等腰三角形-性质.ppt

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1、动手做一做,如图,把一张长方形的纸按图中虚线对折,按虚线剪下,再经展开,得到的ABC有什么特点?,12.3.1 等腰三角形,概念,定义：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形,底边,等腰三角形中:相等的两边都叫做腰.,另一边叫做底边.,两腰的夹角叫做顶角.,腰和底边的夹角叫做底角.,练习,1、等腰三角形一腰为3cm,底为4cm,则它的周长是；2、等腰三角形的一边长为3cm,另一边长为4cm,则它的周长是；3、等腰三角形的一边长为3cm,另一边长为8cm,则它的周长是。,10 cm,10 cm 或 11 cm,19 cm,等腰三角形是轴对称图形吗？,思考,是,A,C,B,D,ABAC,BDCD,AD

2、AD,B C.,BAD CAD,ADB ADC,等腰三角形除了两腰相等以外,你还能发现它的其他性质吗?,大胆猜想,猜想与论证,命题：等腰三角形的两个底角相等。命题：等腰三角形的顶角的平分线，底边上的中线，底边上的高互相重合,命题已知：ABC中，AB=AC,求证：B=C,分析：1.如何证明两个角相等？,2.如何构造两个全等的三角形？,则有12,D,1,2,在ABD和ACD中,证明:作顶角的平分线AD，,ABAC,12,ADAD,（公共边）,ABD ACD,（SAS）,BC,（全等三角形对应角相等）,方法一,则有 BDCD,D,在ABD和ACD中,证明:作ABC 的中线AD,ABAC,BDCD,A

3、DAD,（公共边）,ABD ACD,（SSS）,BC,（全等三角形对应角相等）,方法二,则有 ADBADC 90,D,在RtABD和RtACD中,证明:作ABC 的高线AD,ABAC,ADAD,（公共边）,RtABDRtACD,（HL）,BC,（全等三角形对应角相等）,方法三,等腰三角形的性质,性质1:等腰三角形的两底角相等.（等边对等角）在ABC中，AC=AB（）B=C（）,已知,等边对等角,分析：分3类1.已知有角平分线，证它也是底边中线和底边高线2.已知有底边上的中线，证它是顶角平分线和底边高线3.已知有底边上的高，证它是顶角平分线和底边中线,命题：等腰三角形的顶角的平分线，底边上的中线

4、，底边上的高互相重合,则有12,D,1,2,在ABD和ACD中,证明:作顶角的平分线AD，,ABAC,12,ADAD,（公共边）,ABD ACD,（SAS）,BC,（全等三角形对应角相等）,方法一,则有 BDCD,D,在ABD和ACD中,证明:作ABC 的中线AD,ABAC,BDCD,ADAD,（公共边）,ABD ACD,（SSS）,BC,（全等三角形对应角相等）,方法二,则有 ADBADC 90,D,在RtABD和RtACD中,证明:作ABC 的高线AD,ABAC,ADAD,（公共边）,RtABDRtACD,（HL）,BC,（全等三角形对应角相等）,方法三,等腰三角形的性质,性质:等腰三角形

5、的顶角的平分线，底边上的中线，底边上的高互相重合.（简称“三线合一”）,在ABC中，AB=AC,点 D在BC上1、AD BC=，_=。2、AD是中线，=。3、AD是角平分线，=。,1,1,2,BD,DC,AD,BC,1,2,AD,BC,BD,DC,等腰三角形是轴对称图形.对称轴是底边上的中线顶角平分线底边上的高所在直线,三线合一的数学符号,1.等腰三角形的顶角为36，那么它的两个底角的度数为_；2.等腰三角形一个底角为75,它的另外两个角为_；3.在ABC中,AB=AC,BAC=90,AD是BC边上的高,则BAD=_,BD=_=_。,75,30,练习,45,CD,AD,72,72,AB=AC,

6、ABC=C,BC=BD,C=1,BD=AD,A=2,1是ABC的外角,1=2+A,1=ABC=C,1=2A=22,ABC=C=2A,不妨设A=x,分析:,例1、如图，在ABC中，ABAC，点D在AC边上，且BC=BD=AD，求ABC各角的度数。,在ABD中，1=2+A=2x,在ABC中，：A+C+ABC=x+2x+2x=180.,BD=BC C=1=2x（等边对等角）.,解：设A=x,AD=BD 2=A=x（等边对等角）.,AB=AC ABC=C=2x（等边对等角）.,解得 x=36.,在ABC，A=36，ABC=C=72.,例1、如图，在ABC中，ABAC，点D在AC边上，且BC=BD=AD

7、，求ABC各角的度数。,变式练习,1.等腰三角形的一个角为36，那么它的另外两个的度数分别为_；2.如果等腰三角形的一个角是110，那么另外两个角的度数分别为_。,72,72 或 36,108,35,35,对比发现：在等腰三角形中，顶角可能是钝角或者锐角；而底角一是锐角。,例,如图，在ABC中,ABAD=DC,BAD=26,求B，C的度数,AB=AD,B=,AD=DC,B=77,ADB是ADC的外角,=2+C,1=2C=77,BAD=26,C=2,C=38.5,分析:,.轴对称图形,.两个底角相等，简称“等边对等角”,.顶角平分线、底边上的中线和底边上的高互相重合，简称“三线合一”,等腰三角形,小结,.辅助线,课后思考：,P,如图，在ABC中，过C作BAC的平分线AD的垂线，垂足为D，DE/AB交AC于E。求证：AE=CE,