线性变换和矩阵PPT.ppt

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1、7.3.1 线性变换的矩阵,设V是数域F上一个n维向量空间，令是V的一个线性变换，取定V的一个基 令,7.3 线性变换和矩阵,设,n阶矩阵A 叫做线性变换关于基 的矩阵.简称的矩阵.,(1),上面的表达式常常写出更方便的形式:,例题,7.3.2 坐标变换,设V是数域F上一个n 维向量空间,是它的一个基,关于这个基的坐标是 而()的坐标是 问:和 之间有什么关系?,设,因为是线性变换，所以,（2）,将（1）代入（2）得,最后，等式表明，的坐标所组成的列是,综合上面所述,我们得到坐标变换公式：,定理7.3.1 令V是数域F上一个n 维向量空间，是V的一个线性变换，而关于V的一个基 的矩阵是,如果V

2、中向量关于这个基的坐标是，而()的坐标是，,那么,例1 在空间 内取从原点引出的两个彼此正交的单位向量 作为 的基.令是将 的每一向量旋转角的一个旋转.是 的一个线性变换.我们有,所以关于基 的矩阵是,设，它关于基 的坐标是,而 的坐标是.那么,7.3.3 矩阵唯一确定线性变换,引理7.3.1 设V是数域F上一个n 维向量空间，是V的一个基，那么对于V 中任意n个向量，恰有 V 的一个线性变换，使得:,我们证明，是V的一个线性变换.设,那么,于是,设 那么,这就证明了是V的一个线性变换.线性变换显然满足定理所要求的条件：,如果是V的一个线性变换，且,那么对于任意,从而,定理7.3.2 设V 是

3、数域 F 上一个n 维向量空间，是V 的一个基，对于V 的每一个线性变换，令关于基 的矩阵A与它对应，这样就得到V 的全体线性变换所成的集合L(V)到F上全体n 阶矩阵所成的集合 的一个双射，并且如果,而，则(3)(4),证 设线性变换关于基 的矩阵是A.那么 是 的一个映射.,是F上任意一个n阶矩阵.令,由引理7.3.2，存在唯一的 使,反过来，设,显然关于基 的矩阵就是A.这就证明了如上建立的映射是 的双射.,设 我们有,由于是线性变换,所以,因此,所以关于基 的矩阵就是AB.（4）式成立，至于（3）式成立，是显然的.,推论7.3.1 设数域F上n 维向量空间V 的一个线性变换关于V 的一

4、个取定的基的矩阵是A，那么可逆必要且只要A可逆，并且 关于这个基的矩阵就是.,证 设可逆.令 关于所取定的基的矩阵是B.由（4），,然而单位变换关于任意基的矩阵都是单位矩阵 I.,所以AB=I.同理 BA=I.所以,我们需要对上面的定理7.3.1和定理7.3.2的深刻意义加以说明:,1.取定n 维向量空间V的一个基之后,在映射:之下,(作为向量空间),研究一个抽象的线性变换,就可以转化为研究一个具体的矩阵.也就是说,线性变换就是矩阵.以后,可以通过矩阵来研究线性变换,也可以通过线性变换来研究矩阵.,2.我们知道,数域F上一个n 维向量空间V 同构于,V上的线性变换,转化为 上一个具体的变换:,

5、也就是说,线性变换都具有上述形式.,7.3.4 线性变换在不同基下的矩阵相似矩阵,定义：设 A，B 是数域 F 上两个 n 阶矩阵.如果存在F上一个 n 阶可逆矩阵 T 使等式成立，那么就说B与A相似，记作：.,n阶矩阵的相似关系具有下列性质：,1.自反性：每一个n阶矩阵A都与它自己相似，因为,2.对称性：如果，那么；因为由,事实上，由 得,设线性变换关于基 的矩阵是 A,关于基 的矩阵是 B,由基 到基 的过渡矩阵T,即:,7.3 线性变换和矩阵,7.3.1 线性变换的矩阵一、内容分布 7.3.2 坐标变换 7.3.3 矩阵唯一确定线性变换 7.3.4 线性变换在不同基下的矩阵相似矩阵二、教学目的:1熟练地求出线性变换关于给定基的矩阵，以及给定n 阶矩阵和基，求出关于这个基矩阵为的线性变换 2由向量关于给定基的坐标，求出()关于这个基的坐标 3已知线性变换关于某个基的矩阵，熟练地求出关于另一个基的矩阵。三、重点难点:线性变换和矩阵之间的相互转换,坐标变换,相似矩阵。,