波函数的几种不同的形式.ppt

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1、波函数的几种不同的形式：,三.平面波的波动方程 Wave Equation of Plane Wave,平面波的波动方程,将平面简谐波的波函数对t和x分别求二阶偏导数,有:,具有普遍意义,三维空间,一维简谐波的波函数就是此波动方程的解。,Y-杨氏弹性模量-体密度,(2)固体棒中的纵波,(3)固体中的横波,G-切变模量,G Y,固体中 横波纵波,波速,(1)弹性绳上的横波,FT-绳的切向张力,L-绳的线密度,(4)流体中的声波,k-体积模量,0-无声波时的流体密度,(5)水面波,h0-水的平均深度,6-5、波的能量和能流,一、波的能量：,以横波为例,其波函数为:,任取一体积元V，其质量m=V，,

2、1)微元的动能:,2)微元的势能:,各微元的势能和动能相等，而且势能的变化和动能的变化“步调一致”。,3)总机械能:,4)能量密度:(单位体积中的能量),5)平均能量密度(在一个周期内的能量密度的平均值),特点:,D、能量以速度 u 传播。,平衡位置（y=0）E k、E p 最大。振幅处（y=A）E k、E p 为 0。,二、波的能流（描述波的能量传播的物理量）：,1)能流 单位时间内垂直通过某一截面的能量。,为截面所在位置的能量密度。,显然能流是随时间周期性变化的。但它总为正值。,设波速为u，在 时间内通过垂直于波速截面 的能量:,能流为：,2)平均能流:在一个周期内能流的平均值称为平均能流

3、。,3)能流密度:通过垂直于波动传播方向的单位面积的平均能流 称为能流密度或波的强度。,能流密度是单位时间内通过垂直于波速方向的单位截面的平均能量。,能流密度是矢量，其方向与波速方向相同。,单位:W/m 2,波在媒质中传播时，媒质总要吸收一部分能量。吸收的能量转换为媒质的内能和热。因此，波的振幅要减小、波的强度将减弱，这种现象称为波的吸收。,4)波的吸收：,为吸收系数,取决于媒质和波的频率,注意：,在均匀不吸收能量的媒质中传播的平面波在传播方向上振幅不变。,若不考虑能量吸收即能量守恒，可讨论波传播时振幅的变化：,三、平面波、球面波、柱面波的振幅,所以,平面波振幅不变：,1、平面波,由于振动的相

4、位沿波速方向随距离的增加而落后的关系，与平面波类似，球面简谐波的波函数：,所以球面波的振幅与离波源的距离成反比。如果距波源单位距离的振幅为A则距波源r处的振幅为,2、球面波,同理,（初相位为零）,所以柱面波的振幅与离波源的距离的平方根成反比。如果距波源单位距离的振幅为A则距波源r处的振幅为,3、柱面波,同理,则柱面简谐波的波函数：,一、惠更斯原理：,1）媒质中任一波面上的各点，都是发射子波的新波源。,2）其后任意时刻，这些子波的包络面就是新的波面。,1、表述：,只要已知某时刻的波面 和波速，可以确定下时刻的波面和波的传播速度。,2.惠更斯原理的意义：,3.惠更斯原理的应用：,解释波的衍射,波的

5、散射,波的反射、折射等现象.,6-6 波的反射和透射,波的传播：球面S上任一点都可以看成发射子波的波源。经t时间子波行进到包络面S2。,二、波的叠加原理（独立性原理）：,若波动函数y1(x,t),y2(x,t)满足线性波动方程,表述：,即y1、y2 分别是它的解，则它们的任一线性组合y=C1 y1+C2 y2 也是方程的解,即上述波动方程遵从叠加原理。,无论是否相遇,各列波将保持原有的特性(频率,波长和 振动方向等)不变,按照原来的方向继续前进,就象没有 遇到其他的波一样。,在其相遇区域内,任一点处质点的的振动为各个波单独 存在时所引起的振动的矢量和。,实际表现：,注意：波的叠加原理仅限于线性

6、波动现象，例如对强冲击波则不成立。,三、弦上横波的反射与透射,定义媒质特征阻抗:,1、振幅,振幅反射系数,振幅透射系数,2、能量,能量反射系数,能量透射系数,一、波的干涉：,1、干涉现象:在一定条件下，两波相遇,在媒质中某些位置 的点振幅始终最大，另些位置振幅始终最小，而其它位置，振动的强弱介乎二者之间，保 持不变，称这种稳定的叠加图样为干涉现象。,2、产生干涉的条件：,两波源的波振幅相近或相等时干涉现象明显。,两波源具有恒定的相位差。,两波源的振动方向相同,两波源具有相同的频率。,满足上述条件的称为相干波。,3、干涉加强、减弱条件：,设有两个频率相同的波源 和。,6-6 波的干涉 驻波,波的

7、干涉,S1、S2 的振动表达式为：,传播到 P 点引起的振动为：,在 P 点的振动为同方向同频率振动的合成。,由叠加原理P 点合振动：,由于波的强度正比于振幅平方：,对空间不同的位置，都有恒定的，因而合强度在空间形成稳定的分布，即有干涉现象。,干涉加强的条件：,干涉减弱的条件：,当两波源的初相位相同时，相干条件可写为：,干涉加强,干涉减弱,例1在同一媒质中相距为20m 的两平面简谐波源S1 和S2 作同方 向,同频率(=100Hz)的谐振动,振幅均为A=0.05m,点S1 为波峰时,点S2恰为波谷,波速u=200m/s。求：两波源连线上因干涉而静止的各点位置.,解:选S1 处为坐标原点O,向右

8、为x 轴正方向,设点S1 的振动 初相位为零,由已知条件可得波源S1 和S2 作简谐振动的 运动方程分别为:,S1 发出的向右传播的波的波函数为:,S2 发出的向左传播的波的波函数为:,因干涉而静止的点的条件为:,化简上式,得:,所以在两波源的连线上因干涉而静止的点的位置分别为:,将 代入,可得:,单极子声源波场不同时刻切片图,t1E-5（s）,t2E-4（s）,偶极子声源波场不同时刻切片图,t1E-5（s）,t2E-4（s）,t4E-4（s）,t6E-4（s）,t1E-5（s）时刻的波场图,四极子声源的波场图,四个同相点源叠加后的波场图,1、驻波:两列振幅相同，而传播方向相反的相干波，其合成

9、 波是驻波。,二、驻波：（驻波是干涉的特例）,设有两列相干波，振幅相同，分别沿 x 轴正、负方向传播，选初相位均为零的表达式为：,2、驻波的形成:,其合成波称为驻波，其表达式：,利用三角函数关系求出驻波的表达式：,简谐振动,简谐振动的振幅,它表示各点都在作简谐振动，各点振动的频率相同，是原来波的频率，但各点振幅随位置的不同而不同。,此式为振动表达式。无波形的跑动现象（即非行波）,Standing wave,Traveling wave,振幅为,3、驻波的特征：,波节和波腹：,波节：振幅为零的点称为波节。,波腹：振幅最大的点称为波腹。,两相邻波节间的距离/2。,两相邻波腹或相邻波节间的距离/2。

10、,两相邻波节与波腹间的距离/4。,波节的位置为：,波腹的位置为：,有些点不动(波节),有些点振动最强(波腹),相位：,波形：,相邻波节之间相位相同,波节两侧相位反相，相位差2,波形不传播，,能量不传播“驻”,结论：,*在波节两侧点的振动相位相反。同时达到反向 最大或同时达到反向最小。速度方向相反。,*两个波节之间的点其振动相位相同。同时达到 最大或同时达到最小。速度方向相同。,时间部分提供的相位对于所有的 x是相同的，而空间变化带来的相位是不同的。,相位取决于coskx的正负，,弹性波：波阻Z=u 较大的媒质称为波密媒质；较小的媒质称为波疏媒质。,当一列波从波疏媒质入射到波密媒质的界面时,在分

11、界面处，反射波在反射点有的相位突变,等效于波多走或少走半个波长的波程,这种现象称为半波损失。,三、半波损失(6-6，P157）,当一列波从波密媒质入射到波疏媒质的界面时,在分界面处，反射波与入射波同相位,没有半波损失。,形成的驻波在界面处是波节，界面处称为固定端。,有半波损失，,无半波损失，,形成的驻波在界面处是波腹，界面处称为自由端。,考虑入射波被全反射时，入射波与反射波形成驻波,例1,解：,由入射波波函数得0点的振动方程为：,把0点看作反射波的波源，考虑半波损失，得任意一点x处反射波引起的振动为：,由入射波波函数化成标准形式可求得：,代入上式得：,说明：,1）考虑半波损失时也可减，结果等效

12、。,2）考虑半波损失时也可不加减，而在计算波程 时加减/2，结果等效。,例题2一列沿x轴方向传播的入射波的波函数为,在x=0处反射,反射点为一节点求:(1)反射波的波函数.(2)合成波的波函数(3)波腹,波节的位置坐标.,解:(1)由于有相位突变,故反射波的波函数为:,(2)根据波的叠加原理,合成波的波函数为:,(3)形成波腹的各点,振幅最大,即:,亦即:,故波腹点坐标为:,形成波节各点,振幅最小,即:,即:,(x,x 只取负值及零),例3：已知沿X方向传播的平面简谐波的函数为：,求：反射波波函数,在介质1、2分界面处L=2.25m发生反射，且Z2Z1,解：波在界面处是由波疏介质进入波密介质，

13、分界面处反射时存在半波损失。,由入射波波函数知A点振动方程为：,在A点反射后，由于存在半波损失，所以：,法一：选原点，写出反射点振动方程,由入射波波函数知A点振动方程为：,由于A点处的振动方程y反A已知：,则反射波（沿X方向传播）的波函数为：,L=2.25m,法二：因反射波的振幅、频率、波速均已知，关键求反射波原点的初相位。,入射波：,入射波在A点比原点相位落后:,反射波在原点比A点相位落后:,在固定端反射，有半波损失，反射波相位落后,反射波比入射波在原点相位落后:,则反射波方程：,反射波的波函数可写为：,声波是机械纵波,频率高于20000赫兹的叫做超声波。,*声的产生、传播和接收。为听觉服务

14、，如声音的音质、音响效果；声学在建筑学方面的应用，噪声的避免，声波测井等。,20到20000赫兹之间能引起听觉的称为可闻声波，简称声波。,频率低于20赫兹的叫做次声波；,*利用声的传播特性研究媒质的微观结构；利用声波的作用来促进化学反应，为科技服务。,研究的分类：,声的概念不再局限于听觉范围，几乎是振动和机械波的同义词。,声波,6-8 声波,媒质中有声波传播时的压强与无声波传播时的静压强之差称为声压。,声压,稀疏区声压为负，稠密区声压为正值。由于疏密的周期性，声压也是周期变化。,声强、声强级,*声强就是声波的平均能流密度。,即单位时间内通过垂直于传播方向单位面积的声波能量。,声压的单位:帕（P

15、a),通常讲话：0.1Pa,离飞机数米:几百帕,这样的超声波在几个毫米范围内有比重力加速度 g大十多万倍的正负加速度和近百个大气压，可见它的威力。因此，有重要的应用。,式中声压的振幅：,由此可知，声强与频率的平方，振幅的平方成正比。,声强,引起人的听觉的声波，还有一定的声强范围。大约为1012瓦/米2 1瓦/米2。声强太小听不见，太大会引起痛觉。,定义声强级L为：,单位为贝耳(Bel),1Bel=10dB,单位为分贝(dB),*声强级,由于可闻声强的数量级相差悬殊，通常用声强级来描述声强的强弱。,规定声强 I0=10-12瓦/米2作为测定声强的标准,有的地方规定户外声音不得大于100分贝。,如

16、炮声声强 1瓦/米2，声强级120分贝。,在两端固定长为 L 的弦形成驻波的波长必须满足下列条件：,二.两端固定的弦的振动（简正模式）,即弦线上形成的驻波波长、频率均不连续。这些频率称为弦振动的本征频率，对应的振动方式称为简正模式。,最低的频率称为基频，其它整倍数n频率为n次谐频。,基频及各次谐频可以通过调节弦长、弦张力及线密度得到。,驻波条件,两端固定的弦，当距一端L/n的点受击而振动时，该点为波节的那些模式（对应于 n 次，2 n 次.谐频)就不出现，使演奏的音色更优美。,系统究竟按那种模式振动，取决于初始条件。弦的任一振动均可看作各次谐频振动的线性叠加。,三、声的吸收、交混回响,1、声的

17、吸收：当声音在介质中传播时，由于介质的内摩擦力 损耗，声强很快减小。,实验表明：,2、交混回响：声源停止振动后声波经过墙壁多次反射和吸收 后才消失的现象,声的吸收对房屋的声学性质很重要，交混回响时间的长短是建筑物的重要声学性质。,一、多普勒效应：,6-9 多普勒效应Doppler Effect,1、定义：因波源或观察者相对于媒质运动，而使观察者接受 到的频率不同于波源的频率现象称为多普勒效应。,当波源或观察者相对于媒质运动时，三者可能互不相同。,例：当鸣笛的火车开向站台，站台上的观察者听到的笛声变尖 即频率升高；相反当火车离开站台，听到的笛声频率降低。,1、波源不动,观察者相对于媒质以速度VR

18、 沿二者连线运动：,设波源的频率为S；波长为；波速为u。,二、多普勒效应的三种情况：,波源不动：波的频率 等于波源的频率 S。,观察者接收到的频率（单位时间内接收到完整波的个数）:,观察者以速度VR 接近波源：,单位时间内波相对于观察者传播的距离:,表明:观察者接近波源时接收到的频率提高。,观察者以速度 VR 离开波源：,同理可得观察者接受到的频率：,表明:观察者远离波源时接收到的频率降低。,可合写为：,频率变化原因:波源相对于观察者与相对于媒质的波速不同。,若波源S 以速度V s 接近观察者：,2、观察者不动,波源相对于媒质以速度Vs 沿二者连线运动：,波在媒质中的波长：,波的频率为：,观察

19、者不动：观察者接收到的频率等于波的频率。,波长:波传播时,在同一波线上两个相邻相位差为2的质 元之间的距离。,若波源S 以速度Vs 离开观察者,则：,表明:若波源S 以速度Vs 接近观察者，观察者接收到的频率升高。,由于观察者不动，则波的频率 等于观察者接收到的频率：,表明:若波源S 以速度Vs 离开观察者,观察者接收到的频率降低。,同理可得观察者接受到的频率：,频率变化原因:媒质中的波长因波源的运动而发生变化。,3、波源和观察者同时相对媒质运动：,当波源和观察者相向运动时：,观察者接受到的频率为：,当波源和观察者彼此离开时，,观察者接受到的频率为：,三、冲击波：当波源速度 大于波速 时会产生

20、冲击波，这时波面的包络面呈圆锥状，称为马赫锥。,空气动力学的重要参数,锥面是波前，锥面外没有波。,若波源速度超过波速(VSu),超音速飞机会在空气 中激起冲击波,飞行速度与声速的比值VS/u(称马赫数)决定 角,例题1一时速为80km/h的列车向车站驶来,(1)列车上汽笛频率为1000Hz,站立在站台上的旅客听到的汽笛的频率是多少?(2)若同样频率的汽笛在车站上鸣叫,列车内旅客听到的汽笛的频率为多少?(声速340m/s),解:(1),因而车站上旅客接收到的笛声的频率为:,(2),列车内的旅客接收到的频率为:,例2 利用多普勒效应监测汽车行驶的速度.一固定波源发出 频率为100kHz的超声波.当汽车迎着波源驶来时.与波源 安装在一起的接受器接收到从汽车反射回来的超声波的 频率为110KHz。已知空气中声速为 330 m/s。求：汽车行驶的速率.,解:,波 源：固定波源；静止,观察者：汽车；向着波源运动。速度为VR。,第一步:,汽车接收到的频率为：,由此解得汽车行驶的速度为：,波 源：汽车；向着观察者运动。汽车发出的波的频率即是它接收到的频率,观察者：接收器；静止。,第二步:,作业:6 1、3、4、8、9、11、12、16、17,