粘性流体流动的微分方程.ppt

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1、第三章粘性流体流动的微分方程,前面已讨论了总质量、总能量及总质量衡算方程，用它们可以解决工程设计中的许多问题。,总衡算的对象是某一宏观控制体。,特点：由进出口流股的状态、控制体范围与环境之间的交换情况去确定内部某些量发生的总变化。,例：总质量衡算只是考察流体通过圆管的平均速度，而不能确定截面上的速度分布，这一问题要由微观衡算来解决，微观衡算所依据的定律与总衡算一样。,微分衡算方程又称为变化方程，它们描述与动量、热量和质量传递有关的物理量如速度、密度、压力、温度、组分浓度等随位置和时间变化的普遍规律。,本章重点是微分质量衡算和微分动量衡算方程。,第一节 连续性方程,连续性方程：对于单组分系统或组

2、成无变化的多组分系统，应用质量守恒定律进行微分衡算得到的方程。,31 连续性方程的推导,y,如图：在流动的流体中选取一微元体，其边长为dx，dy，dz，相应的各边长分别与x轴，y轴和z轴平行。,流体在任一点（x，y，z）处的速度u沿x，y，z方向的分量分别为ux，uy，和uz，流体的密度为，为x，y，z和的函数。,因此在点（x，y，z）处的质量通量为u,根据质量守恒定律，对此微元体进行质量衡算得：,输出的质量流率输入的质量流率累积的质量流率0,首先分析x方向流过此微元体的质量流率：,设微元体左侧平面处的质量通量为ux，则输入微元体的质量流率ux dydz,右侧平面处的质量通量为,则输出微体的质

3、量流率,沿x方向的净输出质量流率为上述二者之差即：,同理：沿y方向的净输出质量流率为,沿z方向的净输出质量流率为,三者相加便是此微元体中流体质量流率的总输出与总输入之差：,即总净输出量为：,(输出的质量流率）（输入的质量流率）,在时，微元体的质量为dxdydz，,在d 时，其质量变为,累积的质量速率为上述两项之差除以d,累积质量速率,于是可证流体流动时的微分质量衡算式为：,写成向量形式为：,（31）,（32）,散度,此式即为流体流动时的通用微分衡算方程，又称为连续性方程。,适用范围：,（1）由于推导时没作任何假定，故它适用于稳态或非稳态系统。,（2）理想流体和真实流体。,（3）可压缩和不可压缩

4、流体。,（4）牛顿型流体和非牛顿型流体。,它是研究动量、热量和质量传递过程的最基本、最重要的微分方程之一。,32 对连续性方程的分析和简化,将连续性方程展开可得其另一种形式为：,上式的物理意义分析：,与传递过程有关的许多物理量（如压力、密度、速度、温度、浓度等）都是位置和时间的连续函数，,对于有：,将进行全微分得：,（33）,（34）,写成全导数的形式为：,（36）,（35）,各项物理意义：,（1）偏导数,表示某固定点处流体密度随时间的变化率。因为x，y，z固定时，后三项均为零，,（2）全导数,它可想象为当测量运动流体密度时，观察者在流体中以任意速度运动（式中,为其速度分量，该速度不一定等于流

5、体速度）时密度对时间的变化率。显然，全导数除了与时间和位置有关外，还与观察者的速度有关。,（3）随体导数,若测量流体密度时，观察者在流体中的运动速度与流体运动的速度完全一致时，则,为流体流速在三个坐标轴的分量。,此时，上述方程即可表明流体密度为位置、时间及流体速度u的函数。此种随流体运动的导数称为“随体导数”或“真实导数”，或称拉格朗日（Lagrangian)导数，记为,（37）,随体导数中的物理量可以为标量如（压力、密度、温度、浓度等），也可以为矢量如（速度）,流体密度的随体导数可表示为：,（38）,局部导数,对流导数,随体导数由两部分组成，其一为局部变化，即量在空间的一个固定点上随时间的变

6、化，称为“局部导数”,另一部分是量的对流变化，即该量由于流体质点的运动，由一点移动到另一点时该量所发生的变化，称为“对流导数”。,上式表明：当流体质点在d时间内，由空间的一点（x，y，z）移动到另一点（xdx，ydy，zdz）时，流体密度对时间的变化率。,连续性方程用随体导数形式表达为：,方程中的前三项是速度向量的散度,现在来看第四项的物理意义：,考察随流体运动的一个单位质量的流体微元，质量衡定，但体积v和密度随时间而变，,因为,（310）,两边求随体导数得：,（311）,（312）,代入方程（39）得：,（313）,流体微元的体积膨胀速率或形变速率,速度向量的散度实际上表述了三个轴线方向上的

7、线性形变速率。,速度向量的散度 等于流体运动时体积膨胀速率。此概念很重要，后面要用到多次。,上述方程的物理意义是：,在进行动量、能量和质量衡算及对流体的运动进行分析时，有两种方法。,一是欧拉（Euler）方法：在流体运动的空间内固定某一位置，并且固定被研究流体的体积，但其质量随时间而变，据此,来分析该固定位置流体状况的变化，从而获得整个流场流体运动的规律。,另一是拉格朗日（Lagrange）方法：在流体运动的空间内，选择某一固定质量的微元，观察者追随此流体微元一起运动，并根据此运动着的流体微元的状态变化来研究整个流场流体运动的规律。此时，流体质量固定，位置变化，体积也可能变化。,在总衡算或微分

8、衡算方程的推导过程中，两种观点都可以采用，最终结果也都一样，只是不同的情况用某一种方法会,简化。而用另一种方法会繁琐罢了。,比如：推导连续性方程时采用欧拉法，而分析该方程时又采用Lagrange方法。,后面的微分动量衡算和微分能量衡算方程的推导将采用Lagrange法。,连续性方程的化简,（1）稳态流动的连续性方程,由于是稳态流动，密度不随时间而变，即,，方程（31）可简化为：,（314）,上式适用于可压缩和不可压缩流体。,（2）不可压缩流体的连续性方程,由于此时为常数，故（31）式可简化为：,（315）,适用于稳态和非稳态流动。此式非常有用！,33 柱坐标系和球坐标系中的连续性方程,在研究圆

9、管、圆筒形流道内的流动时，在相同半径上的所有各点都具有相同的速度及其它物理量，此时用柱坐标系表达连续性方程最为方便。同理，当流动系统的范围面为球形或其一部分时，采用球坐标最方便。,这两种坐标系中的连续性方程的推导，原则上与直角坐标系相似，并且还可通过坐标系间的对应关系由直角坐标系转换而得。这里就不详讲了，结果如下：,柱坐标系上的连续性方程：,R径向坐标,Z轴线坐标,（316）,方位角,时间,为三个方向上的流体速度分量,全纬度,方位角,（316）,为球坐标系方向上的速度分量。,球坐标系上的连续性方程：,第二节 运动方程,通过微分质量衡算，导出了连续性方程。同样，微分动量衡算可以导出流体的运动方程

10、。两者结合便可解决许多流体运动问题。这两方程是三传的基础方程。,1 运动方程的推导,流体运动所遵循的牛顿第二定律可表述为：流体的动量随时间的变化率等于作用在该流体上的诸外力的向量和。,（318）,采用Lagrange方法，对于质量衡定且以相同流速跟随流体运动的微元流体，方程（318）可写成：,（319）,方程（319）是向量方程，可以分别为x，y，z三个方向的分量加以描述，其中的质量M可用密度与体积的积表示为：,于是有：,（320）,分解为x，y，z三轴方向上的分量时，分别为：,（321a）,（321b）,（321c）,i表示惯性力,为作用在上述流体微元上的,合力在x，y，z方向上的分量。,合

11、外力的每一个分量都由两类力组成：,（1）质量力或体积力，指作用在整个流体微元上的外力，记为,（2）机械力或表面力，指作用在流体诸表面上的外力，记为,分别说明如下：,1 质量力,在传递过程中，仅限于考察处于重力场作用下的流体，所以对于一个流体微元来说，在x方向上的质量力分量 为：,（322）,X单位质量流体的质量力在x方向上的分量，因只考虑重力场的作用，所以X又指单位质量流体所承受的重力在x方向上的分量，可写成：,式中为x轴方向与重力方向之间的夹角。因x方向为水平方向，故X0，同理Z0，Yg,则有：,（323a）,（323b）,（323c）,2 表面力,该力来自该流体微元毗邻的外部流体，由静压力

12、和粘性力所提供，所以又称为机械力。对单位表面而言称为表面应力或机械应力。表面应力可分为法向和切向两部分，即法向应力和剪应力。表面应力记为。,图中标出一个流体微元yz平面上三个机械应力分量的作用情况，为法向应力分量，和 为切向应力分量，即剪应力分量,下标的含义为：,第一个下标x为应力分量的作用面与x轴相垂直，,第二个下标表示应力分量的作用力方向分别为x轴，y轴和z轴方向。,显然，两个下标均相同时，即表示法线应力。,法线应力：,拉伸方向为正，即向外为正；,压缩方向为负，即向内为负。,X方向上作用于流动的流体微元的机械应力分量图,考察一个流体微元在x方向上所受到的机械应力情况。此微元的6个表面都受到

13、与之,毗邻的、由外部流体而来的机械应力。每一个应力又都可分解为x，y，z方向上的分量。图中只示出了x方向上的应力分量。,当流体微元的体积缩小为一点时，可以想象，相对两表面上的法向应力与切向应力都相应地大小相等，方向相反。,因此，在流场中，任何一点流体所承受的机械应力状态，仅采用9个机械应力分量即可完全表达，3个法向应力和6个剪应力，每个方向两个应力分量。,可以证明上述6个剪应力可以使流体微元发生旋转。同时可以证明它们彼此不是独立的，而是相互关联的。,下面将导出其相互关系。,将图中的流体微元的xy平面上一个相应平面分离出来加以观察，则环绕该平面四周上所作用的4个剪应力表示如下图：,图中平面的形心

14、点为0，假设有一根平行于z轴的轴线穿过形心点时，显然，这4个剪应力对于该轴线会产生力矩，使得流体微元围绕轴线旋转起来。,力矩应等于流体质量、旋转半径平方以及角加速度三者之积。,应指出：只有剪应力才能对旋转轴产生力矩，而法向应力和重力的作用是通过上述形心的，故其不会产生力矩（即旋转半径为零所致）。,令：逆时针方向旋转力为正，反之为负，,则可写出如下力矩方程：,简化上式得：,（324）,当流体微元小到趋于零时，则旋转半径 0因此上式右侧趋于0，于是可得：,（325a）,同样的道理可得：,（325b）,（325c）,这就是说，前述9个机械应力中只有6个是独立的。,运动微分方程的推导：,任参照上述流体

15、微元的受力图，首先考察x方向上的净机械力分量,显然可用下式表示：,（326）,简化后：,（327）,再考察x方向上的总外力分量：它等于机械力分量与重力分量之和，即：,（328）,将式（321a）、（322）和（327）代入方程（328）得：,（329）,同理可得：,（330）,（331）,上式三式即为粘性流体的运动微分方程。,对运动微分方程的分析：,上述三个运动微分方程中，只有三个已知量X，Y，Z，而独立的未知变量达10,个之多，即：,因此要想得到其解析解是根本不可能的。只有通过适当的简化、假设才能在某些特殊情况下求解。下面将通过牛顿型流体应力与形变速率之间的关系导出奈维斯托克斯方程。,2 应

16、力与形变速率之间的关系,一 剪应力,对牛顿型流体，剪应力与剪切速率成正比，即对于一维流动，且速度梯度与y轴方向相同时有：,（332）,其中 为x方向上的形变速率，或称剪切速率。,如果将形变速率表示成平面夹角变化速率的形式将更为方便。,如图所示：,对于一维流动，设流体微元的xy平面原为矩形，由于剪切力的作用，此矩形必然发生形变，经d后，变成了虚线,所示的平行四边形，这一变化可作如下解释：,当粘性流体流动时，由于粘性的作用，会使平行于x轴的两相对平面产生相对运动，亦即在图示的情况下，在d的时间内，相对运动使上层流体较下层流体多走行了,一段距离：，与此相应，在xy平面上的原矩形平面的夹角也变化了d（

17、以弧度表示），d的正切可表示为：,（333）,为何取负号，是因为当上层多行走一段距离时，值减小了，故d 为负值。,由于d 很小，所以 故上式写成,（334）,代入牛顿粘性定律得：,（335）,为角形变速率，可理解为微分长度dy以原点为圆心旋转时的角速度。,利用该式分析三维流体流动时的情况：,粘性流体在流动过程中，必然产生体积形变，由原来的方形体变成菱形微元六面体。,分析一下xy平面上所承受的剪应力分量与形变速率之间的关系，,经微分时间d后，由 变成（其中 和 均为负值），同一维流动相似，可以写成：,故,（336）,由于牛顿型流体的剪应力与形变速率成正比，所以将上式代入式（3-35）后，便可写成

18、：,同理：,（337a）,（337b）,（337c）,二 法向应力,由静压力的作用产生部分,流体微元承受压缩应力,体积形变,由粘性应力的作用产生部分,微元在法线方向上承受拉伸或压缩,线性形变,1 如果流体微元静止，或虽流动，但无粘性应力的作用（即理想流体）,则流体中各处或一点处各方向上的流速不会发生变化，此时可以认为在数值上法向,应力的三个分量都等于压力，即：,“”表示法向应力方向与静压力方向反。,于是可知,（338）,（对于理想流体或静止的实际流体成立）,2 对于流动的粘性流体,流场中各处流速不同，所以 三者彼此间并不相等，且它们与p的关系也更复杂。,代表了三个法向应力的平均值，该平均值与静

19、压力p之间的关系仍然在数值上相等，即上式仍然成立。,尽管如此，对于气体和不可压缩流体而言，,对于流动着的粘性流体，但仍可写成：,（339）,式中 为x方向上的法向粘性应力分量。,通过变换可得出如下方程：,（340）,（341a）,（a）,（b）,（c）,同理可得：,（341b）,（a）,（b）,（d）,（341c）,（a）,（c）,（c）,这里共出现四项：,a为p,b为,d为,c为,通过分析分别求出这四项对x方向上的线性形变速率的影响，即,对 的影响如下：,（342a）,（342b）,（342c）,（342d）,则在x方向上，由法向应力分量 所引起的形变速率之和为，它等于,（343）,经代入整

20、理并求解 得：,（344a）,同理得：,（344b）,（344c）,上述三式可以看出：,法向应力与静压力虽有密切关联，但二者概念明显不同。只有当流体静止或为理想流体时，二者在数值上相同，但方向相反。,36 奈维斯托克斯方程,（NavierStokes Equation）,以前导出过以应力形式表示的运动微分方程，x方向的形式为：,（329）,上节分别导出了 的函数表达式，将（344a），（337a），和（337c）代入（329）的x方向上的完全运动微分方程，经整理后得：,（345a）,同理可得，y，z方向上的运动微分方程：,（345b）,（345c）,将上述三式写成向量的形式为：,（346）,方

21、程（345a）（345c）称为奈维斯托克斯方程,方程中共有五个未知数：,再加上连续性方程和流体状态方程，正好五个方程，五个未知数，从理论上是可以求解的，但实际的求解过程极其复杂，几乎不可能，所以只是针对一些特殊情况可以将解析式求出。,比如，针对不可压缩流体这种特殊情况：,连续性方程为：,代入上三式得不可压缩流体的奈维斯托克斯方程：,（347a）,（347b）,（347c）,通常所遇到的流体流动情况，大多数都可按不可压缩流体流动处理，所以方程（347）具有实用意义。,它们为描述牛顿型粘性流体运动时所共同遵循的基本规律。,37 柱坐标系和球坐标系中粘性流体的奈维斯托克斯方程,（NavierStok

22、es）,与连续性方程一样，柱坐标系和球坐标系内的奈维斯托克斯方程有时很便利：,柱坐标系：,球坐标系：,奈维斯托克斯方程的推导有两种途径：,（1）根据分子间力的作用，由奈维和泊松（NavierPoisson）1831年导出,（2）假定剪应力和法向应力与形变速度为线性关系，即上述所用的方法，由圣魏南,斯托克斯（SaintvenantStokes）1845年导出,由于上述假设带有一定的随意性，所以不能肯定该方程是否能描述流体的真实运动情况，必须通过实验验证。,又由于数学求解极端困难，所以至今仍得不到该方程的普遍解。,但就已知的某此特殊解来看，它们与实验结果非常符合，从而人们不再怀疑该方程在一般工程应

23、用的可靠性。,奈维斯托克斯方程代表某瞬间、某一位置流体的运动规律。从原则上讲，方程既适用于层流，又适用于湍流。,可事实上，只能将该方程直接用于层流，而无法直接用于湍流，因为湍流中有旋涡的产生和散逸，各种物理量呈现高频脉动，而无法弄清千变万化的旋涡及其速度变化情况。,关于如何将该方程用于湍流，将在湍流部分讲解。,38 用动力压力表示的奈维斯托克斯方程（NS方程）,当流体运动时，NS方程中的压力p可理解为流动的总压力，对不可压缩流体，总压力包括：静压力ps 和动压力Pd,静压力ps：流体静止时所呈现的压力,动压力pd：流体流动时所呈现的压力,于是：,可以导出静压力梯度：,所以,将该式代入不可压缩NS方程得：,同理可写出：,这就是用动压力表示的NS方程。,适用范围：用于解决不具有自由表面的流体流动问题，如封闭管道内的流动问题时较方便。,