电磁场第五章时变电磁场.ppt

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1、第五章 时变电磁场 Electromagnetic field equations,5.1 法拉弟电磁感应定律和全电流定律5.2 麦克斯韦方程组5.3 电磁场的边界条件5.4 坡印廷定理和坡印廷矢量5.5 时谐电磁场,时变电磁场,在时变电磁场中，电场与磁场都是时间和空间的函数；变化的磁场会产生电场，变化的电场会产生磁场，电场与磁场相互依存，构成统一的电磁场。,英国科学家麦克斯韦提出位移电流假说，将静态场、恒定场、时变场的电磁基本特性用统一的电磁场基本方程组概括。电磁场基本方程组是研究宏观电磁现象的理论基础。,静电场和恒定电流的磁场各自独立存在，可以分开讨论。,5.1.1 法拉第电磁感应定律(F

2、aradays Law of Induction),静态场:场大小不随时间发生改变(静电场,恒定电、磁场),时变场:场的大小随时间发生改变。,特性：电场和磁场相互激励，从而形成不可分隔的统一的整体，称为电磁场。,特性：电场和磁场相互独立，互不影响。,一、电磁感应现象与楞次定律,电磁感应现象实验表明：当穿过导体回路的磁通量发生变化时，回路中会出现感应电流。,楞次定律：回路总是企图以感应电流产生的穿过回路自身的磁通，去反抗引起感应电流的磁通量的改变。,5.1 Time-varying Electromagnetic Fields,法拉第电磁感应定律和全电流定律,法拉第电磁感应定律：当穿过导体回路的

3、磁通量发生改变时，回路中产生的感应电动势与回路磁通量的时间变化率成正比关系。数学表示：,说明：“-”号表示回路中产生的感应电动势的作用总是要阻止回路磁通量的改变。,二、法拉第电磁感应定律,当回路以速度v运动时，,斯托克斯定理,法拉第电磁感应定律微分形式,物理意义：1、某点磁感应强度的时间变化率的负值等于该点时变电场强度的旋度。2、感应电场是有旋场，其旋涡源为，即磁场随时间变化的地方一定会激发起电场，并形成旋涡状的电场分布。,说明：感应电动势由两部分组成，第一部分是磁场随时间变化在回路中“感生”的电动势;第二部分是导体回路以速度v对磁场作相对运动所引起的“动生”电动势,当回路静止时，,变化的磁场

4、能产生电场,电流连续性方程,时间内，V内流出S的电荷量为,电荷守恒定律：时间内，V内电荷改变量为,由电流强度定义：,电流连续性方程的微分形式,电流连续性方程积分形式,5.2.2 位移电流和全电流定律,在时变情况下,另一方面，由,得到了两个相互矛盾的结果。,位移电流,是电位移矢量对时间的变化率，具有电流密度的量纲，称为位移电流密度,:,全电流定律,由,积分形式：,物理意义：该定律包含了随时间变化的电场能够产生磁场这样一个重要概念，也是电磁场的基本方程之一。磁场强度沿任意闭合路径的线积分等于该路径所包曲面上的全电流。,推广的安培环路定理,全电流定律,全电流,变化的电场能产生磁场,对任意封闭面S有,

5、全电流连续性原理,物理意义：穿过任一封闭面的各类电流之和恒为零。这就是全电流连续性原理。将它应用于只有传导电流的回路中,得知节点处传导电流的代数和为零(流出的电流取正号,流入取负号)。这就是基尔霍夫(G.R.Kirchhoff,德)电流定律:I=0。,例：在z=0和z=d位置有两个无限大理想导体板，在极板间存在时变电磁场，其电场强度为,求：(1)该时变场相伴的磁场强度；,例题,解：(1)由法拉第电磁感应定律微分形式,设平板电容器两端加有时变电压U,试推导通过电容器的电流I与U的关系。,图 平板电容器,例 5.2,解：,设平板尺寸远大于其间距,则板间电场可视为均匀,即E=U/d,从而得,式中C=

6、A/d为平板电容器的电容。,5.3.1 麦克斯韦方程组的微分形式与积分形式,5.3 麦克斯韦方程组,Maxwells Equations,（推广的安培环路定律）,（法拉第电磁感应定律）,（磁通连续性定律）,（高斯定律）,一、麦克斯韦方程组的微分形式,时变电磁场的源：1、真实源（变化的电流和电荷）；2、变化的电场和变化的磁场。,时变电场的方向与时变磁场的方向处处相互垂直。,物理意义：,时变电场是有旋有散的，时变磁场是有旋无散的。但是，时变电磁场中的电场与磁场是不可分割的，因此，时变电磁场是有旋有散场。,在电荷及电流均不存在的无源区中，时变电磁场是有旋无散的。,电场线与磁场线相互交链，自行闭合，从

7、而在空间形成电磁波。,麦克斯韦方程组的地位：揭示了电磁场场量与源之间的基本关系，揭示了时变电磁场的基本性质，是电磁场理论的基础。,二、麦克斯韦方程组的积分形式,麦克斯韦方程组是描述宏观电磁现象的普遍规律，静电场和恒定磁场的基本方程都是麦克斯韦方程组的特殊情况。,电流连续性方程也可以由麦克斯韦方程组导出。在麦克斯韦方程组中，没有限定场矢量D、E、H、B之间的关系，它们适用于任何媒质，通常称为麦克斯韦方程组的非限定形式,本构关系,将本构关系代入麦克斯韦方程组，则得,麦克斯韦方程组限定形式与媒质特性相关。,三、麦克斯韦方程组的限定形式,麦克斯韦方程组限定形式,Constitutive equatio

8、ns,若媒质参数与位置无关,称为均匀(homogeneous)媒质;若媒质参数与场强大小无关,称为线性(linear)媒质;若媒质参数与场强方向无关,称为各向同性(isotropic)媒质;若媒质参数与场强频率无关,称为非色散媒质;反之称为色散(dispersive)媒质。,四、媒质的分类,在无源区域中充满均匀、线性、各向同性的无耗媒质空间中,由麦克斯韦方程组,=0,J=0,无源区电场波动方程,同理，可以推得无源区磁场波动方程为：,5.3.2 无源区的波动方程,wave equations for source-free medium,时变电磁场的电场场量和磁场场量在空间中是以波动形式变化的，

9、因此称时变电磁场为电磁波。,建立波动方程的意义：通过解波动方程，可以求出空间中电场场量和磁场场量的分布情况。但需要注意的是：只有少数特殊情况可以通过直接求解波动方程求解。,一、定义,令：，,故：,5.3.3 动态矢量位和标量位,dynamic Vector potential scalar potential,时变场电场场量和磁场场量均为时间和空间位置的函数，因此动态矢量位和动态标量位也为时间和空间位置的函数。,由于时变场电场和磁场为统一整体，因此动态标量位和动态矢量位也是一个统一的整体。,为了使时变电磁场场量和动态位之间满足一一对应关系，须引入额外的限定条件规范条件。,洛伦兹规范条件,二、洛

10、伦兹规范条件,三、动态位满足的方程,引入洛伦兹规范条件，则方程简化为,从达朗贝尔方程可以看出：,试用麦克斯韦方程组导出图2-6所示的RLC串联电路的电压方程(电路全长远小于波长)。,图 2-6 RLC串联电路,例5.3,解:沿导线回路l作电场E的闭合路径积分,根据麦氏方程式(a)有,上式左端就是沿回路的电压降,而是回路所包围的磁通。将回路电压分段表示,得,设电阻段导体长为l1,截面积为A,电导率为,其中电场为J/,故,电感L定义为m/I,m是通过电感线圈的全磁通,得,通过电容C的电流已由例2.2得出:,设外加电场为Ee,则有,因为回路中的杂散磁通可略,d/dt0,从而得,这就是大家所熟知的基尔

11、霍夫电压定律。对于场源随时间作简谐变化的情形,设角频率为,上式可化为,5.4 证明导电媒质内部v=0。;解 利用电流连续性方程,并考虑到J=E,有,其解为,例,导体内的电荷极快地衰减,使得其中的v可看作零。,铜=5.8107S/m=0=1.510-19s,v随时间按指数减小,驰豫时间:衰减至v0的1/e即36.8%的时间,=/(s),一、一般媒质分界面上的边界条件(),2-4 电磁场的边界条件,在不同媒质的分界面上，媒质的电磁参数、发生突变，因而分界面处的场矢量E、H、D、B也会突变，麦克斯韦方程组的微分形式失去意义。此时，有限空间中场量之间的关系是由积分形式的麦克斯韦方程组制约的，边界条件就

12、由它导出。,1、的边界条件,The boundary conditions for time-varying fields,为表面传导电流密度。,式中：为由媒质21的法向。,特殊地，若介质分界面上不存在传导电流，则,结论：当分界面上存在传导面电流时，切向不连续，其不连续量等于分界面上面电流密度。,当且仅当分界面上不存在传导面电流时，切向连续。,2、的边界条件,结论：只要磁感应强度的时间变化率是有限的，切向连续。,3、的边界条件,结论：在边界面上，法向连续。,4、的边界条件,为分界面上自由电荷面密度。,特殊地：若媒质为理想介质，则,此时有,当分界面上存在自由电荷时，切向不连续，其不连续量等于分界

13、面上面电荷密度。,当且仅当分界面上不存在自由电荷时，切向连续。,5、J的边界条件,在理想介质分界面上，不存在自由电荷和传导电流。,二、理想介质分界面上的边界条件,在理想介质分界面上，矢量切向连续 在理想介质分界面上，矢量法向连续,Boundary conditions Between two Perfect dielectrics,在理想导体内部，在导体分界面上，一般存在自由电荷和传导电流。,式中：为导体外法向。,三、理想导体分界面上的边界条件,对于时变场中的理想导体，电场总是与理想导体相垂直，磁场总是与理想导体相切。,Boundary conditions Between Perfect c

14、onductors and perfect dielectric,时变场的边界条件包括四个关系式。可以证明它们并不是相互独立的，当满足两个切向分量的边界条件的，必定满足两个法向分量的边界条件。,说明：,在理想介质的分界面上，用于定解的边界条件为，分析电磁波在理想介质分界面上的反射和透射时就要使用这个边界条件。,理想介质和理想导体只是理论上存在。在实际应用中，某些媒质导电率极小或者极大，则可视作理想介质或理想导体进行处理。,在理想介质与理想导体的分界面上，用于定解的边界条件为 或。分析电磁波在理想导体表面上的反射时就要使用这个边界条件。,例 5.6 设平板电容器二极板间的电场强度为3 V/m,板

15、间媒质是云母,r=7.4,求二导体极板上的面电荷密度。解 参看图5-9(b),把极板看作理想导体,在A,B板表面分别有,例：在z=0和z=d位置有两个无限大理想导体板，在极板间存在时变电磁场，其电场强度为,求：,导体板上的电流分布。,例题,由边界条件,在下极板上：,解：,在上极板上：,时变场中，电场和磁场相互激励，能量不断转换，在这个过程中，电磁能量从一个地方传递到另外的地方。,一、坡印廷定理,坡印廷定理描述了空间中电磁能量守恒关系。,5-5 坡印廷定理和坡印廷矢量,Poyntings theorem the Poyntings vector,The energy and flow of en

16、ergy in the time-varying fields,利用矢量函数求导公式，,在线性、均匀、各向同性的媒质中，有,说明：单位时间单位体积内流出的电磁能量；,单位时间单位体积内电场能量减少量；,单位时间单位体积内磁场能量减少量；,单位体积内转化为焦耳热能的电磁功率；,将坡印廷定理微分形式在一定体积内进行积分，得,说明：表流出闭合面S的电磁功率；,单位时间内体积V内电场能量增加量；,坡印廷定理物理意义：单位时间内，体积V中减少的电磁能量等于流出体积V的电磁能量与体积V内损耗的电场能量之和。,单位时间内体积V内磁场能量增加量；,单位时间内体积V内损耗的电场能量,定义：坡印廷矢量（用符号 表

17、示）,注：坡印廷矢量也称能流密度矢量。,二、坡印廷矢量,坡印廷矢量的大小表示单位时间内通过垂直于能量传输方向的单位面积的电磁能量。坡印廷矢量的方向即为电磁能量传播方向。,2、对某些时变场，呈周期性变化。则将瞬时形式坡印廷矢量在一个周期内取平均，得平均坡印廷矢量（平均能流密度矢量），即,注：与时间t无关。,图 2-10 坡印廷矢量,一段长直导线l,半径为a,电导率为。设沿线通过直流I,试求其表面处的坡印廷矢量,并证明坡印廷定理。,图 2-12 直流导线段,例,故表面处坡印廷矢量为,它的方向垂直于导体表面,指向导体里面。为证明坡印廷定理,需将S沿圆柱表面积分:,解：,导体内的热损耗功率为,电路理论

18、中的焦耳定理.其微分形式为,此式代表场点处各单位体积的热损耗功率。,解：(1),(2),(3),惟一性定理 The uniqueness theorem,唯一性定理是电磁场的基本定理之一，指出在什么时间、空间范围，什么初始、边界条件下，麦克斯韦方程组的解是唯一的。,在一有限区域V内，如果同时给定场源、任一点处E和H在t=t0时刻的初始初始值，以及tt0时边界上电场和磁场的切向分量，则在tt0时，区域V中的解就被唯一确定了。,同时满足场方程、初始条件和边界条件的解是唯一的。,对于周期性的源，初始条件将被场量的周期性取代，只需边界条件就可保证解的唯一性。,5.5 时谐电磁场,一、时谐量的复数表示,

19、电磁场随时间作正弦变化时，电场强度的三个分量可用余弦函数表示,用复数的实部表示,式中,称为时谐电场的分量复数振幅,式中,称为时谐电场的矢量复数振幅,故,时谐场对时间的导数,二、复数形式的麦氏方程,由麦氏第一方程,设为时谐场,将对空间坐标的微分运算和取实部运算顺序交换,约定不写出时间因子，去掉场量的下标和点，即得麦氏方程的复数形式,同理其他三个麦氏方程,三、复数形式的波动方程亥姆霍兹方程,波动方程,得,同理,亥姆霍兹方程,式中,用复数形式研究时谐场称为频域问题。,复数公式与瞬时值公式有明显的区别，复数表示不再加点。,1.复数式只是数学表达式，不代表真实的场，没有明确物理意义,2.实数形式代表真实

20、场，具有明确物理意义；,3.在某些应用条件下，如能量密度、能流密度等含有场量的平方关系的物理量,采用复数形式可以使大多数正弦电磁场问题得以简化；,（称为二次式），只能用场量的瞬时形式表示。,说明:,四.复电容率和复磁导率,复电容率（欧姆损耗）,若媒质还存在极化损耗,两者同时存在：,2.损耗角,1.,表征电介质的损耗特性,3.磁化损耗,导电媒质：,弱导电媒质（良绝缘体）,良导体,五.时谐场的位函数,复数形式：,洛仑兹条件：,达朗贝尔方程：,六.平均坡印廷矢量,由前一章定义的坡印廷矢量,坡印廷矢量的瞬时值,对正弦电磁场，需讨论该量在一个周期内的平均值平均坡印廷矢量,正弦变化矢量,式中 为相应的复矢

21、量,虚部,实部,于是,故,其平均值,平均坡印廷矢量,与时间无关。,P107 例5.5,理解法拉第电磁感应定律及其推广理解位移电流的概念及全电流定律掌握麦克斯韦方程组及其物理意义，熟悉边界条件理解坡印亭定理，会计算坡印亭矢量掌握场量的相量表示法了解波动方程的推导过程,本章内容小结,法拉第电磁感应定律,回路中产生的感应电动势与回路磁通量的时间变化率成正比关系,微分形式,位移电流,全电流定律,麦克斯韦方程组,微分形式,积分形式,本构关系,限定形式的麦克斯韦方程,时变电磁场的边界条件,矢量形式,标量形式,理想介质分界面上的边界条件,理想导体分界面上的边界条件,动态矢量位和标量位,动态位的引出,洛伦兹规范,动态位满足的微分方程,坡印廷定理和坡印廷矢量,坡印廷矢量,瞬时形式,平均形式,波动方程,