空间向量及其加减运算(第一课时).ppt

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1、空间向量及其加减运算,用字母 等或者用有向线段的起点与终点字母 表示,定义：,既有大小又有方向的量叫向量,几何表示法：,用有向线段表示；,字母表示法：,相等的向量：,长度相等且方向相同的向量,复习,2.平面向量的加减法与数乘运算,（1）向量的加法：,平行四边形法则,三角形法则,复习,（2）向量的减法,三角形法则,3.平面向量的加法运算律,加法交换律：,加法结合律：,复习,平面向量,概念,加法减法运算,运算律,定义,表示法,相等向量,减法:三角形法则,加法:三角形法则或平行四边形法则,空间向量的加法、减法运算,空间向量,具有大小和方向的量,加法交换律,加法结合律,加法交换律,加法:三角形法则或平

2、行四边形法则,减法:三角形法则,加法结合律,成立吗？,O,A,B,C,空间向量的加减法,O,A,B,结论：空间任意两个向量都是共面向量，所以它们可用同一平面内的两条有向线段表示.因此凡是涉及空间任意两个向量的问题，平面向量中有关结论仍适用于它们.,平面向量,概念,加法减法运算,运算律,定义,表示法,相等向量,减法:三角形法则,加法:三角形法则或平行四边形法则,空间向量的加法、减法运算,空间向量,具有大小和方向的量,加法交换律,加法结合律,加法交换律,加法:三角形法则或平行四边形法则,减法:三角形法则,加法结合律,成立吗？,O,A,B,C,O,A,B,C,加法结合律,（1）加法交换律：,（2）加

3、法结合律：,a,b,c,a+b+c,a,b,c,a+b+c,a+b,b+c,空间向量的加法、减法运算,对空间向量的加法、减法的说明,空间向量的运算就是平面向量运算的推广,两个向量相加的平行四边形法则在空间 仍然成立,空间向量的加法运算可以推广至若干个 向量相加,说明,（1）首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的起点指向末尾向量的终点的向量即：,推广,（2）首尾相接的若干向量构成一个封闭图形，则它们的和为零向量即：,推广,A,B,C,D,平行六面体的六个面都是平行四边形，每个面的边叫做平行六面体的棱,平行四边形ABCD平移向量 a 到 的轨迹所形成的几何体，叫做平行六面体记作ABCD,平行六面

4、体,例,例题,解：,例题,A,B,M,C,G,D,空间四边形ABCD中,M、G分别是BC、CD边的中点,化简：,练习,A,B,M,C,G,D,(2)原式,练习参考答案,3.1.2 空间向量的数乘运算,共线向量与共面向量,平面向量,概念,加法减法数乘运算,运算律,定义,表示法,相等向量,减法:三角形法则,加法:三角形法则或平行四边形法则,空间向量,具有大小和方向的量,数乘:ka,k为正数,负数,零,加法交换律,加法结合律,数乘分配律,类比思想 数形结合思想,数乘:ka,k为正数,负数,零,O,B,结论：空间任意两个向量都可平移到同一个平面内，成为同一平面内的向量.,一、空间向量数乘运算,1.实数

5、 与空间向量 的乘积 仍然是一个向量.,当 时，,当 时，,与向量 方向相同；,与向量 方向相同；,是零向量.,当 时，,（1）方向：,（2）大小：,的长度是 的长度的 倍.,2.空间向量的数乘运算满足分配律及结合律,问题：平面向量中，,的充要条件是：存在唯一,的实数，使,能否推广到空间向量中呢？,零向量与任意向量共线.,作用：由此可判断空间中两直线平行或三点共线问题,共线向量定理:对空间任意两个向量，。存在实数,使,如图，l 为经过已知点A且平行已知非零向量 的直线，,对空间任意一点O,所以,即,若在l上取 则有,和都称为空间直线的向量表示式，空间任意直线由空间一点及直线的方向向量唯一决定.

6、由此可判断空间任意三点共线。.,l,A,B,P,O,若点P是直线l上任意一点，则,由 知存在唯一的t,满足,因为,所以,特别的，当t=时，,则有,A,B,P,O,进一步，,t,1-t,P点为A,B 的中点,练习1.对于空间任意一点O，下列命题正确的是：A.若，则P、A、B共线B.若，则P是AB的中点C.若，则P、A、B不共线D.若，则P、A、B共线,A、B、P三点共线,A,O,A,B,P,三、共面向量:,1.共面向量:平行于同一平面的向量,叫做共面向量.,注意：空间任意两个向量是共面的，但空间任意三个向量,既可能共面，也可能不共面,如果空间向量 与两不共线向量，共面，那么可将三个向量平移到同一

7、平面，则有,那么什么情况下三个向量共面呢？,反过来，对空间任意两个不共线的向量，如果，那么向量 与向量,有什么位置关系？,C,2.共面向量定理：如果两个向量，不共线，,则向量 与向量，共面的充要条件是,存在实数对x,y使,推论:空间一点P位于平面ABC内的充要条件是存在有序实数对x,y,使,C,对空间任一点O,有,填空：,1-x-y,x,y,C,式称为空间平面ABC的向量表示式，空间中任意平面由空 间一点及两个不共线的向量唯一确定.,作用：由此可判断空间任意四点共面,P与A,B,C共面,例1.已知A、B、C三点不共线，对于平面ABC外的任一点O，确定在下列各条件下，点P是否与A、B、C一定共面

8、？,例2.如图，已知平行四边形ABCD，过平面AC外一点O作射线OA、OB、OC、OD，在四条射线上分别取点E、F、G、H，并且使求证：四点E、F、G、H共面；平面EG/平面AC.,O,B,A,H,G,F,E,C,D,小结,共面,2.空间向量的数乘运算,2.空间向量的数乘运算,空间向量的数乘运算满足分配律及结合律,O,A,P,B,点P在直线L上,点P在直线L上,已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1，求满足下列各式的x的值.,在正方体AC1中,点E是面AC 的中心,若，求实数x,y.,共面向量:平行于同一平面的向量,叫做共面向量.,已知平行四边形ABCD，从平面AC外一点O引向量，求证：(1

9、)四点E、F、G、H共面；(2)平面EG平面AC.,A,B,M,C,G,D,空间四边形ABCD中,M、G分别是BC、CD边的中点,化简：,A,B,M,C,G,D,(2)原式,空间四边形ABCD中,M、G分别是BC、CD边的中点,化简：,在正方体ABCD-ABCD中,点E是面AC的中心,求下列各式中的x、y的值.,在正方体ABCD-ABCD中,点E是面AC的中心,求下列各式中的x、y的值.,在正方体ABCD-ABCD中,点E是面AC的中心,求下列各式中的x、y的值.,平面向量,概念,加法减法数乘运算,运算律,定义,表示法,相等向量,减法:三角形法则,加法:三角形法则或平行四边形法则,空间向量,具有大小和方向的量,数乘:ka,k为正数,负数,零,加法交换律,加法结合律,数乘分配律,8.小结,类比思想 数形结合思想,数乘:ka,k为正数,负数,零,