线性代数第二章释疑解难.ppt

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1、释 疑 解 难,答 矩阵是线性代数中最重要的部分,它是线性代数的有力工具.它是根据实际需要提出的,大量的问题借助它可以得到解决.譬如,一般线性方程组有解的充要条件是用矩阵的秩表示的;作为解线性方程组基础的克拉默法则也可以用矩阵运算导出.二次型的研究可以转化为对称矩阵的研,1.为什么要研究矩阵?,究;化二次型为标准形,实际上就是化对称矩阵为合同对角形与合同标准形;线性变换可以用矩阵来表示,从而把线性变换的研究转化为矩阵的研究.矩阵运算的实质,是把它当作一个“量”来进行运算,因而使得运算得到大大简化.,2.任何两个矩阵 A，B 都能进行加(减)和 相乘运算吗?答 不是.(1)只有当 A,B 为同型

2、矩阵时,才能进行加(减)运算.(2)只有当第一个矩阵 A 的列数与第二个矩阵 B 的行数相同时,A 与 B 才能相乘,这时 AB 才存在.,3.两个矩阵 A，B 相乘时,AB=BA 吗?|AB|=|BA|吗?答 AB 不一定等于 BA.若要 AB=BA,首先要使 AB 和 BA 都存在,此时A，应为同阶方阵.其次矩阵的乘法不满足交换律.在一般情况下,AB BA.但对同阶方阵 A，B,|AB|=|BA|是一定成立的.因为对于数的运算,交换律是成立的,即|AB|=|A|B|=|B|A|=|BA|.,4.若 AB=AC 能推出 B=C 吗?答 不能.因为矩阵的乘法不满足消去律.例如,则 AB=AC,

3、但 B C.,5.非零矩阵相乘时,结果一定不是零矩阵吗?答 非零矩阵相乘的结果可能是零矩阵.例如,但,又如,但,6.设 A 与 B 为 n 阶方阵,问等式 A2-B2=(A+B)(A-B)成立的充要条件是什么？答 A2-B2=(A+B)(A-B)成立的充要条件是 AB=BA.事实上，由于(A+B)(A-B)=A2+BA-AB-B2,故 A2-B2=(A+B)(A-B)当且仅当 BA-AB=O，即 AB=BA.,7.设 A，B，C 是与E 同阶的方阵,其中 E 是单位矩阵.若 ABC=E，问：BCA=E，ACB=E，CAB=E，BAC=E，CBA=E 中哪些总是成立的？哪些却不一定成立？答 由于

4、 ABC=E，说明 BC 是 A 的逆矩阵，AB 是 C 的逆矩阵，由于任何方阵与其逆矩阵相乘可交换，故总有 BCA=E，CAB=E成立.而其他的等式不一定成立.,8.设方阵 A 满足 ax2+bx+c=0(c 0),即有aA2+bA+cE=O.问：A 可逆吗？若可逆求 A-1.,答 由 aA2+bA+cE=O 及 c 0，可得,从而 A 为可逆方阵，而且,9.如果一个方阵的逆矩阵存在，求它的逆矩阵都有些什么方法？,答 可以利用伴随矩阵法，即,还可以利用分块矩阵法求逆；利用解方程组的方法求逆；利用矩阵的初等行变换法求逆等等.,10.有没有不是方阵的矩阵 A，B，满足 AB=E？答 有.例如,则

5、,11.是否存在 n 阶方阵 A 和 B，能使 AB-BA=E？,答 没有.设 A=(aij),B=(bij)为任意两个 n 阶方阵，则 AB 主对角线上的元素为,它们的和为,同样，BA 的主对角线上的元素的和为,这说明 AB 与 BA 的主对角线上的元素的和相等，从而 AB-BA 的主对角线上的元素的和为零.但是，单位矩阵 E 的主对角线上元素的和为 n 0,故对任意 的同阶方阵 A，B，都有 AB-BA E.,12.若 A 可逆，那么矩阵方程 AX=B 是否有唯一解 X=A-1B？矩阵方程 YA=B 是否有唯一解Y=BA-1？答 是的.这是由于 A-1 的唯一性决定的.,13.矩阵 A 的

6、伴随矩阵 A 有什么特点？答 有两个特点，一是元素是由 aij 的代数余子式 Aij 所构成；二是 A 的第 i 行的元素 aij 的代数余子式 Aij 写在 A 的第 i 列，即,本节内容已结束!若想结束本堂课,请单击返回按钮.,本节内容已结束!若想结束本堂课,请单击返回按钮.,本节内容已结束!若想结束本堂课,请单击返回按钮.,本节内容已结束!若想结束本堂课,请单击返回按钮.,本节内容已结束!若想结束本堂课,请单击返回按钮.,本节内容已结束!若想结束本堂课,请单击返回按钮.,本节内容已结束!若想结束本堂课,请单击返回按钮.,本节内容已结束!若想结束本堂课,请单击返回按钮.,本节内容已结束!若

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