线性代数复习提纲2013下.ppt

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1、线性代数,一、行列式的计算方法二、线性方程组的解法三、逆矩阵的计算方法四、矩阵秩的计算方法五、向量组的线性相关性的判定方法六、向量组的最大无关组的计算方法七、方阵的特征值与特征向量的计算方法,复习提纲,概念清楚 运算熟练,一条主线：线性方程组两种运算：行列式、矩阵的初等变换三个工具：行列式、矩阵、向量难点：向量组线性相关性、线性表示、极大无关组,几个重要定理：线性方程组有解判别定理；矩阵可逆的判别定理；线性相关和线性无关判别定理；唯一表示定理线性方程组解的结构定理。,第一章 行列式及其性质,2、3阶行列式的对角线法则。n 阶行列式的定义。行列式的6个性质。行列式按行（列）展开定理。计算行列式：

2、运用行列式的性质（化简）及按行或列展开定理（降阶），N 阶特殊行列式的计算（如有行和、列和相等,范德蒙行列式）。,2、n阶行列式的计算,性质1 行列式与它的转置行列式相等.,性质2 互换行列式的两行（列）,行列式变号.,性质3 行列式的某一行（列）中所有的元素都乘以同一数，等于用数 乘此行列式.,性质行列式中如果有两行（列）元素成比例，则此行列式为零,(1)利用行列式的性质计算,（化为三角形）,性质5若行列式的某一列（行）的元素都是两数之和.,性质把行列式的某一列（行）的各元素乘以同一数然后加到另一列(行)对应的元素上去，行列式不变,(2)利用行列式展开计算,定理 行列式等于它的任一行（列）的

3、各元素与其对应的代数余子式乘积之和，即,第二章 矩 阵,矩阵的运算，乘法一般不满足交换律和消去律 行列式乘积定理：|AB|=|A|B|。|kA|=kn|A|伴随矩阵及其性质：AA*=A*A=|A|E。可逆矩阵及其性质。逆矩阵的计算（方法1：利用伴随阵，方法2：利用初等行变换）分块矩阵及其运算规则（乘法、求逆等）。,求解线性方程组 Ax=b,克拉默法则(Cramers Rule)。条件：方程的个数=未知数的个数，亦即，系数矩阵A为方阵。解的性态：当系数矩阵A的行列式非零时，亦即，系数矩阵A为可逆阵时，方程组有唯一解，并可由行列式的比值来表示；,当系数矩阵A的行列式为零时，亦即，系数矩阵A为奇异阵

4、时，方程组无解或有无穷多解.,第三章 矩阵的初等变换,矩阵的三种初等行或列变换。用初等变换求矩阵逆。用初等变换求解矩阵方程 AX=B 含参数的线性方程组解的情况的讨论,矩阵 Amn 的秩,求解线性方程组 Ax=b,基本方法：消元法。消元法之数学表达：对增广矩阵(A,b)进行初等变换。解的性态定理：n 元线性方程组 Ax=b（其中 A 为 m 行 n 列矩阵，亦即，线性方程组由m 个方程构成），i)无解的充要条件是 R(A)R(A,b).ii)有惟一解的充要条件是 R(A)=R(A,b)=n.iii)有无限多解的充要条件是 R(A)=R(A,b)n.求得解的性态：将增广矩阵(A,b)初等变换为行

5、阶梯形矩阵，然后应用解的性态定理。,第四章 向量组的线性相关性,本章复习时要注意一个特点：向量组矩阵线性方程组,回顾：线性方程组的表达式,一般形式 向量方程的形式,增广矩阵的形式向量组线性组合的形式,方程组有解？,向量 是否能用 线性表示？,1、,求出方程组的解作组合系数,矩阵表示形式：,复习：向量、向量组的线性表示,向量用向量组的线性表示问题归结为线性方程组解的问题！,表示系数为列！,2、,向量组用向量组的线性表示问题归结为矩阵方程解的问题！,线性无关,线性相关,（方阵）,（方阵）,求向量组 的一个极大无关组,以向量组 中各向量作为列向量，构成矩阵 A；则 B 中各非零行的首列对应的 A 的

6、部分向 量组就为 向量组 的极大线性无关组。,怎样利用 极大无关组表示其余向量？,求出向量组 的极大无关组；(2)行阶梯形矩阵B 行最简形矩阵C根据行最简形矩阵列向量的分量，用极大无关组表示其余向量.,（行）初等变换,向量组的秩,定理 矩阵 经初等行变换得矩阵，则 与 的行向量组等价,且 与 的列向量组具有相同的线性相关性.,所以,线性组合系数也相同的,矩阵的初等变换：线性表示，线性相关性，求矩阵、向量组的秩，求极大无关组，求线性表示系数，求线性方程组的解等等,求解线性方程组 Ax=b,解的结构定理：i)设mn矩阵A的秩为 r，则齐次线性方程组 Ax=0 的通解为 其中，向量组 称为该齐次方程组的基础解系。ii)n元非齐次线性方程组 Ax=b 的通解为 求得解的结构：将增广矩阵(A,b)初等变换为行最简形矩阵，然后应用解的结构定理。克拉默法则(Cramers Rule)。,向量空间,向量空间、基、维数向量在给定基下的坐标,第五章 相似矩阵及二次型,第一节：1、向量的内积、长度的计算、性质；2、向量正交、正交向量组、规范正交组（规范正交基）的概念；3、了解 Schimidt 正交化过程 4、正交矩阵的定义及性质；,方阵的特征值与特征向量,方阵的特征值、特征向量的概念及其求解。,善总结,勤归纳,巧做题.,线性代数的复习方法:,熟记性质,不忘定义;掌握方法,不忘原理.,谢谢大家!,