口宽度为零。设一根圆钢切割成甲、乙、丙三种轴的根数分别为y1，y2，y3,则切割方式可用不等式1.5y1+y2+0.7y34表示，求这个不等式关于y1，y2，y3的非负整数解。象这样的非负整数解共有10组，也就是有10种下料方式，如表1.3所示。,表13 下料方案,1.1 线性规划的数学模型 Mathematical Model of LP,2023年11月17日星期五,设xj(j=1,2,10)为第

9、j种下料方案所用圆钢的根数。则用料最少数学模型为:,求下料方案时应注意，余料不能超过最短毛坯的长度；最好将毛坯长度按降的次序排列，即先切割长度最长的毛坯，再切割次长的，最后切割最短的，不能遗漏了方案。如果方案较多，用计算机编程排方案，去掉余料较长的方案，进行初选。,1.1 线性规划的数学模型 Mathematical Model of LP,2023年11月17日星期五,Z812.5,1.1 线性规划的数学模型 Mathematical Model of LP,2023年11月17日星期五,【例1.4】配料问题。某钢铁公司生产一种合金，要求的成分规格是：锡不少于28%，锌不多于15%，铅恰好1

10、0%，镍要界于35%55%之间，不允许有其他成分。钢铁公司拟从五种不同级别的矿石中进行冶炼，每种矿物的成分含量和价格如表1.4所示。矿石杂质在治炼过程中废弃，现要求每吨合金成本最低的矿物数量。假设矿石在冶炼过程中，合金含量没有发生变化。,表1.4 矿石的金属含量,1.1 线性规划的数学模型 Mathematical Model of LP,2023年11月17日星期五,解:设xj（j=1,2，5）是第j 种矿石数量，得到下列线性规划模型,注意，矿石在实际冶炼时金属含量会发生变化，建模时应将这种变化考虑进去，有可能是非线性关系。配料问题也称配方问题、营养问题或混合问题，在许多行业生产中都能遇到。

11、,1.1 线性规划的数学模型 Mathematical Model of LP,2023年11月17日星期五,最优解：,Z=347.5,1.1 线性规划的数学模型 Mathematical Model of LP,2023年11月17日星期五,【例1.5】投资问题。某投资公司在第一年有200万元资金，每年都有如下的投资方案可供考虑采纳：“假使第一年投入一笔资金，第二年又继续投入此资金的50%，那么到第三年就可回收第一年投入资金的一倍金额”。投资公司决定最优的投资策略使第六年所掌握的资金最多。,第五年：(x7/2+x9)=x8+2x5,第一年：x1+x2=200(万元),第二年：(x1/2+x3

12、)+x4=x2,第三年(x3/2+x5)+x6=x4+2x1,第四年：(x5/2+x7)+x8=x6+2x3,到第六年实有资金总额为x9+2x7，整理后得到下列线性规划模型,1.1 线性规划的数学模型 Mathematical Model of LP,【解】设 x1：第一年的投资；x2：第一年的保留资金 x3：第二年新的投资；x4：第二年的保留资金 x5：第三年新的投资；x6：第三年的保留资金 x7：第四年新的投资 x8：第四年的保留资金 x9：第五年的保留资金,2023年11月17日星期五,1.1 线性规划的数学模型 Mathematical Model of LP,最优解：,Z 416.2

13、6万元,x1：第一年的投资；x2：第一年的保留资金 x3：第二年新的投资；x4：第二年的保留资金 x5：第三年新的投资；x6：第三年的保留资金 x7：第四年新的投资 x8：第四年的保留资金 x9：第五年的保留资金,2023年11月17日星期五,【例1.6】均衡配套生产问题。某产品由2件甲、3件乙零件组装而成。两种零件必须经过设备A、B上加工，每件甲零件在A、B上的加工时间分别为5分钟和9分钟，每件乙零件在A、B上的加工时间分别为4分钟和10分钟。现有2台设备A和3台设备B，每天可供加工时间为8小时。为了保持两种设备均衡负荷生产，要求一种设备每天的加工总时间不超过另一种设备总时间1小时。怎样安排

14、设备的加工时间使每天产品的产量最大。【解】设x1、x2为每天加工甲、乙两种零件的件数，则产品的产量是,设备A、B每天加工工时的约束为,要求一种设备每台每天的加工时间不超过另一种设备1小时的约束为,1.1 线性规划的数学模型 Mathematical Model of LP,2023年11月17日星期五,目标函数线性化。产品的产量y等价于,整理得到线性规划模型,约束线性化。将绝对值约束写成两个不等式,1.1 线性规划的数学模型 Mathematical Model of LP,2023年11月17日星期五,1.1.2 线性规划的一般模型一般地，假设线性规划数学模型中，有m个约束，有n个决策变量x

15、j,j=1,2,n，目标函数的变量系数用cj表示,cj称为价值系数。约束条件的变量系数用aij表示，aij称为工艺系数。约束条件右端的常数用bi表示，bi称为资源限量。则线性规划数学模型的一般表达式可写成,为了书写方便，上式也可写成：,1.1 线性规划的数学模型 Mathematical Model of LP,2023年11月17日星期五,在实际中一般xj0,但有时xj0或xj无符号限制。,1.1 线性规划的数学模型 Mathematical Model of LP,2023年11月17日星期五,1.什么是线性规划，掌握线性规划在管理中的几个应用例子2.线性规划数学模型的组成及其特征3.线性

16、规划数学模型的一般表达式。,1.1 线性规划的数学模型 Mathematical Model of LP,下一节：图解法,作业:线性规划概.DOC,1.2 图解法 Graphical Method,2023年11月17日星期五,图解法的步骤：,1.求可行解集合。分别求出满足每个约束包括变量非 负要求的区域，其交集就是可行解集合，或称为可行域；,2.绘制目标函数图形。先过原点作一条矢量指向点（c1,c2)，矢量的方向就是目标函数增加的方向，称为梯度方向，再作一条与矢量垂直的直线，这条直线就是目标函数图形；,3.求最优解。依据目标函数求最大或最小移动目标函数直线，直线与可行域相交的点对应的坐标就是

17、最优解。,一般地，将目标函数直线放在可行域中 求最大值时直线沿着矢量方向移动 求最小值时沿着矢量的反方向移动,1.2 图解法The Graphical Method,2023年11月17日星期五,x1,x2,O,10,20,30,40,10,20,30,40,(3,4),(15,10),最优解X=(15,10),最优值Z=85,例1.7,1.2 图解法The Graphical Method,2023年11月17日星期五,2,4,6,x1,x2,2,4,6,最优解X=(3,1)最优值Z=5,(3,1),min Z=x1+2x2,例1.8,(1,2),1.2 图解法The Graphical M

18、ethod,2023年11月17日星期五,2,4,6,x1,x2,2,4,6,X（2）（3,1）,X（1）（1,3）,(5,5),min Z=5x1+5x2,例1.9,有无穷多个最优解即具有多重解,通解为,01,当=0.5时=(x1,x2)=0.5(1,3)+0.5(3,1)=(2,2),1.2 图解法The Graphical Method,2023年11月17日星期五,2,4,6,x1,x2,2,4,6,(1,2),无界解(无最优解),max Z=x1+2x2,例1.10,1.2 图解法The Graphical Method,2023年11月17日星期五,x1,x2,O,10,20,30

19、,40,10,20,30,40,50,50,无可行解即无最优解,max Z=10 x1+4x2,例1.11,1.2 图解法The Graphical Method,2023年11月17日星期五,由以上例题可知，线性规划的解有4种形式：,1.有唯一最优解(例1.7例1.8),2.有多重解(例1.9),3.有无界解(例1.10),4.无可行解(例1.11),1、2情形为有最优解3、4情形为无最优解,1.2 图解法The Graphical Method,2023年11月17日星期五,1.通过图解法了解线性规划有几种解的形式2.作图的关键有三点(1)可行解区域要画正确(2)目标函数增加的方向不能画错

20、(3)目标函数的直线怎样平行移动,作业：教材P103 3.1(a)(e)3.2,1.2 图解法The Graphical Method,下一节：线性规划的标准型,1.3 线性规划的标准型Standard form of LP,2023年11月17日星期五,在用单纯法求解线性规划问题时，为了讨论问题方便，需将线性规划模型化为统一的标准形式。,1.3 线性规划的标准型Standard form of LP,线性规划问题的标准型为:1目标函数求最大值（或求最小值）2约束条件都为等式方程3变量xj非负4常数bi非负,2023年11月17日星期五,max(或min)Z=c1x1+c2x2+cnxn,1.

21、3 线性规划的标准型Standard form of LP,注：本教材默认目标函数是 max,2023年11月17日星期五,或写成下列形式：,或用矩阵形式,1.3 线性规划的标准型Standard form of LP,2023年11月17日星期五,通常X记为：称为约束方程的系数矩阵，m是约束方程的个数，n是决策变量的个数，一般情况mn，且r()m。(m个方程线性无关),其中:,1.3 线性规划的标准型Standard form of LP,2023年11月17日星期五,【例1.12】将下列线性规划化为标准型,【解】（）因为x3无符号要求，即x3取正值也可取负值，标准型中要求变量非负，所以令,

22、1.3 线性规划的标准型Standard form of LP,2023年11月17日星期五,(3)第二个约束条件是号，在号 左端减去剩余变量(Surplus variable)x5，x50。也称松驰变量,1.3 线性规划的标准型Standard form of LP,(2)第一个约束条件是号，在左端加入松驰变量(slack variable)x4，x40,化为等式；,(4)第三个约束条件是号且常数项为负数，因此在左边加入松驰变量x6，x60，同时两边乘以1。,（5）目标函数是最小值，为了化为求最大值，令Z=Z,得到max Z=Z，即当Z达到最小值时Z达到最大值，反之亦然。,2023年11月1

23、7日星期五,综合起来得到下列标准型,1.3 线性规划的标准型Standard form of LP,2023年11月17日星期五,当某个变量xj0时,令x/j=xj。当某个约束是绝对值不等式时，将绝对值不等式化为两个不等式，再化为等式，例如约束,将其化为两个不等式,再加入松驰变量化为等式。,1.3 线性规划的标准型Standard form of LP,2023年11月17日星期五,【例1.13】将下例线性规划化为标准型,【解】此题关键是将目标函数中的绝对值去掉。令,则有,1.3 线性规划的标准型Standard form of LP,2023年11月17日星期五,得到线性规划的标准形式,1.

24、3 线性规划的标准型Standard form of LP,对于axb(a、b均大于零)的有界变量化为标准形式有两种方法。一种方法是增加两个约束xa及xb 另一种方法是令x=xa，则axb等价于0 xba，增加一个约束xba并且将原问题所有x用x=x+a替换。,2023年11月17日星期五,1.如何化标准形式？,可以对照四条标准逐一判断！,标准形式是人为定义的，目标函数可以是求最小值。,2.用WinQSB软件求解时，不必化成标准型。,图解法时不必化为标准型。,3.单纯形法求解时一定要化为标准型。,作业：线性规划标准型.DOC,1.3 线性规划的标准型Standard form of LP,下一

25、节：基本概念,1.4 线性规划的有关概念Basic Concepts of LP,2023年11月17日星期五,设线性规划的标准型 max Z=CX（1.1）AX=b（1.2）X 0（1.3）式中A 是mn矩阵，mn并且r（A）=m，显然A中至少有一个mm子矩阵B，使得r（B）=m。,1.4 基本概念Basic Concepts,基(basis)A中mm子矩阵B并且有r（B）=m，则称B是线性规划的一个基（或基矩阵basis matrix）。当m=n时，基矩阵唯一，当mn时，基矩阵就可能有多个，但数目不超过,2023年11月17日星期五,【例1.14】线性规划,求所有基矩阵。,【解】约束方程的

26、系数矩阵为25矩阵,容易看出r(A)=2，2阶子矩阵有C52=10个，其中第1列与第3列构成的2阶矩阵不是一个基，基矩阵只有9个，即,1.4 基本概念Basic Concepts,2023年11月17日星期五,由线性代数知，基矩阵B必为非奇异矩阵并且|B|0。当矩阵B的行列式等式零即|B|=0时就不是基,当确定某一矩阵为基矩阵时，则基矩阵对应的列向量称为基向量(basis vector)，其余列向量称为非基向量,基向量对应的变量称为基变量(basis variable)，非基向量对应的变量称为非基变量,在上例中B2的基向量是A中的第一列和第四列，其余列向量是非基向量，x1、x4是基变量，x2、

27、x3、x5是非基变量。基变量、非基变量是针对某一确定基而言的，不同的基对应的基变量和非基变量也不同。,1.4 基本概念Basic Concepts,2023年11月17日星期五,可行解(feasible solution)满足式（1.2）及（1.3）的解X=（x1,x2，xn)T 称为可行解。,基本可行解(basis feasible solution)若基本解是可行解则称为是基本可行解（也称基可行解）。,例如，与X=（0，0，0，3，2，）都是例1 的可行解。,基本解(basis solution)对某一确定的基B，令非基变量等于零，利用式（1.）解出基变量，则这组解称为基的基本解。,最优解

28、(optimal solution)满足式（1.1）的可行解称为最优解，即是使得目标函数达到最大值的可行解就是最优解，例如可行解 是例2的最优解。,非可行解(Infeasible solution)无界解(unbound solution),1.4 基本概念Basic Concepts,2023年11月17日星期五,显然，只要基本解中的基变量的解满足式（1.）的非负要求，那么这个基本解就是基本可行解。,在例1.13中，对来说，x1,x2是基变量，x3,x4，x5是非基变量，令x3=x4=x5=0，则式（1.）为,对B2来说，x1,x4,为基变量，令非变量x2,x3,x5为零，由式（1.2）得到

29、，x4=4，,因|B1|，由克莱姆法则知，x1、x2有唯一解x12/5,x2=1则 基本解为,1.4 基本概念Basic Concepts,2023年11月17日星期五,由于 是基本解，从而它是基本可行解，在 中x10,因此不是可行解，也就不是基本可行解。,反之，可行解不一定是基本可行解例如 满足式（1.2）（1.3），但不是任何基矩阵的基本解。,基本解为,1.4 基本概念Basic Concepts,2023年11月17日星期五,可行基 基可行解对应的基称为可行基；最优基基本最优解对应的基称为最优基；如上述B3就是最优基，最优基也是可行基。,当最优解唯一时，最优解亦是基本最优解，当最优解不唯

30、一时，则最优解不一定是基本最优解。例如右图中线段 的点为最优 解时，Q1点及Q2点是基本最优解,线段 的内点是最优解而不是基本最优解。,基本最优解 最优解是基本解称为基本最优解。例如，满足式（1.1）(1.3)是最优解,又是B3的基本解,因此它是基本最优解。,1.4 基本概念Basic Concepts,2023年11月17日星期五,基本最优解、最优解、基本可行解、基本解、可行解的关系如下所示：,基本最优解,基本可行解,可行解,最 优 解,基本解,例如,B点和D点是可行解,不是基本解;C点是基本可行解;A点是基本最优解,同时也是最优解、基本可行解、基本解和可行解。,1.4 基本概念Basic

31、Concepts,2023年11月17日星期五,凸集(Convex set)设K是n维空间的一个点集，对任意两点 时，则称K为凸集。,就是以X（1）、X（2）为端点的线段方程，点X的位置由的值确定，当=0时，X=X（2），当=1时X=X（1）,凸组合(Convex combination)设 是Rn 中的点若存在 使得 成立，则称X为 的凸组合。,1.4 基本概念Basic Concepts,2023年11月17日星期五,极点(Extreme point)设K是凸集，若X不能用K中两个不同的 点 的凸组合表示为,则称X是K的一个极点或顶点。,X是凸集K的极点即X不可能是K中某一线段的内点，只能

32、是K中某一线段的端点。,O,1.4 基本概念Basic Concepts,2023年11月17日星期五,【定理1.1】若线性规划可行解K非空,则K是凸集。,【定理1.2】线性规划的可行解集合K的点X是极点的充要条件为X是基本可行解。,【定理1.3】若线性规划有最优解,则最优值一定可以在可行解集合的某个极点上到达,最优解就是极点的坐标向量。,定理1.2刻划了可行解集的极点与基本可行解的对应关系，极点是基本可行解，反之，基本可行解一定是极点，但它们并非一一 对应，有可能两个或几个基本可行解对应于同一极点（退化基本可行解时）。,线性规划的基本定理,1.4 基本概念Basic Concepts,202

33、3年11月17日星期五,定理1.3描述了最优解在可行解集中的位置，若最优解唯一，则最优解只能在某一极点上达到，若具有多重最优解，则最优解是某些极点的凸组合，从而最优解是可行解集的极点或界点，不可能是可行解集的内点。,若线性规划的可行解集非空且有界，则一定有最优解；若可行解集无界，则线性规划可能有最优解，也可能没有最优解。,定理1.2及1.3还给了我们一个启示，寻求最优解不是在无限个可行解中去找，而是在有限个基本可行解中去寻求。下一节将介绍一种有效地寻找最优解的方法。,1.4 基本概念Basic Concepts,2023年11月17日星期五,1.线性规划常用的概念：可行解、基本解、基本 可行解

34、、最优解、基本最优解、基、可行基、最优基、凸集、极点（凸点）、凸组合,2.线性规划的三个基本定理。,作业：P34 T 9,1.4 基本概念Basic Concepts,下一节：单纯形法,1.5 单纯形法Simplex Method,2023年11月17日星期五,单纯形计算方法(Simplex Method)是先求出一个初始基可行解并判断它是否最优，若不是最优，再换一个基可行解并判断，直到得出最优解或无最优解。它是一种逐步逼近最优解的迭代方法。,当系数矩阵A中可以观察得到一个可行基时（通常是一个单位矩阵或m个线性无关的单位向量组成的矩阵），可以通过解线性方程组求得基本可行解。,【例1.15】用单

35、纯形法求下列线性规划的最优解,1.5 单纯形法 Simplex Method,1.5.1 普通单纯形法,2023年11月17日星期五,【解】化为标准型，加入松驰变量x3、x4则标准型为,系数矩阵A及可行基B1,r(B1)=2，B1是一个初始基,x3、x4为基变量，x1、x2为非基变量，令x1=0、x2=0由约束方程知x3=40、x4=30得到初始基本可行解,X(1)=(0,0,40,30)T,1.5 单纯形法 Simplex Method,2023年11月17日星期五,以上得到的一组基可行解是不是最优解，可以从目标函数中的系数看出。目标函数 Z=3x1+4x2中x1的系数大于零，如果x1为一正

36、数，则Z的值就会增大，同样若x2不为零为一正数，也能使Z的值增大；因此只要目标函数中非基变量的系数大于零，那么目标函数就没有达到最大值，即没有找到最优解，判别线性规划问题是否达到最优解的数称为检验数，记作j,j=1,2,n。,本例中1=3,2=4,3=0,4=0。参看表1.4（a）。,最优解判断标准 当所有检验数j0（j=1，n）时，基本可行解为最优解。,当目标函数中有基变量xi时，利用约束条件将目标函数中的xi消去即可求出检验数。,1.5 单纯形法 Simplex Method,检验数 目标函数用非基变量表达时的变量系数,2023年11月17日星期五,进基列,出基行,bi/ai2，ai20,

37、i,表1-4,基变量,1,10,0,0,1/3,0,1/3,10,5/3,1,-1/3,40,5/3,0,-4/3,30,1,0,3/5,-1/5,18,0,1,-1/5,2/5,4,0,0,-1,-1,将3化为1,乘以1/3后得到,1.5 单纯形法 Simplex Method,30,18,2023年11月17日星期五,最优解X=(18，4，0，0)T，最优值Z=70,O,20,30,10,40,(3,4),X(3)=(18,4),最优解X=(18,4),最优值Z=70,X(1)=(0,0),20,10,x2,x1,30,1.5 单纯形法 Simplex Method,X(2)=(0,10)

38、,2023年11月17日星期五,单纯形法全过程的计算，可以用列表的方法计算更为简洁，这种表格称为单纯形表（表1.4）。,计算步骤：,1.求初始基可行解，列出初始单纯形表，求出检验数。其中基变量的检验数必为零；,2.判断：（a）若j（j，n）得到最解；（b）某个k0且aik（i=1，2,m）则线性规划具有无界解(见例1.18)。（c）若存在k0且aik(i=1,m)不全非正，则进行换基；,1.5 单纯形法 Simplex Method,2023年11月17日星期五,第个比值最小，选最小比值对应行的基变量为出基变量，若有相同最小比值，则任选一个。aLk为主元素；,(c）求新的基可行解：用初等行变换

39、方法将aLk 化为,k列其它元素化为零（包括检验数行）得到新的可行基及基本可行解，再判断是否得到最优解。,（b）选出基变量，求最小比值：,1.5 单纯形法 Simplex Method,3.换基：（a）选进基变量设k=max j|j 0,xk为进基变量,2023年11月17日星期五,【例1.16】用单纯形法求解,【解】将数学模型化为标准形式：,不难看出x4、x5可作为初始基变量，单纯法计算结果如表 1.所示。,1.5 单纯形法 Simplex Method,2023年11月17日星期五,表15,1/3,1,5,0,1,20,3,0,17,1,3,75,1/3,0,9,0,2,M,20,25,6

40、0,1,0,17/3,1/3,1,25,0,1,28/9,1/9,2/3,35/3,0,0,98/9,1/9,7/3,最优解X=(25，35/3，0，0，0)T，最优值Z=145/3,1.5 单纯形法 Simplex Method,2023年11月17日星期五,【例1.17】用单纯形法求解,【解】这是一个极小化的线性规划问题,可以将其化为极大化问题求解,也可以直接求解,这时判断标准是：j0(j=1，n)时得到最优解。容易观察到,系数矩阵中有一个3阶单位矩阵,x3、x4、x5为基变量。目标函数中含有基变量x4,由第二个约束得到x4=6+x1x2，并代入目标函数消去x4得,1.5 单纯形法 Sim

41、plex Method,2023年11月17日星期五,表中j0,j=1,2,5所以最优解为X=(0,5,0,1,11,)最优值 Z=2x12x2x4=251=11极小值问题,注意判断标准,选进基变量时,应选j0的变量xj进基。,1.5 单纯形法 Simplex Method,表1.6,2023年11月17日星期五,【例1.18】求解线性规划,【解】化为标准型,1.5 单纯形法 Simplex Method,2023年11月17日星期五,初始单纯形表为,2=10,x2进基，而a120，a220，没有比值，从而线性规划的最优解无界。由模型可以看出，当固定x1使x2+且满足约束条件，还可以用图解法看

42、出具有无界解。,1.5 单纯形法 Simplex Method,2023年11月17日星期五,【例1.19】求解线性规划,【解】:化为标准型后用单纯形法计算如下表所示,1.5 单纯形法 Simplex Method,2023年11月17日星期五,表(3)中j全部非正,则最优解为:,表(3)表明,非基变量x3的检验数3=0,x3若增加,目标函数值不变,即当x3进基时Z仍 等于20。使x3进基 x5出基继续迭代,得到表(4)的另一 基本最优解,X(1),X(2)是线性规划的两个最优解，它的凸组合,仍是最优解，从而原线性规划有多重最优解。,1.5 单纯形法 Simplex Method,2023年1

43、1月17日星期五,唯一最优解的判断：最优表中所有非基变量的检验数 非零,则线规划具有唯一最优解。多重最优解的判断:最优表中存在非基变量的检验数为零,则线则性规划具有多重最优解。无界解的判断:某个k0且aik（i=1，2,m）则线性规划具有无界解退化基本可行解的判断:存在某个基变量为零的基本可行解。,1.5 单纯形法 Simplex Method,2023年11月17日星期五,在实际问题中有些模型并不含有单位矩阵，为了得到一组基向量和初基可行解，在约束条件的等式左端加一组虚拟变量，得到一组基变量。这种人为加的变量称为人工变量，构成的可行基称为人工基，用大M法或两阶段法求解，这种用人工变量作桥梁的

44、求解方法称为人工变量法。,【例1.20】用大M法解 下列线性规划,1.大M 单纯形法,1.5.2大M和两阶段单纯形法,1.5 单纯形法 Simplex Method,2023年11月17日星期五,【解】首先将数学模型化为标准形式,式中x4，x5为松弛变量，x5可作为一个基变量，第一、三约束中分别加入人工变量x6、x7，目标函数中加入Mx6Mx7一项，得到人工变量单纯形法数学模型,用前面介绍的单纯形法求解，见下表。,1.5 单纯形法 Simplex Method,2023年11月17日星期五,（1）初始表中的检验数有两种算法，第一种算法是利用第一、三约束将x6、x7的表达式代入目标涵数消去x6和

45、x7，得到用非基变量表达的目标函数，其系数就是检验数；第二种算法是利用公式计算，如（2）M是一个很大的抽象的数，不需要给出具体的数值，可以理解为它能大于给定的任何一个确定数值；,最优解X（31/3，13，19/3，0，0)T；最优值Z152/3,注意：,1.5 单纯形法 Simplex Method,2023年11月17日星期五,【例1.21】求解线性规划,【解】加入松驰变量x3、x4化为标准型,在第二个方程中加入人工变量x5，目标函数中加上M x5一项，得到,1.5 单纯形法 Simplex Method,2023年11月17日星期五,用单纯形法计算如下表所示。,1.5 单纯形法 Simpl

46、ex Method,2023年11月17日星期五,表中j0，j=1，2，5，从而得到最优解X=（2，0，0，0，2），Z=10+2M。但最优解中含有人工变量x50说明这个解是伪最优解，是不可行的，因此原问题无可行解。,两阶段单纯形法与大M单纯形法的目的类似，将人工变量从基变量中换出，以求出原问题的初始基本可行解。将问题分成两个阶段求解，第一阶段的目标函数是,约束条件是加入人工变量后的约束方程，当第一阶段的最优解中没有人工变量作基变量时，得到原线性规划的一个基本可行解，第二阶段就以此为基础对原目标函数求最优解。当第一阶段的最优解w0时，说明还有不为零的人工变量是基变量，则原问题无可行解。,1.5

47、 单纯形法 Simplex Method,2.两阶段单纯形法,2023年11月17日星期五,【例1.22】用两阶段单纯形法求解例19的线性规划。【解】标准型为,在第一、三约束方程中加入人工变量x6、x7后，第一阶段问题为,用单纯形法求解，得到第一阶段问题的计算表如下：,1.5 单纯形法 Simplex Method,2023年11月17日星期五,1.5 单纯形法 Simplex Method,2023年11月17日星期五,最优解为 最优值w=0。第一阶段最后一张最优表说明找到了原问题的一组基可行解，将它作为初始基可行解，求原问题的最优解，即第二阶段问题为,1.5 单纯形法 Simplex Me

48、thod,2023年11月17日星期五,用单纯形法计算得到下表,最优解X（31/3，13，19/3，0，0)T；最优值Z152/3,1.5 单纯形法 Simplex Method,2023年11月17日星期五,【例1.23】用两阶段法求解例1.21的线性规划。【解】例1.21的第一阶段问题为,用单纯形法计算如下表：,1.5 单纯形法 Simplex Method,2023年11月17日星期五,j0,得到第一阶段的最优解X=(2,0,0,0,2)T,最优目标值w=20,x5仍在基变量中,从而原问题无可行解。,1.5 单纯形法 Simplex Method,2023年11月17日星期五,解的判断,

49、唯一最优解的判断：最优表中所有非基变量的检验数非零,则线 规划具有唯一最优解,多重最优解的判断:最优表中存在非基变量的检验数为零,则线则性规划具有多重最优解。,无界解的判断:某个k0且aik（i=1，2,m）则线性规划具有无界解,退化基本可行解的判断:存在某个基变量为零的基本可行解。,无可行解的判断：(1)当用大M单纯形法计算得到最优解并且存在Ri0时，则表明原线性规划无可行解。(2)当第一阶段的最优值w0时，则原问题无可行解。,1.5 单纯形法 Simplex Method,2023年11月17日星期五,设有线性规划,其中Amn且r(A)=m,X0应理解为X大于等于零向量，即xj0,j=1,

50、2,n。,1.5.3 计算公式,1.5 单纯形法 Simplex Method,2023年11月17日星期五,不妨假设A（P1，P2，Pn）中前m个列向量构成一个可行基，记为B=(P1，P2，Pm)。矩阵A中后nm列构成的矩阵记为N（Pm+1,Pn）,则A可以写成分块矩阵A=（B，N）。对于基B，基变量为XB=（x1,x2，xm）T,非基变量为XN=(xm+1,xm+2,xn)T。,则X可表示成 同理将C写成分块矩阵C=（CB，CN），,CB=(C1,C2,Cm),CN=(Cm+1Cm+2，cn)则AX=b可写成,1.5 单纯形法 Simplex Method,2023年11月17日星期五,因