线性代数课件-1.1引言.ppt

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1、引言,线性方程组：由一次方程构成的方程组称为 线性方程组。,例如,方程组,为非线性方程组,【实例】设在一次投料生产中能获得四种产品，通过四次测试，每次测试的总成本如下表所示，试求每种产品的单位成本。,产品,产量（kg),解：设A、B、C、D四种产品的单位成本分别为 x1、x2、x3、x4,则,由题意可列出方程组：,线性方程组的一般表达式：,其中,n,m,例如：a23代表第二个方程第三个未知量的系数 b4代表第四个方程的常数项对线性方程组,（*）,若m=n,则（*）称为n元线性方程组,若mn,则（*）称为mn线性方程组,在线性方程组（*）中，若bi=0 i=1、2m 即,（*）,则称（*）为齐次

2、线性方程组,例如,线性方程组的解：对线性方程组,（*）,（*）中的每一个方程都成为恒等式，则称,为方程组（*）的一个解。,例如,（0，0，0）为一个解,解,零解,非零解,解的结构,有解,无解,唯一解,无穷多解,（5，1，-3）为一个解,（5c,c,-3c)为一个解（c为任意常数）,第一章 行列式,11 排列与逆序12 n阶行列式的定义13 行列式的性质14 行列式按行（列）展开15 Cramer法则,11 排列与逆序,引例,用1、2、3三个数字，可以组成多少个没有重复数字的三位数？,解,132,213,231,312,321,123,总数=6（个）3！（个）,三级排列,由自然数1、2、3、4、

3、n组成的一个有序 数组称为一个n级排列，简称为排列。,排列：,自然排列：,n级排列123n 称为自然排列。,214,13243,1314,不是排列,不是排列,不是排列,n 级排列的三要素,由n 个自然数组成,n个数中不能有重复数,不能有大于n的数,54321,5级排列,3142,4级排列,2134,4213,2143,n级排列的总数,4级排列的总数4!个=24 个,n!个,例如 由1、2、3、4这四个数可构成四级排列,排列的记号：,j1 j2 j3jn 所有n级排列,例如：j1 j2 j3 表示所有3级排列,当j1=3、j2=1、j3=2时，j1 j2 j3代表三级排列312,当j1=2、j2

4、=3、j3=1时，j1 j2 j3代表三级排列231,j1 j2 j3jn 一个n级排列,逆序：,对n级排列 j1 j2 ji jk jn,，,即,若ji jk，,则称ji与 jk构成一个逆序，,记为 ji jk。,在一个排列中，如果两个数的前后位置与它们的大小顺序相反（即排在前面的数大于排在后 面的数），则称这两个数构成排列的一个逆序。,例如：在三级排列312中,逆序：31、32,在四级排列4231中,逆序：42、21、31,【例1】求下列排列的逆序,（1）3241,逆序：32、31、,（2）52341,逆序：52、53、54、51、,（3）1234567,逆序：无,21、,41,21、,3

5、1、,41,一个排列中逆序的个数称为这个排列的逆 序数。,例如,记为,逆序数:,逆序数的计算方法:,=j1 后面比j1小的数的个数+j2后面比j2小的数的个数+jn-1后面比jn-1小的数的个数,【例2（补）】求排列,的逆序数,解,排列,奇排列,偶排列,逆序数为奇数的排列称为奇排列,逆序数为偶数的排列称为偶排列,当k=4n时，t=2n(4n-1)为偶数当k=4n+1时，t=2n(4n+1)为偶数当k=4n+2时，t=(2n+1)(4n+1)为奇数当k=4n+3时，t=(2n+1)(4n+3)为奇数,【例3(补）】判断排列135（2k-1）246（2k）的奇偶性,解,=t,(2k)的前一个数是（

6、2k-2),因此，（2k-1)与246（2k-2)这些数构成逆序，共（k-1)个,因此:当k=4n或k=4n+1时，该排列为偶排列 当k=4n+2或k=4n+3时，该排列为奇排列,对换：,（3，5）,相邻两个数码的对换称为相邻对换,例如 23154,25134,记为（ji，jk）,在一个n级排列j1 j2 ji jkjn 中，若仅将其中两个数ji、jk对调,其余不动，可得一个新的排列j1 j2 jk jijn,对排列所施行的这样一次对调称为一个对换。,（3，1）,23154,21354,相邻对换,定理11 一次对换改变排列的奇偶性,则,即：,若,【证】,且,则 若,ji jk,先证ji、jk为

7、相邻两个数时结论成立,设,因此,再证 ji、jk为任两个数时结论成立,设,即当ji、jk为相邻两个数时,先将ji依次与ji+1、ji+2、ji+m做相邻对换，,再将jk依次与ji、ji+m ji+1做相邻对换,共做了m+（m+1）=2m+1次相邻对换,由于一次相邻对换改变排列的奇偶性，而2m+1相邻对换为奇数次，故改变了排列的奇偶性。,故 一次对换改变排列的奇偶性,得排列j1j2ji1 ji+1ji+m ji jk jk+1jn,得排列j1 j2 ji1 jk ji+1ji+m ji jk+1 jn,定理11 一次对换改变排列的奇偶性,（3，5）,例如 23154,25134,3,奇排列,4,

8、偶排列,证明:,设在n!个n级排列中（n1）,奇排列共有p个,偶排列共有q个，,现对每一个奇排列施行一次对换，即,偶排列,则p+q=n!,奇排列,由此可得p个偶排列，,由于偶排列的个数共有q个，所以,同理，对q个偶排列各做一次对换，可得q 个奇排列，而奇排列共有p个，故有,因此，p=q.,又 p+q=n!,故 p=q=,12 n阶行列式的定义,（一）二、三阶行列式 对二元线性方程组,二阶行列式,则,例1 求方程组,解 因为,所以方程组有唯一解：,同理，对三元线性方程组：,称,=,=,问：（1）当a 为何值时，D0（2）当a 为何值时，D=0,【例】设：,解,=,则：当a1且a2时，D0,当a=

9、1或a=2时，D=0,对三元线性方程组：,若,则方程组有唯一解，,且唯一解为,小结,概念：n级排列：由自然数1、2、n 组成的一个有序数组。逆序：对n级排列j1 j2 ji jk jn,，若ji jk，则称ji jk构成一个逆序，记为 ji jk。逆序数：一个排列中逆序的个数称为这个排列 的逆序数。记为,对换:j1j2jijkjn,（ji，jk）,j1j2 jkjijn,n阶行列式,=,性质：【定理11】一次对换改变排列的奇偶性。,(二）n阶行列式 定义14 由,个数,（i,j=1、2、3n)组成的符号,称为n阶行列式,例如,第一行,第二行,第n行,第一列,第二列,第n列,二阶行列式,其中,=

10、两项的代数和，每一项是行列式中不同行不同列的两个元素的乘积,三阶行列式,=,=六项的代数和，,每一项是行列式中不同行不同列的三个元素的乘积,=两项的代数和，每一项是行列式中不同行不同列的两个元素的乘积,2！,3！,=,=n!项的代数和，每一项是行列式中不同行不同列的n个元素的乘积,行列式的一般项：,【例1（补）】计算行列式,解：,要使,必须,【例2（补）】计算行列式,解：,=0,【例3】计算行列式,D=,上三角行列式,要使,必须,即,解：,即,即,即,即,【例4（补）】行列式,小结,概念：n级排列：由自然数1、2、n 组成的一个有序数组。逆序：对n级排列j1 j2 ji jk jn,，若ji jk，则称ji jk构成一个逆序，记为 ji jk。逆序数：一个排列中逆序的个数称为这个排列 的逆序数。记为,对换:j1j2jijkjn,（ji，jk）,j1j2 jkjijn,n阶行列式,=,=,性质：【定理11】一次对换改变排列的奇偶性。,