线性代数实践MATLAB.ppt
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1、第二篇 线性代数实践,第五章 预备知识,5.1 实验在线性代数中的重要性,利用软件工具进行实验有以下的一些好处:好处一:对于低价(三阶及以下)的线性代数问题,MATLAB能提供图形帮助,有利于牢固地掌握概念。好处二:对于高阶的问题,MATLAB能提供计算程序,方便而简捷,节省时间。好处三:由于解题快捷,在课程中可以较多地放进线性代数的应用实例。扩展学生的视野,提高学习的目的性和积极性。,线性代数实践的预期效果,所以我们敢于提出本书的标志性特征:线性代数抽象吗?看了本书后,你会知道它的概念都基于空间形象。线性代数冗繁吗?学了本书后,你会懂得它的计算全可有简明程序。线性代数枯燥吗?读了本书后,你会
2、发现它的应用极其广泛又精彩。,5.2 解决问题的三种视点,线性代数要解的基本方程组是Ax=b其完整矩阵形式为:几百年来,无数数学家和工程师从不同的视点对这个方程进行了研究。归纳起来,根据研究的主要对象为x,A或b,可分成三个方面:,从解联立方程的视点,视点1:着重研究解x,即研究线性方程组的解法。中学里做的就是这样,前面介绍的用MATLAB矩阵除法的解也是如此。要点:矩阵的每一行代表一个方程,m行代表m个线性联立方程。n列代表n个变量。如果m是独立方程数,根据mn确定方程是欠定、适定还是超定。对这三种情况都会求解了,研究就完成了。必须剔除非独立方程。行阶梯形式、行列式和秩的概念很大程度上为此目
3、的而建立。本书6,7两章对应于本视点,区别是第6章用行阶梯变换(消元法)而第7章用矩阵运算。,从向量空间中向量合成的视点,视点2:把A各列看成n个m维基本向量,线性方程组看成基向量的线性合成要点:解x是这些基向量的系数。它可能是常数(适定方程),也可能成为其中的一个子空间(欠定方程)。要建立其几何概念,并会求解或解空间。第8章对应视点2。,从线性变换(或映射)的视点,视点3:把b看成变量y,着重研究把Rn空间的x变换为Rm空间y 的效果,就是研究线性变换系数矩阵A的特征对变换的影响。要点:就是要找到适当的变换,使研究问题的物理意义最为明晰。特征值问题就是一例。第9章对应于视点3。,学习本课的方
4、法,在学习本书之前,对理论结果应已基本掌握。首先着重于对低阶概念的理解,要在二维和三维空间内体会线性代数的定义。结合相应的MATLAB程序,弄清低阶的算法,然后再引伸到高阶方程中去,进一步搞清其算法和程序应有的扩展。对于应用问题,不必全看,可结合自已能理解的问题先看。,5.3 直线和平面的快速绘制程序,平面曲线的快速绘制程序 ezplot(,a,b)引号中函数可以只有一个自变量,代表显函数ezplot(f(x),a,b)系统将在 a x b的范围内画出 f=f(x)引号中的函数若有两个自变量,那就代表隐函数,其典型格式为ezplot(f(x,y),a,b)系统将在 a x b的范围内画出 f(
5、x,y)=0。a,b的默认值为-2,2,曲线快速绘制举例(例5.1),ezplot(x1+0.2*x23+1)画出 在x1=-2,-2的曲线画多条曲线可按下列方法编程s1=x1+0.2*x23+1%方程1s2=3*x1+2*x2+3%方程2ezplot(s1),hold on%画方程1,保持ezplot(s2),grid on%画方程2,加网格x1,x2=solve(s1,s2)%解联立方程1,2,解的结果,解的说明,在线性代数中,遇到的都是一次函数,所以不会出现曲线。我们故意用一个三次曲线来说明ezplot的用法,是为了使读者知道,这个命令不限于画直线。MATLAB用solve命令解题是采用
6、了符号运算工具葙,它的数字精度是32位十进制,而不是一般数值计算时的16位十进制。尽管在本题中有两有效数字就够了,平面的快速绘制命令ezmesh,ezmesh(f(x,y),a,b,c,d)可以绘制很多函数的曲面。其第一输入变元可以直接输入用MATLAB语句写出函数的形式,引号中的函数只能是显函数z=f(x,y)中的f(x,y)。它应该有两个自变量,注意要用单引号括起来。第二输入变元为自变量的取值范围,默认情况下其x,y的取值范围都是-2,2。,用ezmesh快速绘制平面举例,可以用以下的程序ag501在一张图内画两个平面clear,clfezmesh(3*x1+2*x2+3)hold one
7、zmesh(x1-2*x2+1),用隐函数的绘制平面程序,用ezmesh画平面必须要解出z=f(x,y)的显函数形式,有时就觉得不太方便,容易发生移项正负号或系数除法的错误。为此,我们开发了画平面的ezplplot程序。在一张图上画两个平面的ezplplot2程序和画三个平面的ezplplot3程序。这个程序还能画出诸平面的交线,根据abs(z1-z2)tol 的条件画出一个点的符号,tol的默认值为1。,隐函数绘制平面举例(例5.3),键入ezplplot后,按提示依次键入隐函数方程:x+y-z=52*x-3*y+z=3-5*x+2*y-2*z=0得到这三个平面的图形如图,该程序中还包括一句
8、解方程的程序(s1=x+y-z=5,)x,y,z=solve(s1,s2,s3)故最后还可得到这三个方程的解,即其交点的坐标x=10/7,y=-13/7,z=-38/7,Ezplplot3的运行结果,5.4 随机整数矩阵的生成程序,A=round(9*rand(2,4)生成24的一位正整数随机矩阵。A=round(19*(rand(2,4)-0.5)生成24的带正负系数的一位整数随机矩阵。装有ATLAST程序集时,可用A=randintr(3,4,9,2)生成mn(34)随机矩阵,q=9是正负整数系数的最大模,而r=2则是此矩阵的秩。显然输入变元时必须保证rmin(n,m),否则系统将会显示出
9、错警告。,5.5 特殊矩阵的生成程序,除了最常用的全零zeros(m,n)、全么ones(m,n)、单位矩阵eye(n)等矩阵外,MATLAB提供了一些特殊矩阵的生成程序,见本书表2.1中的特殊矩阵栏。ATLAST 手册中也提供了19个特殊矩阵的生成程序(见本书附录B)。在本书的子程序集中,也提供了几个初等变换矩阵的生成程序。,5.6 线性代数建模与应用概述,本节介绍一些大的系统工程中使用线性代数的情况,使读者知道为什么线性代数在近几十年来变得如此的重要。首先要介绍Leontief教授把美国的经济用500个变量的500个线性方程来描述,在1949年利用当时的计算机解出了4242的简化模型,使他
10、于1973年获得诺贝尔经济奖,从而大大推动了线性代数的发展。,现代飞行器外形设计例,把飞行器的外形分成若干大的部件,每个部件沿着其表面又用三维的细网格划分出许多立方体,这些立方体包括了机身表面以及此表面内外的空气。对每个立方体列写出空气动力学方程,其中包括了与它相邻的立方体的共同边界变量,这些方程通常都已经简化为线性方程。对一个飞行器,小立方体的数目可以多达400,000个,而要解的联立方程可能多达2,000,000个。,飞行器控制的例,飞行器的运动要用三个转动和三个平移共六个变量来表示(像在第九章中介绍的那样)。除此以外,为了控制飞行器的三维转动,需要三个控制面,即方向舵(垂直尾翼)、升降舵
11、(水平尾翼)和副翼,它们的偏转角又构成了三个变量。描述飞行器的运动就需要12个变量的组合。而且这已经不单是代数方程,而是微分方程了。,卫星遥感图象处理的例,卫星上用三种可见光和四种红外光进行摄像,对每一个区域,可以获得七张遥感图象。利用多通道的遥感图可以获取尽可能多的地面信息,因为各种地貌、作物和气象特征可能对不同波段的光敏感。而在实用上应该寻找每一个地方的主因素,成为一张实用的图象。每一个象素上有七个数据,形成一个多元的变量数组,在其中合成并求取主因素的问题,就与线性代数中要讨论的特征值问题有关。,国家地理信息系统的例,在全国设立几十万个观察点,把每一点的经度、纬度和高度三个坐标建立起来。现
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