线性代数第1章第4节行列式按行展开.ppt
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1、1,第一章 行列式,第四节 行列式按行(列)展开,一、行列式按某一行(列)展开,三、行列式按某 k 行(列)展开,二、行列式计算方法类型举例,2,观察三阶行列式定义,3,对于三阶行列式,容易验证:,可见一个三阶行列式可以转化成三个二阶行列式的计算.,问题:一个n 阶行列式是否可以转化为若干个 n1 阶行列式来计算?,一、行列式按某一行(列)展开,4,定义1:,在 n 阶行列式中,把元素,所在的第 i 行和,第 j 列划去后,余下的 n1 阶行列式叫做元素,的,余子式,,记为,称,为元素,的代数余子式,例如:,5,注意:行列式的每个元素都分别对应着一个余子式和一个代数余子式,6,定理1:行列式等
2、于它的任一行(列)的各元素与其对应的代数余子式乘积之和,即,证明:,(先特殊,再一般),分三种情况讨论,我们只对行来证明此定理,(1),假定行列式D的第一行除,外都是 0,7,由行列式定义,D 中仅含下面形式的项,其中,恰是,的一般项,所以,,8,(2),设 D 的第 i 行除了,外都是 0,把D转化为(1)的情形,把 D 的第,行依次与第,行,第,行,,第2行,第1行交换;再将第,列依次与第,列,,第,列,,第2列,第1列交换,这样共经过,次交换行与交换列的步骤,9,由性质2,行列式互换两行(列)行列式变号,,得,,10,(3),一般情形,11,例如,行列式,按第一行展开,得,证毕,12,定
3、理2:行列式任一行(列)的元素与另一行(列)的对应元素的代数余子式乘积之和等于零,即,证明:,由定理1,行列式等于某一行的元素分别与它们代数余子式的乘积之和,在,中,如果令第 i行的元素等于另外一行,譬如第k行的元素.,13,则,第i行,右端的行列式含有两个相同的行,值为 0,14,综上,得公式,在计算数字行列式时,直接应用行列式展开公式并不一定简化计算,因为把一个n阶行列式换成n个(n1)阶行列式的计算并不减少计算量,只是在行列式中某一行或某一列含有较多的零时,应用展开定理才有意义但展开定理在理论上是重要的,15,利用行列式按行按列展开定理,并结合行列式性质,可简化行列式计算:计算行列式时,
4、可先用行列式的性质将某一行(列)化为仅含1个非零元素,再按此行(列)展开,变为低一阶的行列式,如此继续下去,直到化为三阶或二阶行列式,16,例:按某行(列)展开计算行列式,解法一:按第一行展开,17,解法二:按第三列展开,18,解法三:先调整,再展开,19,例:计算行列式,解:,原式,20,21,例:计算,解:,22,例:计算行列式,解:,23,例:计算 n 阶(n 1)行列式,解一:,按第一列展开,24,解二:,按第一行展开,而,25,例:已知四阶行列式D中第三列元素依次为1,2,0,1它们的余子式依次分别为5,3,7,4,求D=?,解:,由题意知,而,所以,26,例:已知四阶行列式D中第一
5、行上元素分别为1,2,0,4;第三行上元素的余子式依次为6,x,19,2试求x 的值,解:,由题意知,a11=1,a12=2,a13=0,a14=4;,A31=6,A32=x,A33=19,A34=2,而,故,所以 x=7,27,例:设,求4A12+2A223A32+6A42,其中Ai2为D中元素ai2(i=1,2,3,4)的代数余子式,解:,因4,2,3,6 恰好为D中第3列元素,而A12,A22,A32,A42 为D中第2列元素的代数余子式,故,4A12+2A223A32+6A42=0,28,例:已知5阶行列式,试求其中A2j为D中元素a2j(j=1,2,3,4,5)的代数余子式,解:,由
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