线性系统的频率分析法.ppt

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1、第五章 线性系统的频域分析法,本章主要内容:5.I 5.2 5.35.4,频率特性控制系统开环频率特性频率域稳定判据稳定裕度,一、频率特性的定义：指线性系统或环节在正弦信号作用下，系统输入量的频率由0变化到 时，稳态输出量与输入量的振幅之比和相位差的变化规律，用G(j)表示。,5.1 频率特性,稳态输出量与输入量的频率相同，仅振幅和相位不同。,幅频特性：稳态输出与输入振幅之比，即：相频特性：稳态输出与输入相位之差，即：,G(j)：包含了幅频特性和相频特性，故称其为幅相频率特性表达式。,频率特性,三、频率特性的求取,根据定义求取：,根据传递函数求取：,1）极坐标形式：,2）直角坐标形式：,3）两

2、种坐标间转换：,二、频率特性的表示形式,例如：求右图的频率特性,微分方程：传递函数：令s=j代入传递函数得频率特性：,频率特性是传递函数的特例，是定义在复平面虚轴上的传递函数，因此频率特性与系统的微分方程、传递函数一样反映了系统的固有特性。,微分方程、传递函数、频率特性之间的关系：,四、频率特性的几何表示法,常用频率特性的三种表示法：1)幅相频率特性曲线（又称：幅相曲线、奈奎斯 特图（Nyquist）、极坐标图）2)对数频率特性曲线（又称：伯德图(Bode)）频率对数分度,幅值/相角线性分度3)对数幅相曲线（又称：尼科尔斯曲线、Nichols）以频率为参变量表示对数幅值和相角关系：L()()图

3、,请重点掌握前面两种！,1、幅相频率特性曲线（又叫奈奎斯特图）,手工绘制：以横轴为实轴，纵轴为虚轴，构成复平面，取几个特殊值时的幅值和相角，然后根据G(j)随值的变化的趋势画出幅相曲线的大概形状。注：1）参变量在复平面上并不出现，只用箭头表示增大时幅相曲线的变化方向。2）通常只画从0到的幅相曲线，而从0到-的幅相曲线与前者关于实轴对称。实轴正方向相角零度线，逆时针正角度，顺时针负角度,例如：的（幅相曲线）奈氏图：,2）取三个特殊点：,1）频率特性：,3）画出幅相曲线：,1）对数频率特性曲线的横坐标：标记，按lg对数分度，单位是弧度/秒（rad/s）；2）对数幅频特性曲线的纵坐标：以L()=20

4、lgA()线性分度，单位是分贝（dB）；3）对数相频特性曲线的纵坐标：按()线性分度，单位是度（o）。,2、对数频率特性曲线（又叫伯德图Bode）包含：对数幅频特性和对数相频特性两条曲线,对数幅频特性,对数相频特性,对数分度：当变量每增大或减小10倍（10倍频程），坐标距离变化一个单位长度,1）横轴按的对数lg标尺分度，但标出的是本身的数值，即刻度不均匀；2）横轴压缩了高频段，扩展了低频段；3）在轴上，十倍频程的长度相等；4）可以将幅值的乘除化为加减L()=20lgA()；5）满足直线方程：斜率k,对数频率特性曲线的特点：,例如：的（对数频率特性曲线）伯德图,2）对数频率特性：,1）频率特性：

5、,3）画出伯德图：,最小相位环节和非最小相位环节的区别：最小相位环节：K0,开环零极点在s左半平面；非最小相位环节：K0开环零极点在s右半平面；,传递函数可以分解为典型环节的串联：,五、典型环节的分解,最小相位环节：,1、比例环节,传递函数：,频率特性：,相频：,幅频：,比例环节是复平面实轴上的一个点，它到原点的距离为K。,一、典型环节幅相曲线（Nyquist）的绘制,相频范围：0 o 0 o,5.2 控制系统开环频率特性,传递函数：,频率特性：,相频：,幅频：,2、积分环节,由于 是常数，而 随增大而减小。因此，积分环节是一条与虚轴负段相重合的直线。,相频范围：-90 o-90 o,箭头表示

6、增大时辐相曲线的变化方向,传递函数：,频率特性：,相频：,幅频：,3、微分环节,由于 是常数，而 随增大而增大。因此，微分环节是一条与虚轴正段相重合的直线。,相频范围：90 o 90 o,箭头表示增大时辐相曲线的变化方向,4、惯性环节,传递函数：,频率特性：,幅频：,相频：,随着频率=0变化，惯性环节的幅值逐步衰减，最终趋于0。相角的绝对值越来越大，但最终不会大于90，其极坐标图为一个半圆。,相频范围：0 o-90 o,5、一阶微分环节,传递函数：,频率特性：,幅频：,相频：,当从零变化到无穷时，相频从0变化+90，其幅相频率特性是通过（1，0）点，且平行于正虚轴的一条直线,相频范围：0 o9

7、0 o,6、振荡环节,传递函数：,频率特性：,幅频：,相频：,当=0时，A(0)=1,;当=n时，A(n)=1/2，；当=时，A()=0，；,结论：,当0.707,没有峰值，A()单调衰减；当=0.707,Mr=1,r=0,恰为Nyquist的起点；当1,r0,减小则Mr,r增大。,相频范围：0 o-180 o,谐振峰值：,幅频特性：组成系统的各典型环节的 幅频特性之乘积。,相频特性：组成系统的各典型环节的 相频特性之代数和。,开环传递函数可看作各典型环节的串联，则：,二、开环幅相曲线的绘制,2）补充必要的特征点(如与实轴的交点)：3）根据A()和()确定变化趋势，画出Nyquist图的 大致

8、形状。,绘制开环幅相曲线的步骤：三个要素 P175,1）起点和终点：求：A(0+)和(0+)；A()和()；,1、极坐标图的起点：=0+时G(j0+)的位置,0型：型及以上：结论：,系统开环传函：,极坐标图的起点位置与系统的型有关，不同时，起点位置如图所示：,极坐标图的终点：=时G(j)时的位置,结论：,系统开环传函：,极坐标图的终点趋于坐标原点，只是入射角不同，由分子分母的阶次之差（n-m）决定，终点位置如图所示：,n，m分别为分母，分子的最高介次,2、极坐标图与实轴的交点：令虚部为零，解得x，再将x代入ReG(j)，即与实轴的交点,3、开环幅相曲线的变化范围（单调性、象限）：,例5-1：,

9、1）起点：,终点：,解：,增大时，A()单调减小的，极坐标如图所示：,利用上述三点，可以定性的作出极坐标图。,例5-2：,起点：,终点：,解：,与实轴的交点：,令虚部为零得：,例5-3：,起点：,终点：,解：,与实轴的交点：,令虚部为零得：,分情况讨论：,令虚部为零得：,含有一阶微分，有凹凸现象,1、熟练掌握由系统开环传递函数绘制对数频率特性曲线（开环伯德图）；2、熟练掌握由已知开环对数幅频特性曲线求出系统开环传递函数的方法。,三、开环对数频率特性曲线,(一)典型环节对数频率特性曲线Bode的绘制,1、比例环节：,对数幅频：,对数相频：,2、积分环节：,对数幅频：,对数相频：,3、微分环节：,

10、对数幅频：,对数相频：,4、惯性环节：,对数幅频：,对数相频：,讨论：,当1/T时：,当1/T时：,即：惯性环节的对数幅频特性曲线可用两条直线近似，零分贝线和斜率为-20dB/dec的直线，两直线相交于=1/T（转折频率）处。,当=1/T时：有最大误差：,5、一阶微分：,对数幅频：,对数相频：,讨论：,当1/T时：,当1/T时：,即：一阶微分环节的对数幅频特性曲线可用两条直线近似，零分贝线和斜率为20dB/dec的直线，两直线相交于=1/T（转折频率）处。,当=1/T时：有最大误差：,惯性和一阶微分：频率特性互为倒数时：对数幅频特性曲线关于零分贝线对称；相频特性曲线关于零度线对称。,一阶微分,

11、惯性,6、振荡环节：,对数幅频：,对数相频：,讨论：,当n时：,当n时：,即：振荡环节的对数幅频特性曲线可用两条直线近似，零分贝线和斜率为-40dB/dec的直线，两直线相交于=n（转折频率）处。,振荡环节和二阶微分环节：频率特性互为倒数时：对数幅频特性曲线关于零分贝线对称；对数相频特性曲线关于零度线对称。,系统的开环对数幅频特性L()等于各个串联环节对数幅频特性之和；系统的开环相频特性等于各个环节相频特性之和。,系统的开环对数频率特性：,四、开环对数频率特性曲线的绘制,一、开环系统Bode图的绘制：将系统开环传递函数分解为典型环节乘积的形式，包括如下几部分：1）K/sv；2）一阶：惯性、一阶

12、微分，交接频率1/T；3）二阶：振荡、二阶微分，交接频率n。,最小相位系统：幅频特性与相频特性具有一一对应关系；而非最小相位系统就没有这样的关系,开环系统Bode图的绘制步骤：P183 1）典型环节分解；2）将转折频率由低到高依次标注到半对数坐标纸上；3）绘制低频（min）渐近线：斜率由K/s决定为：-20dB/dec确定低频渐近线上的一个点：三种方法：在直线上任取一点0(0min)，则：,取特殊点0=1，则：取特殊点，则：4）作min频段的渐近线：在交接频率处斜率发生变化，依据典型环节的斜率，两个交接频率之间为直线；交接频率处斜率发生变化，取决于该交接频率对应的典型环节的种类；5）如需要可进

13、行修正获得精确图形。,例1：试绘制以下传递函数的对数幅频曲线,解：1）首先把开环传函写为标准形式：,2）低频渐近线：斜率为-20dB/dec，取点：=1，则：,3）转折频率以及斜率变化值：,4）在半对数坐标纸上绘制对数幅频特性曲线如下图所示：,对数坐标系,例3：已知最小相位开环系统的渐近对数幅频特性如图所示。试写出系统的开环传递函数。绘制相应的对数相频特性图。,二、由开环Bode图求系统开环传递函数：,解：（1）由图可知在频率=6之前，对数幅频特性斜率为-20dB/dec，含有一个积分环节：（2）（3）图中=6 频段上，对数幅频特性斜率由-20dB/dec变为-40dB/dec，这意味着在=6

14、 出现了惯性环节，T1=1/1=1/6是惯性环节的时间常数,（4）图中=820 频段上，对数幅频特性斜率由原来的-40dB/dec变为-20dB/dec，即出现了一阶微分环节，T2=1/2=1/8：（5）图中=2060 频段上，对数幅频特性斜率由原来的-20dB/dec 变为0dB/dec，即出现了一阶微分环节，T3=1/3=1/20：（5）图中=60 以后频段上，对数幅频特性斜率由原来的0dB/dec 变为-40dB/dec，即出现了振荡或两个惯性：,由图知，没有发生突变，可看作两个惯性环节：T4=1/4=1/60因此，系统开环传递函数为：,1、掌握Nyquist稳定判据在极坐标图及对数频率

15、特性图中的应用2、掌握频域稳定裕度的定义,5.4 频率域稳定判据,一、奈奎斯特稳定判据,频域稳定判据的特点：利用开环系统频率特性曲线判定闭环系统的稳定性,P：右半平面开环极点个数Z：右半平面闭环极点个数N：奈氏曲线的穿越（-1,j0）点左侧的次数,在（-1,j0）点左侧奈氏曲线的穿越次数N的确定：,N+：正穿越，从上往下穿越，也即：逆时针穿越，相角增大的穿越；,N-：负穿越，从下往上穿越，也即：顺时针穿越，相角减小的穿越；,奈氏稳定判据：P189闭环系统稳定的充要条件是Z=0，即：半闭合曲线不穿过临界点（-1,j0）且逆时针包围（-1,j0）点的圈数R等于开环传递函数正实部根的个数P。,P：右

16、半平面开环极点个数Z：右半平面闭环极点个数N：奈氏曲线的穿越（-1,j0）点左侧的次数,1、开环系统不含积分环节时：,所以系统是闭环稳定的。,例如：,2、开环系统含有积分：,当虚轴上存在开环极点，开环系统处于临界稳定，不能直接用奈氏判据，要在数学上作如下处理：在s平面上s=0或s=j的邻域内作一个半径为无穷小的半圆，映射到G(j)平面上即为半径为无穷大的圆弧，,应用奈氏判据前先要进行修正：含有个积分环节：应先在开环极坐标图的起点=0+处，补作一个半径为无穷大，逆时针旋转90o的大圆弧增补线，并视为奈氏曲线的一部分；然后，再用奈氏判据判断稳定性。,例2 设单位反馈系统，其开环传递函数,试用奈氏判

17、据判断系统稳定性。,解：开环幅相大致曲线如图所示,曲线穿越（-1，j0）点左侧的次数：N=0-1=-1，P=0，Z=P-2N=2。闭环系统不稳定，有2个右半平面的闭环极点,奈氏判据的应用：确定系统可变参数的取值范围,练习：设系统开环传递函数为：为使得闭环系统稳定，请用奈氏判据求出Kp的取值范围。,解：大致幅相曲线为：,奈氏判据：闭环系统稳定，即：又：Z=P-2N，其中P=0，所以N=即：幅相曲线与实轴交点在（-1，j0）右侧,Z=0,0,开环频率特性：,实频特性：,虚频特性：,解得：,二、对数频率稳定判据,Ngquist图和Bode图的对应的关系 单位圆与分贝线对应，单位 圆外,平面上的负实轴

18、与的180线对应,采用Bode图的Ngquist判据：闭环系统稳定的充要条件是，当由变到时，在的频段内，曲线穿越线的次数（正穿越与负穿越次数之差)为，为右半平面的开环极点个数,用伯德图判别系统的稳定性,解：作系统伯德图因为在的频段内，相频特性不穿越线按照乃氏稳定判据系统是稳定的,假设系统开环在s右半平面无极点，其开环幅相曲线如图所示：,请问1：闭环系统的稳定性？,稳定,临界稳定,不稳定,由于系统中存在各种不确定性因素，对于任何一个实际的工程控制系统，仅仅指出该系统是否稳定是不够的，还要给出系统的稳定程度（或相对稳定性）：即系统离稳定边界的程度或“距离”。稳定度越大，抗干扰的能力越强。,5.5

19、稳定裕度,表征系统稳定程度的指标：相角裕度和幅值裕度,相角裕度 P194,含义:对闭环稳定的系统，若开环相频特性再滞后度，则系统处于临界稳定状态。,幅值裕度h P193,含义：对于闭环稳定系统，若开环幅频特性再增大h倍，则系统就会处于临界稳定状态。,结论：对于最小相位系统，若相角裕度0（通常为：30o70o）且幅值裕度h1(h0dB)（通常h6dB），则系统闭环稳定；这些值越大稳定程度越好。否则系统闭环不稳定。,稳定裕度的含义：,对闭环稳定的系统，若开环相频特性再滞后度，则系统处于临界稳定状态，或者开环幅频特性再增大h倍，系统处于临界稳定状态。,请问这个系统稳定吗？说明判断理由！,答：不稳定,

20、相角裕度0幅值裕度h1,练习1：已知某单位负反馈最小相位系统的开环对数幅频特性曲线如下图所示，试求系统的开环传递函数，并计算系统的稳定裕度。,解：1）开环传函？,确定参数K：,本章知识要点1、了解频率特性的基本概念，表示方法；2、熟练掌握Nyquist图和Bode图的绘制方法；3、熟练掌握频域稳定判据及稳定裕度计算方法。,附：控制系统的频域分析,1、伯德图（Bode）,1）mag,phase,w=bode(sys),当缺省输出时，命令可直接绘制伯德图，否则计算与频率w对应的幅值和和相角。,2）Gm,Pm,Wcg,Wcp=margin(sys),当缺省输出时，命令可直接绘制伯德图，并且将幅值裕度

21、、相角裕度及其对应的穿越频率、截止频率标注在图形标题端。,2、奈奎斯特图（Nyquist）,re,im,w=nyquist(sys),当缺省输出时，命令可直接绘制奈奎斯特图。,例：已知单位负反馈的开环传函，试绘制Bode图，和Nyquist图，并判断闭环系统的稳定性。,G=tf(5,conv(conv(1 0,1 1),0.1 1)%建立开环传函figure(1)margin(G)figure(2)nyquist(G)Gm,Pm,Wcg,Wcp=margin(G),运行后得到：,Gm=2.2000Pm=13.5709Wcg=3.1623Wcp=2.1020,Bode图,Nyquist 图,书例5-7：已知某最小相位系统的开环对数幅频曲线，求系统开环传递函数。,解：含有哪些环节？,确定四个参数：,开环传递函数为：,