线性代数》之十：线性方程组(续).ppt

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1、1,线 性 代 数 电子教案之十,2,主要内容,第十讲 线性方程组(续),齐次线性方程组的基础解系的概念，基础 解系的求法；,齐次线性方程组的解的结构，即齐次线性 方程组的通解表达式；,齐次线性方程组的解空间的维数与系数矩 阵的秩的关系；,非齐次线性方程组的通解表达式.,基本要求,理解齐次线性方程组的基础解系的概念及系 数矩阵的秩与全体解向量的秩之间的关系，熟悉基础解系的求法；理解非齐次线性方程 组的通解的构造.,3,一、复习,第四节 线性方程组的解的结构,1.系数矩阵是方阵的线性方程组,设 为方阵，若，则线性方程组 有惟一解.,2.系数矩阵是一般矩阵的线性方程组,（克莱默法则）,个未知数的齐

2、次线性方程组 有非零解的充要条件是系数矩阵的秩.,个未知数的非齐次线性方程组 有解的充要条件是系数矩阵 的秩等于增广矩阵的秩；且当 时方程组有惟一解，当 时方程组有无限多个解.,4,二、齐次线性方程组的解的构造,1.齐次线性方程组的解的性质,性质1 若 为 的解，,则 也是 的解.,证,因为 为 的解，所以,因而,即 满足方程.,5,性质2 若 为 的解，为实数，,则也是 的解.,证,因而,因为 为 的解，所以,即 满足方程.,6,2.齐次线性方程组的解空间,设齐次线性方程组 的所有解组成的集合为，,显然 非空，,根据性质1知，对于加法封闭，,根据性质2知，对于数乘封闭，,所以 是一个向量空间

3、，称为的解空间.,7,3.基础解系,定义,齐次线性方程组的解空间的基称为该齐次线性方程组的基础解系.,换句话说，,齐次线性方程组的解集的极大无关组称为该齐次线性方程组的基础解系.,8,4.齐次线性方程组的解的构造,根据最大无关组的定义或基的定义知，由齐次线性方程组的基础解系，就可以构造齐次线性方程组的通解表示式：,设齐次线性方程组 的基础解系为,则方程组 的通解为,9,三、基础解系的求法,设个未知数的方程组 的系数矩阵 的秩，并不妨设 的前 个列向量线性无关，,则 的行最简形矩阵 为,如果非零首元不在 前，有类似结论，只是非自由未知数不同,10,方法一（先求通解再求基础解系）：,选取 作为自由

4、未知数，并令它们依次等于，得,11,即,12,写成向量形式为,记作,13,可知解集 中的任一向量 能由 线,又显然可见 线性无关，所以,性表示，,是解集的最大无关组，即,是方程组 的基础解系.,方法二（先求基础解系再求通解）：,选取 作为自由未知数，,令它们分别取下列 组数：,14,依次代入方程组,可以取其它情形的数组，只要所取的 个数组线性无关即可,15,于是所求基础解系为：,16,四、解空间的维数与系数矩阵的秩的关系,根据上述求基础解系的过程可得，齐次线性方程组的解集的秩与系数矩阵的关系是：,定理7,设 矩阵 的秩，则 元齐次,线性方程组 的解集的秩,注意：,当 时，则 的解集的秩，,即方

5、程组只有零解，此时方程组没有基础解系.,当 时，则 的基础解系含有,个向量.,17,解,析：此例是最基本的求基础解系与求解齐次方程的训练题.与前面解决同一问题的方法相比较，现在求解此问题时，大致有三个方面的提高：,解题思想更具有理论意义；,解题手法更加灵活；,并赋予它的解集以鲜明的集合意义.,18,对系数矩阵作初等行变换，变为行最简形，,于是可得,19,选取 为自由未知数，令,及,代入所得同解方程组，对应有,及,所以，所求基础解系为,方程组的通解为,20,说明,上述的解题过程是一个“标准程序”，其中把系 数矩阵化为行最简形也是采用“标准程序”（第 一行第一列的元素是首非零元）.,自由未知数取不

6、同的数组，可以得到不同的基 础解系；若,对应的基础解系为,21,用初等行变换化简系数矩阵，若不采用“标准 程序”化为行最简形，而是将系数矩阵的某些 列化为单位坐标向量.,这样可以灵活地选取自由未知数，从而得到不同于按“标准程序”得到的基础解系.,22,所以基础解系为,由以上说明更加清晰看出，基础解系不是惟一 的，所以通解表达式也不是惟一的.但是基础解 系中所含向量的个数是惟一的.,23,例2 设，证明.,证,记，则,都是方程 的解,设 的解集为，由 知，,即,而由定理7知，,故,24,说明,由于当 时，有，所以,的解；,的行向量都是齐次方程 的解.,此例的结论：当 时，有 着十分广泛的应用.,

7、当 时，的列向量都是齐次方程,这里=矩阵 的列数=矩阵 的行数.,25,证,析：讨论两个向量组等价，首先想到定理2的推论，但是推论讲的是两个列向量组等价的充要条件，即,矩阵 与 的向量组等价,现在讨论的是行向量组，而 与 的行向量组就是 与 的列向量组，因此,矩阵 与 的行向量组等价,26,必要性：,矩阵 与 的行向量组等价，就是方程组 与 可以互推.,也就是方程组 与 同解.,充分性：,方程组 与 同解,方程组、与 同解,它们的解集的秩相等,它们系数矩阵的秩相等，即,矩阵 与 的行向量组等价.,27,说明,矩阵 与 的行向量组等价，就是方程组 与 可以互推.,因此，此例可以该叙为：,齐次方程

8、组 与 可互推的充要条件是它们同解.,28,例4 证明,证,析：此题仍然是运用解空间的维数与系数矩阵的秩的关系证明结论的一道题目.,下面证方程组 与 同解：,若 满足，则有，,即,设 为 矩阵，为 维列向量.,若 满足，则有,即,从而推知,由以上可知 与 同解，因此,29,说明,此题的结论对任意实矩阵都是成立的，但对复 矩阵结论不成立.因为,对于复列向量，不能由 推出,复矩阵，结论应该为,此题的结论是矩阵 的一个重要性质.,30,五、非齐次线性方程组的解的构造,1.非齐次线性方程组的解的性质,性质3 设 都是 的解，,则 是其对应的齐次方程组 的解.,证,性质4 设 是方程组 的解，是其对应的

9、齐次方程组 的解，,则 仍是,的解.,证,31,2.非齐次线性方程组的解的构造,设 是 的任一解，若已经求得的一个解，,则 总可以表示为,其中 为方程 的解.,若 的基础解系为 则,反之，对任何实数 上式总是 的解.,32,非齐次线性方程组的解,设，若 的基础解系为，是 一个解（特解），则 的通解为,33,注意：,34,例5 求解方程组,解,对增广矩阵施行初等行变换：,35,可见,故方程组有解，且有,所以特解为,又对应的齐次方程组可化为,36,所以对应的齐次方程组的基础解系为,于是所求通解为,37,例6 已知方程组,：,的一个基础解系为,38,试写出方程组,的通解，并说明理由.,解,析：此题的

10、目的是运用解空间的维数与系数矩阵的关系求解方程.,：,把方程组与的系数矩阵分别记为 与.,则此题可叙述为,39,于是可得,因而,（由定理7）,40,六、小结,设 元齐次线性方程组 的解集为，则,解集 的一个最大无关组称为齐次方程组的基础解系.设，则，知基础解系含 个解向量.,设 为齐次线性方程组的基础解系，则其通解为,设非齐次方程组 的一个解为，对应的齐次线性方程组 的基础解系为，则 的通解为,41,求解方程组 的“标准程序”：,用初等行变换化简增广矩阵；,判断方程是否有解，若有解，则将增广矩阵化为行最简形；,根据增广矩阵的行最简形求出一个特解；,根据系数矩阵的行最简形（将增广矩阵的行最简形的最后列去掉即得），求出对应的齐次方程组的基础解系；,写出通解表达式.,42,作业：,P110 22.(1)(3)23.25.26.27.P111 29.30.31.32.,