特征值与特征向量(0808).ppt

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1、9/29/20222023/11/15,1,第5章 特征值与特征向量,5.2 矩阵的相似关系,5.3 矩阵的相似对角化,5.1 特征值与特征向量,5.5 若当（Jordan）标准形简介,5.4 实对称矩阵的相似对角化,9/29/20222023/11/15,2,5.1 特征值与特征向量一、特征值与特征向量的概念,9/29/20222023/11/15,3,记,其中,作拉格朗日函数,令：,9/29/20222023/11/15,4,这样，寻找F的极值点问题就转化为寻找方程组（5.1）或（5.2）的非零解的问题。能使方程组（5.1）或（5.2）有非零的数及相关的非零解，就是下面要引入的方阵的特征值

2、与特征向量。,9/29/20222023/11/15,5,（3）称A的特征多项式的根，即 的根 为A的特征值；,（4）若 是的某个特征值，则称齐次线性方程组,（5.4）,的非零解为A的属于特征值 的特征向量。,9/29/20222023/11/15,6,从定义中可以看出：行列式（5.3），即A的特征多项式 是一个关于 的首项系数为1的n次多项式，它的根（包括重数在内），也就是A的特征值共有n个；,同时由（5.4）可知特征向量的概念是相对某个特征值而言的概念，如果 是A的特征值，则A的属于 的特征向量就是以特征矩阵 为系数矩阵的齐次线性方程组（5.4）的全部非零解，常称此齐次线性方程组的任意一个

3、基础解系为A的属于 的极大无关特征向量组。,9/29/20222023/11/15,7,上述定义实际上给出了求方阵的特征值与特征向量的方法：,第一步：求出A的特征多项式；,第二步：求出代数方程 的n个根，即得A的n个特征值（其中可能出现重根，包括重根在内共有n个）；,第三步：对每个特征值，求出齐次线性方程组 的基础解系，即属于 的极大无关特征向量组：；,9/29/20222023/11/15,8,第四步：作线性组合（不全为零），它就是A的属于 的全部特征向量。,例1 求3阶方阵 的特征值与特征向量。,9/29/20222023/11/15,9,解：A的特征多项式为：,故A的特征值为：（二重）。

4、,对于 而言，求解齐次线性方程组即,9/29/20222023/11/15,10,得它的一个基础解系：,故A的属于 的所有特征向量为,9/29/20222023/11/15,11,对于 而言，求解齐次线性方程组,即,得它的一个基础解系：,9/29/20222023/11/15,12,例 2 求3阶方阵 的特征值与特征向量。,解：A的特征多项式为：,9/29/20222023/11/15,13,故A的特征值为：（三重）。,求解齐次线性方程组，即,得它的一个基础解系：,9/29/20222023/11/15,14,定义5.2 设A是n阶方阵，若存在数 及n 维非零向量，使得：,（5.5）,则称 是

5、A的特征值，是A的属于特征值 的特征向量.,上述定义5.1与定义5.2是等价的,事实上，若有（5.5）式，即，则可将其改写为：,9/29/20222023/11/15,15,例3 设A为n阶方阵，则A与 有相同的特征多项式，进而有相同的特征值。,证明：因为：,则A与 有相同的特征多项式,9/29/20222023/11/15,16,例4 设n阶方阵A满足（为正交矩阵），则的特征值必为1或-1,证明：设 为的特征值，且,对上式两边左乘,9/29/20222023/11/15,17,再对其两边左乘,由此,但，则,或,9/29/20222023/11/15,18,定理5.1 设，且 是的n个特征值（

6、重根按重数算），则有：,（1）A的n个特征值之和等于A的主对角线元素之和，即：,（5.6）,（2）A的n个特征值之积等于A的行列式，即：,（5.7）,二、特征值与特征多项式的关系,9/29/20222023/11/15,19,证明：注意到A的特征多项式为：,易知特征多项式中 与 两项只可能出现在主对角线的乘积项中,因此 前的系数必为：；,9/29/20222023/11/15,20,而特征多项式的常数项为,即有,由多相式根与系数的关系（韦达定理）即得：,推论 方阵A非奇异（可逆）当且仅当A没有零特征值,9/29/20222023/11/15,21,例5设A为三阶方阵，且满足：,，求,解：由定义

7、5.1知，若，则A有特征值；,同理：,9/29/20222023/11/15,22,定理5.2 设n阶方阵A有特征值，则 分别有特征值：，其中m为正整数，是A的伴随矩阵。,（1）,证明：因为A有特征值，故存在非零向量，使得：，于是：,（2）；,三、特征值与特征向量的性质,9/29/20222023/11/15,23,（3）对 两边左乘 有：，即：,（4）因为，则有：，即：,由此可见 分别有特值：,9/29/20222023/11/15,24,注意：由此例可知，若A有特征值，则A矩阵多项式,有特征值：,9/29/20222023/11/15,25,定理5.3设 是方阵的个互异的特征值，且 分别是

8、属于的特征向量，则 必定线性无关，即A的不同特征值对应的特征向量必定线性无关。,证明：用归纳法证明，时，一个非零向量必定线性无关，结论成立。,9/29/20222023/11/15,26,将（5.8）式两边左乘A,又将（5.8）式两边乘以，得：,则：,9/29/20222023/11/15,27,由归纳假设知 线性无关，故有：,但，从而，则,9/29/20222023/11/15,28,定理5.4设 是方阵A的m个互异特征值，是A的属于 的 个线性无关的特征向量（），则 必定线性无关。,推论设方阵A有个m互异特征值，A的属于 的极大线性无关特征向量组中含有 个 向量，则：，且等号成立的充要条件

9、是A有n个线性无关的特征向量。,9/29/20222023/11/15,29,矩阵的相似关系是矩阵间的一种极为重要的关系，对于简化矩阵的讨论起着重要作用，而矩阵的特征值在相似关系中扮演了重要角色。本节将引入相似的概念及性质，并讨论方阵相似于对角阵的条件。,5.2 矩阵的相似关系,9/29/20222023/11/15,30,定义5.3 设A,B都是n阶方阵，若存在可逆矩阵P，使得：则称A与B是相似的矩阵，记为。,9/29/20222023/11/15,31,定理5.5 设A,B 都是n阶方阵，且A与B相似，即，则,(1)(2),（k为正整数）,。,（3）若,是m次多项式，则,证明：由 知，存在

10、可逆矩阵P，使得,(1),9/29/20222023/11/15,32,（2）,即,（k为正整数）,9/29/20222023/11/15,33,（3）,从而,9/29/20222023/11/15,34,定理5.6 设A,B 都是n阶方阵，且A与B相似，即，则,(1)(2),（3）,A与B相同的特征多项式、相同的特征值,证明：由 知，存在可逆矩阵P，使得,（1）由于用可逆矩阵左乘或右乘A，不改变其秩，故,9/29/20222023/11/15,35,（2）,则A与B有相同的行列式。,（3）,故A与B有相同的特征多项式，进而有相同的特征值,9/29/20222023/11/15,36,注意：若

11、（），即是A的属于 的特征向量，由于：,从而 是 的属于 的特征向量。由此可见相似矩阵属于同一特征值的特征向量往往是不同的,9/29/20222023/11/15,37,矩阵的相似关系的重要特性就是两个相似的矩阵之间具有许多相同的性质，在研究矩阵的许多问题时，人们常利用相似关系将A的讨论通过 转移到B的讨论上去。,可以理解为将矩阵A进行了分解（常叫相似分解），分解的目的是为了简化对的讨论。于是人们当然希望B越简单越好，例如是最简单的对角阵。,5.3 矩阵的相似对角化一、矩阵与对角阵的相似,9/29/20222023/11/15,38,若A能与对角阵相似，则称A能对角化，即存在可逆的矩阵P，使得

12、,此时，这样对A的讨论转移到了对对角阵 的讨论上去了,9/29/20222023/11/15,39,并非任何方阵都能对角化，那么当方阵A满足什么条件时能对角阵化呢？下面给出方阵能相似于对角阵的充要条件，即A都能对角化的充要条件。,二、矩阵对角化的条件,9/29/20222023/11/15,40,定理5.7 n阶方阵A能与对角阵相似的充要条件是：A有n个线性无关的特征向量,设A有n个线性无关的特征向量，它们对应的特征值分别为，于是（），记矩阵：,9/29/20222023/11/15,41,由于 线性无关，故P可逆，所以,9/29/20222023/11/15,42,故A能与对角阵相似,9/2

13、9/20222023/11/15,43,必要性：设A能与对角阵 相似，则存在可逆矩阵P，使得,将P按列分块，记，,9/29/20222023/11/15,44,显然，这说明 是A的属于 的特征向量，,且由P的可逆性知 线性无关,9/29/20222023/11/15,45,注意：从上面定理的证明过程可知：若A能与对角阵 相似，则,（1）与A相似的对角阵的主对角线上的元素恰好就是A的n个特征值,（2）中的各列 恰好就是A的属于 的特征向量,9/29/20222023/11/15,46,特别的，若A的特征多项式都是单根，则有如下推论：,事实上，对n个互异的特征值各取一个特征向量，由定理5.3知，A

14、的不同特征值对应的特征向量线性无关，故A有n个线性无关的特征向量，从而A必能与对角阵相似。,9/29/20222023/11/15,47,对于A有重根的情况，由定理5.4的推论，有,推论2 若n阶方阵A有m（mn）个互异的特征值，A的属于 的极大无关特征向量组中所含向量的个数为 个（）则能对角化的充要条件是：,9/29/20222023/11/15,48,推论3 若n阶方阵A有m（mn）个互异的特征值,且它们分别是 重特征根（)，则A能对角化的充要条件是：,事实上：就是齐次线性方程组 基础解系所含向量的个数，也就是A的属于 的极大无关特征向量组中所含向量的个数，由,9/29/20222023/

15、11/15,49,知,A能对角化的充要条件是A的所有特征值的几何重数等于代数重数。,9/29/20222023/11/15,50,上面的讨论实际上告诉了我们寻找对角阵与可逆阵的方法，即对角化的方法：第一步：首先求出A的特征多项式，进而求出A的所有特征值，设它们的重数分别是（）；,三、方阵对角化的实现,9/29/20222023/11/15,51,第二步：针对每一个特征值，求解齐次线性方程组，得基础解系，它们就是属于 的 个线性无关的特征向量（）；,第三步：如果，则A没有n个线性无关的特征向量，故A不能对角化；如果，说明A有n个线性无关的特征向量，故A能对角化，将n个线性无关的特征向量按列排成可

16、逆阵P，即,9/29/20222023/11/15,52,9/29/20222023/11/15,53,注意：由于齐次线性方程组 的基础解系不唯一，则可逆阵P不是唯一的。另外，由于P中的列向量依次是属于对角阵 中对角线上相应元素的特征向量，如果将这种对应换个次序排列，也可以得到不同的P及对角阵。,9/29/20222023/11/15,54,例6 设，问A能否对角化？,解,即 是的三重特征值，考虑齐次线性方程，,9/29/20222023/11/15,55,故：（几何重数 代数重数），,因此A不能与对角阵相似,9/29/20222023/11/15,56,例 7 设，问A能否对角化？,解：A的

17、特征多项式,9/29/20222023/11/15,57,A的特征值分别为，,它们都是单特征值，故A能对角化,9/29/20222023/11/15,58,例8 设，将A对角化，并求（k为正整数）。,解：A的特征多项式：,故A的特征值为：（二重）,9/29/20222023/11/15,59,对于 而言，齐次线性方程组的基础解系（即属于 的极大无关特征向量组）为,对于 而言，齐次线性方程组的基础解系（即属于 的极大无关特征向量组）为,9/29/20222023/11/15,60,因此A有三个线性无关的特征向量，故可对角化，令,9/29/20222023/11/15,61,又,9/29/2022

18、2023/11/15,62,9/29/20222023/11/15,63,例9 设，且已知A有三个线性无关的特征向量，是A的二重特征值，试求可逆的P，使得 为对角阵,解：由假设知A能对角化，而 是A的二重特征值,由,9/29/20222023/11/15,64,而,9/29/20222023/11/15,65,又设 是A的另一个特征值,对于特征值，求解,得属于 的两个线性无关的特征向量,9/29/20222023/11/15,66,对于特征值，,得属于 的一个特征向量：,于是令：,有,9/29/20222023/11/15,67,在上一节讨论了一般方阵的相似对角化问题，并看到了并非所有方阵都能

19、与对角阵相似。本节将讨论一类特殊的矩阵实数域上的对称阵（简称为实对称阵）的相似对角化问题，并说明实对称阵总是可以对角化的。,5.4 实对称矩阵的相似对角化,9/29/20222023/11/15,68,定理5.8对称矩阵的特征值为实数.,证明：设 是A的特征值，是A属于 的特征向量，则,对上式两边取共轭向量，有,即,再对上式求转置,一、实对称阵的特征值与特征向量的性质,9/29/20222023/11/15,69,由于A为实对称阵，故，从而,但，故，于是，这说明 必为实数。,9/29/20222023/11/15,70,定理5.9 实对称阵A的属于不同特征值的特征向量必定正交。即若 是A的互异

20、特征值，分别是对应的特征向量，则必有。,证明：因为（），且 则有,9/29/20222023/11/15,71,但，故有,所以 与 正交,9/29/20222023/11/15,72,定理5.10 设A是n阶实对称矩阵，是A的n个特征值（包括重数在内），则必存在正交矩阵P，使得,下面的定理表明了任意一个实对称矩阵总是可以对角化的，并且可以通过正交矩阵来实现，这是一个非常重要的结论。,二、实对称矩阵的对角化,9/29/20222023/11/15,73,证明：对矩阵的阶数n应用数学归纳法,当 时，定理显然成立,假定定理对 阶实对称矩阵成立，下面证明定理对n阶实对称矩阵也成立,设 是A的任意一个特

21、征值，是属于 的一个特征向量，并假定 为单位向量，又设 是以 为第一列的n阶正交矩阵，则,9/29/20222023/11/15,74,9/29/20222023/11/15,75,由于 是实对称矩阵，则 必为n阶实对称矩阵,由归纳假设知：存在 阶正交矩阵，使得,9/29/20222023/11/15,76,令,故 也是正交矩阵,9/29/20222023/11/15,77,令,由于 及 都正交，则P必然是正交矩阵,显然，其中的就是A的n个特征值,9/29/20222023/11/15,78,注意（1）若 是实对称矩阵A的r重特征值，则必有，也就是说，对于实对称矩阵A而言，几何重数总是等于代数

22、重数的,（2）若设，由于P是正交阵，则，即,9/29/20222023/11/15,79,且由（）,P的第j列恰好就是特征值 对应的特征向量,故 形成一个两两正交的单位特征向量组（即标准正交向量组）,综合（1）与（2）知，实对称矩阵总是能对角化的，并且可以通过正交矩阵来实现,9/29/20222023/11/15,80,实对称矩阵对角化的具体步骤如下：,第一步：首先求出A的特征多项式，进而求出A的所有特征值,第二步：对于每一个特征值，求解齐次线性方程组，得基础解系，它们就是属于 的 个线性无关的特征向量（）；,9/29/20222023/11/15,81,第三步：将 利用施密特方法正交化，得（

23、）,第四步：再将 单位化，得到（）,9/29/20222023/11/15,82,第五步：将正交化、单位化后的n个标准正交特征向量按列排成正交矩阵P，即,9/29/20222023/11/15,83,例10 设，求正交矩阵，使得A成为对角阵,解：A的特征多项式为,9/29/20222023/11/15,84,故A的特征值为,对于 而言，齐次线性方程组 的基础解系为,正交化得：,9/29/20222023/11/15,85,单位化得：,对于 而言，齐次线性方程组 的基础解系为,只需单位化,9/29/20222023/11/15,86,令（正交矩阵）,则,9/29/20222023/11/15,8

24、7,例11 设三阶实对称阵A的特征值为（二重），且A的属于特征值 的特征向量是，,（1）求A的属于特征值 的特征向量；（2）求矩阵A,解：（1）设A的属于特征值 的特征向量为,9/29/20222023/11/15,88,由于不同特征值对应的特征向量必定正交，故有,得属于 的两个线性无关的特征向量,正交化得：,9/29/20222023/11/15,89,单位化得,再将 单位化得：,9/29/20222023/11/15,90,则,9/29/20222023/11/15,91,9/29/20222023/11/15,92,例12 设A,B是两个n阶实对称阵，则存在正交矩阵P，使得 的充要条件是

25、：A与B有完全相同的特征值。,证明：充分性,设A与B有完全相同的特征值，,则存在正交矩阵 与，使得,9/29/20222023/11/15,93,9/29/20222023/11/15,94,令，P为正交阵,9/29/20222023/11/15,95,必要性,若存在正交矩阵P，使得，则A与B相似，,从而A与B有完全相同的特征值。,9/29/20222023/11/15,96,由上面的讨论可知，并非所有方阵都能与对角阵相似，例如，例5.7中的A就不能对角化。如果A不能与对角阵相似，那么A能否与一类较简单的准对角阵相似呢？回答是肯定的，下面介绍的若当（Jordan）标准形就是一类较简单的准对角阵

26、。,5.5 若当（Jordan）标准形简介,9/29/20222023/11/15,97,定义5.4 形如,（为复数）,的m阶方阵，称为一个m阶的若当块，,一阶若当块就是一阶矩阵,9/29/20222023/11/15,98,若 都是若当块，则称准对角矩阵,为一个若当矩阵,9/29/20222023/11/15,99,例如,就是一个若当矩阵,9/29/20222023/11/15,100,定理5.11 任意一个n阶复方阵A总能够与一个若当矩阵,相似，其中,是A的 重特征值（）,9/29/20222023/11/15,101,在例6 中,，A不能对角化,但A可以与若当矩阵 相似，其中,9/29/20222023/11/15,102,事实上，取，则P可逆，且,关于若当矩阵与的特征值的关系、若当矩阵的结构、可逆的如何求出等问题在这里不深入讨论.,