理论力学第7章刚体的基本运动.ppt

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1、第七章刚体的基本运动,主要内容,刚体的平动,一.定义,刚体运动时它上面的任一条直线始终保持与原来的方向平行，刚体的这种运动称为平动。,动画,平移实例,动画,刚体的平移,二.特点,刚体的平动,求导得:,刚体平动时,其上各点的轨迹相同,平动刚体上同一瞬时任意两点的速度，加速度相同,平动刚体上各点的运动规律相同，因此，研究平动,刚体的运动规律可归结为研究刚体上一个点的运动。,动画,平移刚体各点的速度相同,动画,平移刚体各点的加速度相同,动画,平移实例,动画,平移和定轴转动实例,刚体的定轴转动,一.定义,刚体运动时,其中有两点保持不动,这种运动称为刚体绕,定轴的转动,轴为通过两个固定点的一条不动直线.

2、,二.特点,刚体的定轴转动,刚体运动时其上每一点与固定轴之间的距离始终保持,不变,这点可作为判定刚体做定轴转动的条件。,刚体内不在轴线上的各点都做圆周运动。,三.转动方程,角是个代数量.,角的符号规定：自z轴正端向负端看刚体逆时针转,动形成的,角取正，反之取负。,当刚体转动时，其转角,是时间的单值连续函数。,动画,定轴转动,刚体的定轴转动,四.刚体的角速度和角加速度,1.角速度：为了描述刚体转动的快慢和方向，定义,为刚体的角速度。,为代数量，其正负号的规定同转角,可用右手螺旋法则规定。,单位：,工程中常用,来表示角速度，它们的关系是,刚体的定轴转动,四.刚体的角速度和角加速度,2.角加速度：为

3、了描述角速度随时间变化的快慢，定义,为刚体的角加速度。,为代数量，其正负号的规定同转角,可用右手螺旋法则规定。,单位：,与,同号加速转动，反之则减速转动.,常数.称为匀角速转动.,常数.称为匀变速转动.,刚体的定轴转动,五.定轴转动刚体内各点的速度.加速度,刚体绕定轴转动时，转轴上各点都固定不动，其它各点都在通过该点并垂直于转轴的平面内作圆周运动，圆心在转轴上，圆周的半径R称为该点的转动半径，它等于该点到转轴的垂直距离。,1.以弧坐标表示的点的运动方程,刚体的定轴转动,五.定轴转动刚体内各点的速度.加速度,2.点的速度,方向沿圆周切向指向转动方向,动画,定轴转动刚体速度分布,刚体的定轴转动,五

4、.定轴转动刚体内各点的速度.加速度,3.点的加速度,动画,定轴转动刚体加速度分布,刚体的定轴转动,六.以矢量表示的角速度和角加速度.,角速度矢和角加速度矢,动画,角速度矢量,动画,角速度矢量,刚体的定轴转动,七.以矢积表示的点的速度和加速度,1.刚体内任一点的速度的矢积表示,动画,用矢积表示点的速度,刚体的定轴转动,七.以矢积表示的点的速度和加速度,2.刚体内任一点的加速度的矢积表示,动画,用矢积表示点的加速度,滑轮的半径r=0.2 m，可绕水平轴O转动，轮缘上缠有不可伸长的细绳，绳的一端挂有物体A（如图），已知滑轮绕轴O的转动规律=0.15t3，其中t以s计，以rad计，试求t=2 s时轮缘

5、上M点和物体A的速度和加速度。,A,O,M,刚体的基本运动,例 题 7-1,首先根据滑轮的转动规律，求得它的角速度和角加速度,代入 t=2 s，得,轮缘上 M 点上在 t=2 s 时的速度为,A,O,M,解：,刚体的基本运动,例 题 7-1,A,O,M,加速度的两个分量,总加速度 aM 的大小和方向,刚体的基本运动,例 题 7-1,因为物体A与轮缘上M点的运动不同，前者作直线平移，而后者随滑轮作圆周运动，因此，两者的速度和加速度都不完全相同。由于细绳不能伸长，物体A与M点的速度大小相等，A的加速度与M点切向加速度的大小也相等，于是有,它们的方向铅直向下。,刚体的基本运动,例 题 7-1,物体A

6、和B以不可伸长的绳子分别绕在半径RA=50 cm和RB=30 cm的滑轮上。已知重物A具有匀加速度aA=100 cms2，且初速度vA0=150 cms1，两者都向上。试求：（1）滑轮在t=3 s内转过的转数，（2）当t=3 s时重物B的速度和走过的路程，（3）当t=0时滑轮边缘上C点的加速度。,O,RA,RB,A,B,C,刚体的基本运动,例 题 7-2,滑轮边缘上C点沿圆周的位移恒等于重物A的位移；C点的速度和切向加速度分别等于A点的速度和加速度的大小。故有,可见滑轮的初角速度,滑轮的角加速度 等于常量，等于,1.求滑轮在3 s内转过的转数。,解：,O,RA,RB,C,A,B,D,刚体的基本

7、运动,例 题 7-2,根据匀加速转动的角速度和转角公式，直接可得此时滑轮的转角,其中0是滑轮的初转角，决定于参考平面的选择；为了方便，可令0=0。滑轮在3 s内转过的转数是,（转）,刚体的基本运动,例 题 7-2,2.求当t=3 s时滑轮的角速度和走过的路程。,重物B 在 3 s内所走过的路程,从而求出这时B点的速度,刚体的基本运动,例 题 7-2,O,RA,RB,当t=0时滑轮边缘上C点的切向加速度和法向加速度分别为,C,A,B,D,aA,且 aC 偏到CO的右侧，如图所示。,故C点在 t=0时的全加速度的大小，以及它和半径的夹角分别等于,3.求当t=0时滑轮边缘上C点的加速度。,刚体的基本

8、运动,例 题 7-2,转动刚体内各点的速度和加速度,一、各点的速度：当刚体绕定轴转动时，刚体内任意一点都作圆周运动，圆心在轴线上，圆周所在的平面与轴线垂直，圆周的半径 等于该点到轴线的垂直距离，对此，宜采用自然法研究各点的运动。,设刚体由定平面 绕定轴 转动任一角度，到达 位置，其上任一点由 运动到，如图。以固定点 为弧坐标 的原点，按 角的正向规定弧坐标 的正向，于是,式中 为点 到轴心 的距离。,转动刚体内各点的速度和加速度,由于，因此，上式可写成,转动刚体内任一点的速度的大小，等于刚体的角速度与该点到轴线的垂直距离的乘积，它的方向沿圆周的切线而指向转动的一方。,将上式对 取一阶导数，得,

9、转动刚体内各点的速度和加速度,二、各点的加速度,点作圆周运动，因此应求切向加速度和法向加速度。根据上一章式 和弧长 与转角 的关系，得,由，因此,转动刚体内任一点的切向加速度的方向由角加速度的符号决定。当 是正值时，它沿圆周的切线，指向角 的正向，否则相反。,法向加速度为,式中 是曲率半径，对于圆，因此,转动刚体内任一点的法向加速度的方向与速度垂直并指向轴线。,转动刚体内各点的速度和加速度,如果 与 同号，角速度的绝对值增加，刚体作加速转动，这时点的切向加速度 与速度 的指向相同；如果 与 异号，刚体作减速转动，与 的指向相反，这两种情况如图。,点 的加速度 的大小为,确定加速度方向，只须求

10、与半径 所成的夹角,三、转动刚体内各点的速度、加速度的分布规律,转动刚体内各点的速度和加速度,（1）在每一瞬时，转动刚体内所有各点的速度和加速度的大小，分别与这些点到轴线的垂直距离成正比。,（2）在每一瞬时，刚体内各点的速度都与该点的转动半径垂直；刚体内所有各点的加速度 与半径间的夹角 都有相同的值。,轮系的传动比,工程中，常利用轮系传动提高或降低机械的转速，最常见的有齿轮系和带轮系。,一、齿轮传动,圆柱齿轮传动分为外齿轮和内齿轮两种。,轮系的传动比,设两个齿轮各绕固定轴 和 转动。已知其啮合圆半径各为 和；齿数各为 和；角速度各为 和。令 和 分别是两个齿轮啮合圆的接触点，因两圆之间没有相对

11、滑动，故,并且速度方向也相同。但，因此,或,由于齿轮在啮合圆上的齿距相等，它们的齿数与半径成正比，故,由此：处于啮合中的两个定轴齿轮的角速度与两齿轮的齿数成反比。,轮系的传动比,设轮是主动轮，轮是从动轮。把主动轮和从动轮的两个角速度的比值称为传动比，用 表示,正号表示内啮合，负号表示外啮合。,二、带轮传动,不考虑胶带的厚度，假定胶带与带轮间无相对滑动，传动比为,以矢量表示角速度和角加速度,绕定轴转动刚体的角速度可以用矢量表示。角速度矢 的大小等于角速度的绝对值，即,角速度矢 沿轴线，它的指向表示刚体转动的方向；如果从角速度矢的末端向始端看，则看到刚体作逆时针的转动，如图a；或按照右手螺旋规则确

12、定：右手的四指代表转动的方向，拇指代表角速度矢 的指向，如图b。至于角速度矢的起点，可在轴线上任意选取，即，角速度矢是滑动矢。,(a),(b),一、以矢量表示角速度和角加速度,以矢积表示点的速度和加速度,其中是角加速度的代数值，它等于 或。于是,即角加速度矢 为角速度矢 对时间的一阶导数。,如在轴线上任选一点 为原点，点 的矢径以 表示，如下图。那么，点 的速度可以用角速度矢与它的矢径的矢量积表示，即,为了证明这一点，需证明矢积 确实表示点 的速度矢的大小和方向。,根据矢积的定义知，仍是一个矢量，它的大小是,或,二、以矢积表示点的速度和加速度,式中 是角速度矢 与矢径 间的夹角。于是证明了矢积

13、 的大小等于速度的大小。,矢积 的方向垂直与 和 所组成的平面(即上图中三角形 平面，从矢量 的末端向始端看，则见 按逆时针转向转过角 与 重合，由图容易看出，矢积 的方向正好与点 的速度方向相同。,于是可得结论：绕定轴转动的刚体上任一点的速度矢等于刚体的角速度矢与该点矢径的矢积。,以矢积表示点的速度和加速度,绕定轴转动的刚体上任一点的加速度矢也可用矢积表示。,因为点 的加速度为,把速度的矢积表达式代入，得,已知，于是得,以矢积表示点的速度和加速度,式中右端第一项的大小为,这结果恰等于点M的切向加速度的大小。而 的方向垂直于 和 构成的平面，指向如右图所示，这方向恰与点M的切向加速度的方向一致，因此矢积 等于切向加速度 即,于是可得结论：转动刚体内任一点的切向加速度等于刚体的角速度矢与该点矢径的矢积；法向加速度等于刚体的角速度矢与该点的速度矢的矢积。,以矢积表示点的速度和加速度,同理可知，式 右端的第二项等于点M的法向加速度，即,刚体的基本运动,例 题 7-3,解：,刚体的基本运动,例 题 7-4,某定轴转动刚体的转轴通过点，其角速度矢 的方向余弦为，角速度的大小为。求刚体上点 的速度矢。,解：设原坐标系为，取新坐标系以 为原点，记为 且 三轴分别平行于原坐标系的 轴。在新坐标系中有,点 在新坐标系中的矢径为,于是有,