理论力学经典课件-第六章质点系动能定理.ppt

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1、动量定理和动量矩定理完整描述外力系对质点系效应.但不反映内力效应。,第六章 质点系动能定理,动能定理揭示了质点系动能的改变量与作用力(内、外力)的功之间的关系。,6-1-1 力的功,6-1 功与动能,6-1 功与动能,6-1-2 质点系的动能,时，功为零。,功是标量，有正负。,力的作用点不变时,1)元功,则有,2)功,物理中力对质点元功,1.功的一般概念,6-1-1 力的功,6-1 功与动能,图示绕线轮沿斜面下滑S距离，计算所受外力的功。,6-1-1 力的功,6-1 功与动能,一对内力,两点距离变化时，内力功不为零，且引力变化时，距离减小。内力功为正，反之为负。,变形体中内力功不为零，刚体中内

2、力功为零。,可见:,2.内力的功,6-1-1 力的功,6-1 功与动能,1)弹力的功,初、末状态两质点之距离,2)万有引力的功,可见 时，内力作正功，释放能量。反之，功为负。,初、末绝对伸长量,6-1-1 力的功,6-1 功与动能,发动机内力作正功，汽车加速行驶；机器中内摩擦作负功；人骑自行车,内力作功；弹性体中,外力使弹性体变形，内力作负功。,内力功实例:,6-1-1 力的功,6-1 功与动能,3.力对刚体的功,可得:,合力FR 在刚体平移中做功，合力偶在刚体绕C转动中做功。,力向质心简化:,6-1-1 力的功,6-1 功与动能,2.重物由平衡位置下移，求弹簧力的功。,6-1-1 力的功,6

3、-1 功与动能,3.均质轮滚动S后静止，求摩擦阻力的功。,6-1-1 力的功,6-1 功与动能,6-1-2 质点系的动能,1.质点系动能一般概念,1)正的标量,柯尼西定理,6-1 功与动能,只能随质心平移分解，其它基点不成立。,故,求坦克履带动能。已知。,6-1-2 质点系的动能,6-1 功与动能,由柯氏定理:,6-1-2 质点系的动能,6-1 功与动能,1)平移,2)定轴转动,3)平面运动,2.刚体的动能(由柯氏定理),6-1-2 质点系的动能,6-1 功与动能,1.均质轮滚动，已知，求。,6-1-2 质点系的动能,6-1 功与动能,应考虑 是否变化!,6-1-2 质点系的动能,6-1 功与

4、动能,6-2 质点系动能定理,(包括内、外力功),6-2-1 动能定理的三种形式,第六章 质点系动能定理,6-2-2 动能定理的应用,1.微分式,2.积分式,对于理想约束，约束力功为零（如光滑铰，光滑面）,外主动功,内 功,约束功,6-2-1 动能定理的三种形式,6-2 质点系动能定理,3.守恒式,故,即,势力场中，主动力有势,6-2 质点系动能定理,6-2-1 动能定理的三种形式,1.动能定理与动量矩定理数学上独立吗？,一般不独立，例如均质轮纯滚，,故,动量矩定理,即,6-2 质点系动能定理,6-2-1 动能定理的三种形式,2.子弹射入后 求T与W。,射入后瞬时，设,系统质心在中点C，,在质

5、心系中考察A，B运动:,A，B分别以2k弹簧，在各自初始条件下，作简谐振动。,6-2 质点系动能定理,6-2-1 动能定理的三种形式,弹簧内力作负功,弹簧内力作功为:,由柯尼西定理:,6-2 质点系动能定理,6-2-1 动能定理的三种形式,对！弹簧静力与重力在转动时仍平衡，其功之和为零，可同时不考虑。又如图(b),6-2 质点系动能定理,6-2-1 动能定理的三种形式,已知力求加速度，由,对t求导数。,6-2-2 动能定理的应用,1.特点,(3)常结合动量定理，动量矩定理某些分量方程求解。,(2)对一个自由度理想约束系统，整体研究，方程中不出现约束力。,已知力求速度，由,已知运动求力，由,(1

6、)与位形变化有关(突出空间过程),(4)计入内力功，可广泛用于变形体静，动力问题。,6-2 质点系动能定理,1.绞接机构已知 均质轮由图(a)位置开始滚动.求A,B,C水平时，。,图(b)示瞬时，C为BC杆瞬心,由,而,6-2 质点系动能定理,6-2-2 动能定理的应用,代入式(a)得,1)如何求任意 位置时，？,6-2 质点系动能定理,6-2-2 动能定理的应用,题型:,已知各构件质量为m，OA=l在力偶M作用下，n转后，求。,类似:,若已知 常数，判断轮受摩擦力方向?,已知力求运动,再考虑:,功,6-2 质点系动能定理,6-2-2 动能定理的应用,在任意位置 时，轮与杆的速度瞬心分别为 和

7、，且有,(a),6-2 质点系动能定理,6-2-2 动能定理的应用,(b),由，有，将式(b)代入，有,再将式(a)代入上式，并经整理得,(c),6-2 质点系动能定理,6-2-2 动能定理的应用,将，代入式(c)得,若 时，则,(2)本题若将动能定理积分形式或机械能守恒式两边对时间t求导，可获同样结果。,(1)若取AB与水平方向的夹角 为变量时，与 正方向相同，而与实际 方向相反。,6-2 质点系动能定理,6-2-2 动能定理的应用,2.为何值时，杆端B离开墙面?离墙后运动如何？,1.如何求运动中杆端B的约束力？,6-2-2 动能定理的应用,6-2 质点系动能定理,3.已知滑块A，均质轮B，

8、质量均为，均质杆长,质量为m，三者铰接，f=0,由 静止释放，求 时,研究整体，因,研究轮B，轮B平移,6-2 质点系动能定理,6-2-2 动能定理的应用,时,速度如图,6-2 质点系动能定理,6-2-2 动能定理的应用,1.如何求 时，,由,2.如何求任意位置时 与 及铰B处约束力？,3.若将轮与杆固结，情形有何不同？,4.若改变初始位置，情形如何？,6-2 质点系动能定理,6-2-2 动能定理的应用,碰撞与冲击的实例,6-3 碰 撞,第六章 质点系动能定理,飞行员座椅弹射装置,第六章 质点系动能定理,6-3 碰 撞,汽车碰撞实物试验,第六章 质点系动能定理,6-3 碰 撞,汽车碰撞虚拟试验

9、,研究的问题:,车体间的碰撞、人体与车体的碰撞、人体内脏的碰撞。,第六章 质点系动能定理,6-3 碰 撞,6-3-1 碰撞过程特点与简化,2.简化:,时间短、速度突变、受力大且复杂。,不计非碰力；,不计碰撞过程位移。,(绕过复杂受力过程并简化),1.特点:,6-3 碰 撞,1.A、B相碰后，C怎样运动？,B向前运动，靠B、C间摩擦力，使C加速。,碰后瞬时。,2.子弹水平射入物A，子弹与物A沿斜面方向动量守恒吗？,物A受斜面法向冲量，同时受斜面方向摩擦力冲量，故不守恒。,若水平面光滑，则整体 守恒；,若水平面不光滑，出现摩擦力冲量，不守恒。,6-3-1 碰撞过程特点与简化,6-3 碰 撞,6-3

10、-2 材料对碰撞的影响恢复系数,6-3 碰 撞,(1)挤压变形,(2)弹性恢复,1.两个阶段,2.恢复系数,(1)正碰:,v沿法向，定义:,6-3 碰 撞,6-3-2 材料对碰撞的影响恢复系数,e=0 完全非弹性 或 塑性,e=1 完全弹性,一般 0e1,为材料常数。,(2)斜碰:(不计摩擦),6-3-2 材料对碰撞的影响恢复系数,6-3 碰 撞,(3)一般情形,6-3 碰 撞,6-3-2 材料对碰撞的影响恢复系数,1.，小车突然以 运动，求碰后小球相对车的速度。,相对速度仍为。,(a),(c),(b),6-3 碰 撞,6-3-2 材料对碰撞的影响恢复系数,6-3-3 碰撞过程的动能损耗,1.

11、正碰过程的动能损耗,已知，求。,有,设碰后速度为,而,6-3 碰 撞,2.锻压与打桩的能量损失,故“重锤打桩，大砧打铁”。,要大 大铁砧，,1)锻压:,2)打桩:,6-3-3 碰撞过程的动能损耗,6-3 碰 撞,研究A,B杆，碰撞前后速度如图。,有,6-3-3 碰撞过程的动能损耗,6-3 碰 撞,有,又,故,6-3-3 碰撞过程的动能损耗,6-3 碰 撞,由式(a),(b),(c)得,1.本题是否有更简捷的求解途径?,2.若考虑水平面摩擦，情况怎样?,6-3-3 碰撞过程的动能损耗,6-3 碰 撞,6-3-4 碰撞对定轴转动刚体作用,由冲量定理:,设冲击后速度如图。,1.图为对称面 已知 为质

12、心，起始静止，,如何消除或减少受冲击时轴承的约束冲量?,撞击中心,6-3 碰 撞,由冲量矩定理:,解之得:,6-3 碰 撞,用锄头，挥大锤，击棒球，若碰点与撞击中心接近，手感轻松。,6-3-4 碰撞对定轴转动刚体作用,1.何时不可避免约束冲量？,6-3 碰 撞,6-3-4 碰撞对定轴转动刚体作用,2.求图示刚体撞击中心。,6-3 碰 撞,6-3-4 碰撞对定轴转动刚体作用,6-3-5 碰撞系统的动能定理,碰撞过程，不计位移。只有碰撞力的功为有限值。(非碰撞力功无限小)。有,6-3 碰 撞,这里 既含有外碰撞冲量，也含约束碰撞冲量。,故,对于理想约束刚体系统，只含速度实变方向外冲量的功。,设冲击

13、后速度如图，由碰撞系统动能定理有,2.已知匀质轮m，r，均质杆m，AB=2r，铰接不计滑块B质量和摩擦，D处受水平冲量I，求,得,6-3 碰 撞,6-3-5 碰撞系统的动能定理,1.试用冲量定理和冲量矩定理求解，并比较两种方法特点。,2.如何求铰O及滑块B所受约束力冲量?,3.若改变AB杆倾角为30，并设滑块B质量亦为m，如何求解?,6-3 碰 撞,6-3-5 碰撞系统的动能定理,动力学普遍定理,三者都可由对质点的牛顿定理推导出来，因而这些定理的数学方程具有某种等价性。,6-4 动力学普遍定理的综合应用,动量定理,动能定理,动量矩定理,动力学问题的题型,碰撞,非碰撞,选用冲量定理和冲量矩定理求

14、解。,第六章 质点系动能定理,又碰撞,稳态问题,初瞬时问题,非稳态问题,单自由度系统的运动问题,(突然解除约束力问题)可直接用动量矩定理求解。,加速度不变，可直接用动量方法求解。,加速度变化，宜先用动能定理求出速度和加速度，再用动量方法求解。,宜先用动能定理整体分析，求出速度和加速度，再用动量方法求力。,第六章 质点系动能定理,6-4 动力学普遍定理的综合应用,求解中还要注意应用动量，动量矩与机械能的守恒条件以及运动学的补充关系。,6-4 动力学普遍定理的综合应用,第六章 质点系动能定理,图示均质杆长2l,重G，细绳长l，f=0，不计摩擦杆由静止滑到虚线位置时，求vB及A,B处反力。,1.非稳

15、态问题。,虚线位置时，AB瞬时平动。,(C为质心),第六章 质点系动能定理,6-4 动力学普遍定理的综合应用,AB杆 加速度如图(a),(a),其中,(a)式向y方向投影,得,而,第六章 质点系动能定理,6-4 动力学普遍定理的综合应用,如图(b),(b)式向y方向投影，得,第六章 质点系动能定理,6-4 动力学普遍定理的综合应用,AB杆受力如图(c)，有,将ac,代入上式，可得,若将OA绳改为两端铰接的均质杆，情形怎样?,若将AB杆运动至虚线位置时突然绳断，试求此时B端反力，以及此后AB杆的运动规律与A端落地时的速度。,第六章 质点系动能定理,6-4 动力学普遍定理的综合应用,如图(a)所示

16、，斜面倾角为，在水平力F=2mg作用下，沿水平面向右移动，并带动半径为R的均质轮O在斜面上纯滚动，铅直杆AO与轮心O铰接，不计摩擦，设三构件质量均为m,试求斜面加速度及铰O处反力。,2.单自由度稳态问题。,第六章 质点系动能定理,6-4 动力学普遍定理的综合应用,设系统由静止开始，斜面向右移动S距离时速度如图(b)，,由 T-T0=W，且T0=0，有,(1),(2),6-4 动力学普遍定理的综合应用,可得,(3),(4),第六章 质点系动能定理,6-4 动力学普遍定理的综合应用,分别研究轮与斜面系统及杆AO，受力如图(c)，对前者，由质心运动定理有,(5),对后者有,(6),第六章 质点系动能

17、定理,6-4 动力学普遍定理的综合应用,如图(a)所示，滑块A与半径为r均质轮用长为l的均质杆相铰联，滑块可在水平槽中滑动，在重力作用下，轮O由图示不稳定的平衡位置静止开始运动，设三构件质量均为m,不计摩擦，试求任意 倾角位置时，杆端A所受的力。,3.多自由度非稳态问题。,第六章 质点系动能定理,6-4 动力学普遍定理的综合应用,(1),系统质心恒在OA杆中点C,由水平动量恒为O，C点速度vC沿铅垂方向，各速度如图(b)，OA杆速度瞬心为Cv，则,第六章 质点系动能定理,6-4 动力学普遍定理的综合应用,(2),第六章 质点系动能定理,6-4 动力学普遍定理的综合应用,研究整体，加速度与受力如

18、图(c)，由质心运动定理，有,(3),(4),由对质心的动量矩定理，并考虑到轮O平动，有,(5),第六章 质点系动能定理,6-4 动力学普遍定理的综合应用,再研究物块A，受力如图(d)；FA为杆端对物A的反作用力，由牛顿定律，有,将(4)，(2)，(5)，(6)式代入，即得所求。,(7),将(4)，(5)式代入(3)式，得,(6),第六章 质点系动能定理,6-4 动力学普遍定理的综合应用,如图(a)所示，半径为R的均质薄圆盘水平静止于光滑平面上，轮心O处用铰链连接一根长为2R的水平均质杆，它们的质量均为m，一质量为m/4的小球速度v沿水平面从垂直于杆的方向与杆端A发生完全弹性碰撞，试求碰撞后三

19、者的运动状态及O处的约束反力。,4.碰撞问题。,第六章 质点系动能定理,6-4 动力学普遍定理的综合应用,设碰撞结束的瞬时，速度如图(b)，由整体动量守恒有,完全弹性碰撞的恢复系数为1，有,(2),由整个系统对固定点O动量矩守恒有,第六章 质点系动能定理,6-4 动力学普遍定理的综合应用,此后，小球以速度v作匀直线运动，杆与圆盘系统保持碰撞结束时的动量不变。设其质心速度为vc。,则,将(4)代入得,(),由(1)，(2)，(3)求得,(4),第六章 质点系动能定理,6-4 动力学普遍定理的综合应用,杆与圆盘系统的质心作匀速直线运动，在这个质心惯性参考系中观察，轮心O相对于质心C作圆周运动，相对速度为vOr，轮平动，杆角速度为，由这个系统对质心C的动量矩守恒可知，运动中杆的角速度保持不变，初始时,此后vOr大小不变，方向顺垂直于杆。故圆盘以v0=vC+vOr作曲线平动，杆随基点O平动，并以绕O匀速转动。,第六章 质点系动能定理,6-4 动力学普遍定理的综合应用,1.若小球与距杆端A为x处碰撞，情形怎样，试求出 x取何值时，轮心O不动。,2.若恢复系数e1，上述情形有何变化？,第六章 质点系动能定理,在质心惯性参考系中研究圆盘受力，易知铰O处反力，指向C。,6-4 动力学普遍定理的综合应用,