线性代数1.3按行(列)展开.ppt
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1、1,1.3 行列式按行(列)展开,引入,2,一、定义,n阶行列式,中,划去元素aij所在的第i行和第j列元素,余下的元素按原来顺序构成一个n-1阶行列式,称为元素aij的余子式,记做Mij。,称 为元素aij的代数余子式。,【注】行列式的每个元素分别对应着一个余子式和一个代数余子式.,3,如 四阶行列式,的余子式:,代数余子式:,4,四阶行列式,的余子式:,代数余子式:,5,定理:n阶行列式D|aij|等于它的任意一行(列)各元素与其对应的代数余子式的乘积之和,即,或,二、行列式展开定理,6,说明:该定理可作为行列式的等价定义。,按某行(列)展开,本质是对行列式降阶,是降阶简化计算行列式的重要
2、方法,特别适用于某行(列)零元较多的情形。,证明思路:(详细证明见教材)1两边项数相同;2右边各项都是 D 中的项;3右边各项的符号与在 D 中的符号相同。,7,例1 利用行列式的展开计算行列式的值,【评注】一般应选取零元素最多的行或列进行展开;或者选取一行或列,利用行列式的性质5,将这一行或列的元素尽可能多的化为零,然后按这一行或列进行展开;这样方便计算。,8,解 将行列式按第1列展开,=-48,9,推论:,行列式D的任一行(列)的元素与另一行(列)的对应元素的代数余子式乘积之和等于零.,中,如果令第 i 行的元素等于另外一行,譬如第 k 行的元素,得D1,10,第i行,=0.,按第i行展开
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- 线性代数 1.3 按行 展开
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