线性代数第五章特征值特征向量.ppt
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1、第五章 特征值、特征向量 1.特征值、特征向量,定义1.设A为n阶方阵,为数,X为n维非零列向量.若满足:,则称 为A的特征值,X为A的属于 的特征向量.,如何求A的特征值和特征向量?,若齐次方程(2)有非零解X,则系数行列式|E-A|,(1),(1),(2),=0,叫做A的特征多项式.,求特征值、特征向量方法:,1.求|E-A|=0的根:,2.求,的非零解X=,即为A的特征值,即为A的特征向量.,例,第五章 特征值、特征向量 1.特征值、特征向量(续1),定理1:设1,2,n为n阶方阵A的特征值,则,定义2.若对n阶方阵A、B,存在可逆阵P,使得 P-1AP=B.则称A与B相似.记作AB.,
2、1)反身性:AA;,2)对称性:若 AB,则BA;,3)传递性:若 AB,BC,则AC.,性质:,第五章 特征值、特征向量 1.特征值、特征向量(续2),即A有特征值:1,2,n,定理2:相似矩阵特征多项式相同.,证:设P-1AP=B.则,如,当,则,第五章 特征值、特征向量 2.矩阵可对角化的条件,定理3.n阶方阵A与对角阵相似的充要条件为A有n个线性无关的特征向量.,P-1AP=,p1,p2,.,pn线性无关.,则 AP=P,证:必要性.设存在可逆阵P,使,设P=p1 p2.pn,|P|0,由式得:Api=ipi,i=1,2,.,n,AP=Ap1 p2.pn=Ap1 Ap2.Apn,p1,
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- 线性代数 第五 特征值 特征向量
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