线性代数第五章第二节.ppt

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1、引例,主要内容,特征值与特征向量的概念,特征值与特征向量的求法,特征值与特征向量的性质,第 二 节 特征值与特征向量,方程组等问题，也都要用到特征值的理论.,工程技术中的一些问题，如振动问题和稳定,性问题，常可归结为求一个方阵的特征值和特征,向量的问题.,数学中诸如方阵的对角化及解微分,一、引例,作下面的乘法得,引例 设,只是原像的倍数.,我们可以从映射的角度看待上述运算，即,由二阶实矩阵 A 定义了一个由全体二元实向量,集合 R2 到 R2 自身的一个映射，它的对应法则,a R2 Aa R2.,在此映射下，二元实向量 a1，a2 的像 Aa1，Aa2,为：,向量有些什么性质？,从几何上看，像

2、与原像在一条直线上，而,向 量 a3 的像 Aa3 就 不 具有这个性质.,我们把,a1，a2 称为矩阵 A 的特征向量，,数-1 与 3 分别,称为a1，a2 对应的特征值.,那么，是否任何一,个方阵都有特征值与特征向量？,特征值与特征,题.,这是本节要讨论的主要问,量.,二、特征值与特征向量的概念,定义 6 设 A 是 n 阶矩阵，如果数 和 n,维非零列向量 x 使关系式,Ax=x（1）,成立，,那么，这样的数 称为方阵 A 的特征值，,非零向量 x 称为 A 的对应于特征值 的特征向,1.定义,|A-E|=0，,即,（1）式也可写成,(A-E)x=0，（2）,这是 n 个未知数 n 个

3、方程的齐次线性方程组，,它有非零解的充要条件是系数行列式,值.,上式是以 为未知数的一元 n 次方程，称为,方阵 A 的特征方程.,其左端|A-E|是 的 n,次多项式，记作 f(),称为方阵 A 的特征多项式.,显然，A 的特征值就是特征方程的解.,特征方程,在复数范围内恒有解，其个数为方程的次数（重,根按重数计算），,因此，n 阶方阵 A 有 n 个特征,2.特征值的性质,(2)12 n=|A|.,设 1,2,n 是 n 阶方阵 A=(aij)的 n 个,特征值(k 重特征值算作 k 个特征值),则,(1)1+2+n=a11+a22+ann;,特征向量.,三、特征值与特征向量的求法,求矩阵

4、 A 的特征值与特征向量的步骤如下：,Step 1：计算 A 的特征多项式，并求出特,征方程的所有根.设矩阵 A 有 s 个不同的特征值,1,2,s.,Step 2:对 A 的每个特征值 i(i=1,2,s),求解齐次线性方程组(A-i E)x=0，该,方程组的全部解即为矩阵 A 的对应于 i 的全部,例 7 设矩阵,求 A 的特征值与特征向量.,例 8 设矩阵,求 A 的特征值与特征向量.,例 9 设矩阵,求 A 的特征值与特征向量.,例 10 设矩阵 A 为对合矩阵(即 A2=E),且 A 的特征值都是 1,证明:A=E.,例 11 设 是方阵 A 的特征值.(1)证明 k 是 Ak 的特

5、征值(k 为正整数);(2)设=a0+a1+amm,A=a0E+a1A+amAm,证明 是 A 的特征值.,pm 线性无关.,定理 2 设 1,2,m 是方阵 A 的 m 个,特征值,p1,p2,pm 依次是与之对应的特征向,量.,如果 1,2,m 各不相等,则 p1,p2,四、特征值与特征向量的性质,例 12 设 A 为可逆矩阵,为 A 的特征值,p 为对应的特征向量,证明:,为 A-1 与 A 的特征值,p 分别为 A-1 与 A 对应的特征向量.,分别,例 13 设三阶矩阵 A 的特征值为,设矩阵,(1)B 的特征值;(2)|B|.,试求:,例 14 设 1,2 是矩阵 A 的两个不同的

6、,特征值，对应的特征向量依次为 p1,p2,证明,p1+p2 不是 A 的特征向量.,本节内容已结束!若想结束本堂课,请单击返回按钮.,本节内容已结束!若想结束本堂课,请单击返回按钮.,本节内容已结束!若想结束本堂课,请单击返回按钮.,本节内容已结束!若想结束本堂课,请单击返回按钮.,本节内容已结束!若想结束本堂课,请单击返回按钮.,本节内容已结束!若想结束本堂课,请单击返回按钮.,本节内容已结束!若想结束本堂课,请单击返回按钮.,本节内容已结束!若想结束本堂课,请单击返回按钮.,本节内容已结束!若想结束本堂课,请单击返回按钮.,本节内容已结束!若想结束本堂课,请单击返回按钮.,本节内容已结束

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