电路原理chapter8(正弦电路).ppt

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1、第8章 正弦电流电路的稳态分析,重点：,相位差,正弦量的相量表示,复阻抗复导纳,相量图,用相量法分析正弦稳态电路,正弦交流电路中的功率分析,8.1 正弦量的基本概念,一.正弦量：按正弦规律变化的量。,瞬时值表达式：,i(t)=Imsin(w t+y),波形：,周期T(period)和频率f(frequency):,频率f：每秒重复变化的次数。,周期T：重复变化一次所需的时间。,f=1/T,单位：Hz，赫(兹),单位：s，秒,(1)幅值(amplitude)(振幅、最大值)Im：反映正弦量变化幅度的大小。,(2)角频率(angular frequency)w：每秒变化的角度(弧度)，反映正弦量变

2、化快慢。,二、正弦量的三要素：,(3)初相位(initial phase angle)y：反映了正弦量的计时起点。,(w t+y)表示正弦量随时间变化的进程,称之为相位角。它的大小决定该时刻正弦量的值。当t=0时，相位角(w t+y)=y，故称y 为初相位角，简称初相位。它表示了正弦量的起点。,2,t,单位：rad/s，弧度/秒,i(t)=Imsin(w t+y),同一个正弦量，计时起点不同，初相位不同。,=0,=/2,=-/2,一般规定：|。,三、同频率正弦量的相位差(phase difference)。,设 u(t)=Umsin(w t+y u),i(t)=Imsin(w t+y i),则

3、 相位差 即相位角之差：j=(w t+y u)-(w t+y i)=y u-y i,j 0，u 领先(超前)I j 角，或i 落后(滞后)u j 角(u 比 i 先到达最大值)；,j 0，i 领先(超前)uj 角，或u 落后(滞后)i j 角(i 比 u 先到达最大值)。,恰好等于初相位之差,j=0，同相：,j=(180o)，反相：,规定：|y|(180)。,特殊相位关系：,=p/2：u 领先 i p/2,不说 u 落后 i 3p/2；i 落后 u p/2,不说 i 领先 u 3p/2。,同样可比较两个电压或两个电流的相位差。,8.2 周期性电流、电压的有效值,周期性电流、电压的瞬时值随时间而

4、变，为了衡量其大小工程上采用有效值来表示。,电流有效值定义为：,瞬时值的平方在一个周期内积分的平均值再取平方根。,物理意义：周期性电流 i 流过电阻 R，在一周期T 内吸收的电能，等于一直流电流I 流过R,在时间T 内吸收的电能，则称电流 I 为周期性电流 i 的有效值。,有效值也称均方根值(root-meen-square，简记为 rms。),1.周期电流、电压有效值(effective value)定义,W2=I 2RT,同样，可定义电压有效值：,2.正弦电流、电压的有效值,设 i(t)=Imsin(t+),同理，可得正弦电压有效值与最大值的关系：,若一交流电压有效值为U=220V，则其最

5、大值为Um311V；,U=380V，Um537V。,工程上说的正弦电压、电流一般指有效值，如设备铭牌额定值、电网的电压等级等。但绝缘水平、耐压值指的是最大值。因此，在考虑电器设备的耐压水平时应按最大值考虑。,测量中，电磁式交流电压、电流表读数均为有效值。,*注意 区分电压、电流的瞬时值、最大值、有效值的符号。,1.复数A表示形式：,A=a+jb,8.3 正弦量的相量表示,一、复数及运算,两种表示法的关系：,或,2.复数运算,则 A1A2=(a1a2)+j(b1b2),(1)加减运算直角坐标,若 A1=a1+jb1，A2=a2+jb2,加减法可用图解法。,(2)乘除运算极坐标,除法：模相除，角相

6、减。,例1.,乘法：模相乘，角相加。,则:,解:,例2.,(3)旋转因子：,复数 ejq=cosq+jsinq=1q,A ejq 相当于A逆时针旋转一个角度q，而模不变。故把 ejq 称为旋转因子。,解：上式,ejp/2=j,e-jp/2=-j,ejp=1 故+j,j,-1 都可以看成旋转因子。,几种不同值时的旋转因子：,两个正弦量,i1+i2 i3,无论是波形图逐点相加，或用三角函数做都很繁。,因同频的正弦量相加仍得到同频的正弦量，所以，只要确定初相位和有效值(或最大值)就行了。于是想到复数，复数向量也包含一个模和一个幅角，因此，我们可以把正弦量与复数对应起来，以复数计算来代替正弦量的计算，

7、使计算变得较简单。,角频率：有效值：初相位：,二、正弦量的相量表示,i1,i2,i3,1.正弦量的相量表示,造一个复函数,没有物理意义,若对A(t)取虚部：,是一个正弦量，有物理意义。,对于任意一个正弦时间函数都可以找到唯一的与其对应的复指数函数：,A(t)包含了三要素：I、w，复常数包含了I,。,A(t)还可以写成,加一个小圆点是用来和普通的复数相区别(强调它与正弦量的联系)，同时也改用“相量”，而不用“向量”，是因为它表示的不是一般意义的向量，而是表示一个正弦量。,称 为正弦量 i(t)对应的相量。,正弦量的相量表示:,相量的模表示正弦量的有效值相量的幅角表示正弦量的初相位,同样可以建立正

8、弦电压与相量的对应关系：,已知,例1.,试用相量表示i,u.,解：,相量图(相量和复数一样可以在平面上用向量表示)：,例2.,试写出电流的瞬时值表达式。,解：,我们用向量和一个正弦时间函数对应看看它的几何意义：,请看演示,ej t 为一模为1、幅角为 t 的相量。随t的增加，模不变，而幅角与t成正比，可视其为一旋转相量，当t从0T时，相量旋转一周回到初始位置，t 从02。,2.相量运算,(1)同频率正弦量相加减,故同频的正弦量相加减运算就变成对应的相量相加减运算。,这实际上是一种变换思想,可得其相量关系为：,例,同频正弦量的加、减运算可借助相量图进行。相量图在正弦稳态分析中有重要作用，尤其适用

9、于定性分析。,首尾相接,2.正弦量的微分，积分运算,微分运算:,积分运算:,相量微分:,相量积分:,3.相量法的应用,求解正弦电流电路的稳态解(微分方程的特解),例,一阶常系数线性微分方程,自由分量(齐次方程解)：Ae-R/L t,强制分量(特解)：Imsin(w t+y i),解:,用相量法求：,取相量,小结,相量法只适用于激励为同频正弦量的非时变线性电路。,相量法可以用来求强制分量是正弦量的任意常系数 线性微分方程的特解，即可用来分析正弦稳态电路。,8.4 电阻、电感和电容元件上电压和电流的相量关系,一.电阻,时域形式：,相量形式：,相量模型,有效值关系：UR=RI,相位关系u=i(u,i

10、同相),相量关系：,瞬时功率：,波形图及相量图：,瞬时功率以2交变。但始终大于零，表明电阻始终是吸收（消耗）功率。,二.电感,时域形式：,相量形式：,相量模型,相量关系：,1.相量关系：,感抗的物理意义：,(1)表示限制电流的能力；U=XL I=LI=2fLI,(2)感抗和频率成正比；,相量表达式:,XL=L=2fL，称为感抗，单位为(欧姆)BL=-1/L=-1/2fL，感纳，单位为 S(同电导),2.感抗和感纳:,功率：,波形图：,瞬时功率以2交变，有正有负，一周期内刚好互相抵消。,三、电容,时域形式：,相量形式：,相量模型,有效值关系：IC=w CU,相位关系：i=u+90(i 超前 u

11、90),相量关系：,令XC=-1/w C，称为容抗，单位为 W(欧姆)B C=w C，称为容纳，单位为 S,频率和容抗成反比,w 0，|XC|直流开路(隔直)w，|XC|0 高频短路(旁路作用),功率：,波形图：,容抗与容纳：,瞬时功率以2交变，有正有负，一周期内刚好互相抵消。,相量表达式:,8.5 复阻抗、复导纳及其等效变换,1.复阻抗与复导纳,正弦激励下,单位：,阻抗模,阻抗角,复导纳Y,对同一二端网络:,2.R、L、C 元件的阻抗和导纳,（1）R：,（2）L：,（3）C：,单位：S,3.RLC串联电路,用相量法分析R、L、C串联电路的阻抗。,由KVL：,其相量关系也成立,Z 复阻抗；R电

12、阻(阻抗的实部)；X电抗(阻抗的虚部)；|Z|复阻抗的模；阻抗角。,关系：,或,具体分析一下 R、L、C 串联电路：,Z=R+j(wL-1/wC)=|Z|j,wL 1/w C，X0，j 0，电路为感性，电压领先电流；,wL1/w C，X0，j 0，电路为容性，电压落后电流；,wL=1/w C，X=0，j=0，电路为电阻性，电压与电流同相。,画相量图：选电流为参考向量(wL 1/w C),三角形UR、UX、U 称为电压三角形，它和阻抗三角形相似。即,例.,已知：R=15,L=0.3mH,C=0.2F,求 i,uR,uL,uC.,解：,其相量模型为,则,UL=8.42U=5，分电压大于总电压。,相

13、量图,4.RLC并联电路,由KCL：,Y 复导纳；G电导(导纳的实部)；B电纳(导纳的虚部)；|Y|复导纳的模；导纳角。,关系：,或,Y=G+j(wC-1/wL)=|Y|j,w C 1/w L，B0，j 0，电路为容性，i领先u；,w C1/w L，B0，j 0，电路为感性，i落后u；,wC=1/w L，B=0，j=0，电路为电阻性，i与u同相。,画相量图：选电压为参考向量(wC 1/w L，0),RLC并联电路同样会出现分电流大于总电流的现象,5.复阻抗和复导纳的等效互换,一般情况 G1/R B1/X。若Z为感性，X0，则B0，即仍为感性。,同样，若由Y变为Z，则有：,8.6 基尔霍夫定律的

14、相量形式和电路的相量模型,1.基尔霍夫定律的相量形式,同频率的正弦量加减可以用对应的相量形式来进行计算。因此，在正弦电流电路中，KCL和KVL可用相应的相量形式表示：,上式表明：流入某一节点的所有正弦电流用相量表示时仍满足KCL；而任一回路所有支路正弦电压用相量表示时仍满足KVL。,2.电路的相量模型(phasor model),时域列写微分方程,相量形式代数方程,时域电路,相量模型,相量模型：电压、电流用相量；元件用复数阻抗或导纳。,3.相量图,1.同频率的正弦量才能表示在同一个向量图中,2.反时针旋转角速度,3.选定一个参考相量(设初相位为零。),例：上例中选 R为参考相量,用途：,利用比

15、例尺定量计算,定性分析,小结：,1.求正弦稳态解是求微分方程的特解，应用相量法将该问题转化为求解复数代数方程问题。,2.引入电路的相量模型，不必列写时域微分方程，而直接列写相量形式的代数方程。,3.引入阻抗以后，可将所有网络定理和方法都应用于交流，直流（f=0)是一个特例。,8.7 用相量法分析电路的正弦稳态响应,电阻电路与正弦电流电路相量法分析比较：,可见，二者依据的电路定律是相似的。只要作出正弦电流电路的相量模型，便可将电阻电路的分析方法推广应用于正弦稳态的相量分析中。,例1：已知 Z1=10+j6.28,Z2=20-j31.9,Z3=15+j15.7。,求 Zab。,同直流电路相似：,阻

16、抗串并联的计算,解：画出电路的相量模型,瞬时值表达式为：,解毕！,列写电路的回路电流方程和节点电压方程,例3.,解：,回路法:,节点法:,法一：电源变换,解：,例4.,法二：戴维南等效变换,例5.,用叠加定理计算电流,求开路电压：,求等效电阻：,解：,已知平衡电桥Z1=R1,Z2=R2,Z3=R3+jw L3。求：Zx=Rx+jwLx。,由平衡条件：Z1 Z3=Z2 Zx 得,R1(R3+jw L3)=R2(Rx+j wLx),Rx=R1R3/R2,Lx=L3 R1/R2,例6.,解：,已知：Z=10+j50W,Z1=400+j1000W。,例7.,解：,已知：U=115V,U1=55.4V,

17、U2=80V,R1=32W,f=50Hz 求：线圈的电阻R2和电感L2。,画相量图进行定性分析。,例8.,解：,用相量图分析,例9.,移相桥电路。当R2由0时，,解：,当R2=0，q=-180；当R2，q=0。,8.8 正弦电流电路中的功率,无源一端口网络吸收的功率(u,i 关联),1.瞬时功率(instantaneous power),第一种分解方法；,第二种分解方法。,第一种分解方法：,第二种分解方法：,p有时为正,有时为负；p0,电路吸收功率：p0，电路发出功率；,UIcos(1-cos2 t)为不可逆分量。,UIsin sin2 t为可逆分量。,瞬时功率实用意义不大，一般讨论所说的功率

18、指一个周期平均值。,2.平均功率(average power)P：,=u-i：功率因数角。对无源网络，为其等效阻抗的阻抗角。,cos：功率因数。,P 的单位：W（瓦）,一般地,有 0cosj1,X0,j 0,感性，滞后功率因数,X0,j 0,容性，超前功率因数,例：cosj=0.5(滞后)，则j=60o(电压领先电流60o)。,平均功率实际上是电阻消耗的功率，亦称为有功功率。表示电路实际消耗的功率，它不仅与电压电流有效值有关，而且与 cosj 有关，这是交流和直流的很大区别,主要由于电压、电流存在相位差。,4.视在功率(表观功率)S,反映电气设备的容量。,3.无功功率(reactive pow

19、er)Q,表示交换功率的最大值，单位：var(乏)。,Q0，表示网络吸收无功功率；Q0，表示网络发出无功功率。Q 的大小反映网络与外电路交换功率的大小。是由储能元件L、C的性质决定的,5.R、L、C元件的有功功率和无功功率,PR=UIcos=UIcos0=UI=I2R=U2/RQR=UIsin=UIsin0=0,对电阻，u,i 同相，故Q=0，即电阻只吸收(消耗)功率，不发出功率。,PL=UIcos=UIcos90=0QL=UIsin=UIsin90=UI,对电感，u领先 i 90,故PL=0，即电感不消耗功率。由于QL0，故电感吸收无功功率。,PC=UIcos=Uicos(-90)=0QC=

20、UIsin=UIsin(-90)=-UI,对电容，i领先 u 90,故PC=0，即电容不消耗功率。由于QC0，故电容发出无功功率。,6.电感、电容的无功补偿作用,当L发出功率时，C刚好吸收功率，则与外电路交换功率为pL+pC。因此，L、C的无功具有互相补偿的作用。,7.交流电路功率的测量,单相功率表原理：,电流线圈中通电流i1=i；电压线圈串一大电阻R(RL)后，加上电压u，则电压线圈中的电流近似为i2u/R2。,指针偏转角度(由M确定)与P成正比，由偏转角(校准后)即可测量平均功率P。,使用功率表应注意：,(1)同名端：在负载u,i关联方向下，电流i从电流线圈“*”号端流入，电压u正端接电压

21、线圈“*”号端，此时P表示负载吸收的功率。,(2)量程：P的量程=U的量程 I的量程cos(表的),测量时，P、U、I均不能超量程。,已知：电动机 PD=1000W，U=220V，f=50Hz，C=30F。求负载电路的功率因数。,例.,解：,例.,三表法测线圈参数。,已知f=50Hz，且测得U=50V，I=1A，P=3W。,解：,8.9 复功率,1.复功率,有功，无功，视在功率的关系：,有功功率:P=UIcosj 单位：W,无功功率:P=UIsinj 单位：var,视在功率:S=UI 单位：VA,功率三角形,阻抗三角形,电压三角形,电压、电流的有功分量和无功分量：,(以感性负载为例),根据定义

22、,(发出无功),电抗元件吸收无功，在平均意义上不做功。反映了电源和负载之间交换能量的速率。,无功的物理意义:,复功率守恒定理：在正弦稳态下，任一电路的所有支路吸收的复功率之和为零。即,此结论可用特勒根定理证明。,一般情况下：,已知如图，求各支路的复功率。,例.,解一：,解二：,2、功率因数提高,设备容量 S(额定)向负载送多少有功要由负载的阻抗角决定。,P=Scosj,cosj=1,P=S=75kW,cosj=0.7,P=0.7S=52.5kW,一般用户：异步电机 空载cosj=0.20.3 满载cosj=0.70.85,日光灯 cosj=0.450.6,(1)设备不能充分利用，电流到了额定值

23、，但功率容量还有；,(2)当输出相同的有功功率时，线路上电流大 I=P/(Ucosj)，线路压降损耗大。,功率因数低带来的问题：,解决办法：并联电容，提高功率因数(改进自身设备)。,分析:,补偿容量的确定：,综合考虑，提高到适当值为宜(0.9 左右)。,功率因数提高后，线路上电流减少，就可以带更多的负载，充分利用设备的能力。,再从功率这个角度来看:,并联C后，电源向负载输送的有功UIL cosj1=UI cosj2不变，但是电源向负载输送的无功UIsinj2UILsinj1减少了，减少的这部分无功就由电容“产生”来补偿，使感性负载吸收的无功不变，而功率因数得到改善。,已知：f=50Hz,U=3

24、80V,P=20kW,cosj1=0.6(滞后)。要使功率因数提高到0.9,求并联电容C。,例.,解：,补偿容量也可以用功率三角形确定：,单纯从提高cosj 看是可以，但是负载上电压改变了。在电网与电网连接上有用这种方法的，一般用户采用并联电容。,思考：能否用串联电容提高cosj?,8.10 最大功率传输,讨论正弦电流电路中负载获得最大功率Pmax的条件。,Zi=Ri+jXi，ZL=RL+jXL,(1)ZL=RL+jXL可任意改变,(a)先讨论XL改变时，P的极值,显然，当Xi+XL=0，即XL=-Xi时，P获得极值,(b)再讨论RL改变时，P的最大值,当RL=Ri时，P获得最大值,综合(a)

25、、(b)，可得负载上获得最大功率的条件是：,此结果可由P分别对XL、RL求偏导数得到。,(2)若ZL=RL+jXL只允许XL改变,此时获得最大功率的条件Xi+XL=0，即XL=-Xi。,(3)若ZL=RL+jXL=|ZL|，RL、XL均可改变，但XL/RL不变,(即|ZL|可变，不变),最大功率为,此时获得最大功率的条件|ZL|=|Zi|。,最大功率为,证明如下：,(3)的证明：,此时Pmax即如(3)中所示。,证毕！,本章小结：,1.正弦量三要素：Im,w,2.比较,频域(相量),3.相量法计算正弦稳态电路,相量形式KCL、KVL定律，欧姆定律,网络定理计算方法都适用,相量图,4.功率,U2,IS,US,us,is,t,u,i,i1,i2,O,