概率论的基本原理.ppt

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1、概率论与数理统计,第一章概率论的基本概念第一节 引言,1.1.概率的哲学思考,硬币会竖起来吗?硬币会竖起来的概率是多大?赌博算命概率是严肃的科学,让我们用虔诚的心 理解概率的教义,1.2.随机现象与不确定现象,1)概率的研究对象2)随机现象与不确定现象,1.3随机现象与随机实验,随机实验:具有以下三个特点的实验称为随机实验:1)可以在相同的条件下重复进行;2)每次实验的可能结果不止一个,并能事先明确实验的所有可能结果;3)进行一次实验之前不能确定哪一个结果会发生随机现象:与随机实验伴随的现象称为随机现象,随机现象:与随机实验伴随的现象称为随机现象随机现象是不确定现象的子集,随机实验的例子,1)

2、抛硬币2)掷骰子3)某电话交换中心在单位时间内收到的用户呼唤的次数,2)不确定现象的例子,足球比赛的结果(不过,对中国国家队而言,这 似乎是必然事件)考试成绩迟到或缺课被老师抓到在校园的小河边遇到校长,3)随机现象与不确定现象的差异 i)随机现象有着严格的规定性,而不确定现象泛指实验前不能预知结果的现象 ii)随机现象是不确定现象的子集 iii)随机现象虽然实验前不能预知实验结果,但在大量重复实验或观察中其结果的发生呈现出固有的规律性-统计规律性,1.4.概率论的研究对象(续),概率论研究的是随机现象在大量重复实验或观察中其结果的发生呈现出固有的规律性-统计规律性,它研究的并不是一般的不确定现

3、象明确了概率论的研究对象,在今后应用概率的概念时就要准确的应用.诸如:1)股市的报纸对老板和做股票的人的意义 2)申花与国安比赛,申花胜利的概率是65%3)为何十赌九输,第二节 样本空间及随机事件,2.1.随机事件 1)随机实验的结果称为随机事件,简称事件 2)随机事件用大写英文字母A,B,C,D,E.表示,特殊的随机事件,3)必然事件:每次实验总是发生的事件称为必然事件,必然事件用字母S或 W 表示 4)不可能事件:每次实验都不发生的事件称 为不可能事件,不可能事件通常用字母 F 表示,5)不可能事件与必然事件的理解,不可能事件与必然事件的发生与否,已经失去了不确定性,因而本质上它们不是随机

4、事件.但是为了方便起见,我们还是把它们看成是随机事件.以后我们会理解,它们只不过是随机事件的两个极端情形而已.,2.2样本空间,1)基本事件:随机实验的每一个可能的结果,称为基本事件.基本事件的意义是重要的,但它是很难理解的,以后我们会渐渐说明它,2)基本事件的全体称为样本空间.样本空间通常用字母S或 W 表示.W 中的点,即基本事件,有时也称为样本点.,3）基本事件的理解（1）,基本事件两两互斥。每次实验都有一个基本事件发生。因此所有基本事件的和事件是必然事件。任何随机事件都可以由 某些基本事件的和来表示。,对于不同的概型，基本事件有着不同的规定性。如：古典概型中，基本事件发生的概率相同。古

5、典概型实验与 泊松分布实验的基本事件的比较,例1:古典概型：,一个盒子中有十个完全相同的球,分别标以号码1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,从中任取一球.令 i=取得的球的号码则样本空间为 S=1,2,3,4,5,6,7,8,9,10记A=球的标号为偶数,B=球的标号4,C=球的标号为奇数,D=球的标号为3,例2：古典概型随机事件的例子,1)抛硬币:A=正面向上,B=反面向上 则样本空间为 S=A,B2)掷骰子:A=1点向上,B=2点向上,C=3点向上,D=4点向上,E=5点向上,F=6点向上.则样本空间为 S=A,B,C,D,E,F,某电话交换中心在单位时间内收到的用户呼唤的次数 i=

6、单位时间内收到的用户呼唤的次数为i 则样本空间为 S=1,2,3,4,5.,例3：泊松分布随机事件的例子,2.4.随机事件的运算,事件是一个集合 因而事件间的关系与事件的运算与集合间的关系与集合的运算处理的方式相同,只不过对于同样的表达式在概率论中的含义与其在集合论中不同,概率论的任务之一,是研究随机事件的规律,通过对较简单的事件规律的研究去掌握更复杂的规律.为此,需要研究事件间的关系和事件的一些运算.,1)子事件,i)若事件A发生必然导致事件B发生,则称事件A是事件B的子事件.若A是事件B的子事件,则事件A不发生时事件B可能发生.A是事件B的子事件又称为事件B包含事件A(或称事件A被包含于事

7、件B)记:约定:,例:一个盒子中有十个完全相同的球,分别标以号码1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,从中任取一球.令 i=取得的球的号码记:C=球的标号为奇数,D=球的标号为3.则:,对某器件的寿命,若记:A=器件的寿命为20小时 B=器件的寿命为30小时则:,2)事件的相等,若 则称事件A与事件B相等 事件A与事件B相等记为:A=B以后我们将看到,事件A与事件B相等时,它们未必相同,它们的概率亦未必相等,实验:一个盒子中有十个完全相同的球,分别标以号码1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,从中任取一球.令 F=球的标号为6,A=球的标号为偶数 G=球的标号为2,4,6,8,10,则

8、有,3)事件的和(并),事件C:*事件A与事件B至少有一个发生*则称事件C是事件A与事件B的和(并)事件记为,一个盒子中有十个完全相同的球,分别标以号码1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,从中任取一球.令 i=取得的球的号码记A=球的标号为偶数 B=球的标号4,则:,4)事件的积(交),事件C:*事件A发生且事件B发生(事件A与事件B同时发生)*,则称事件C是事件A与事件B的积(交)事件记为:,一个盒子中有十个完全相同的球,分别标以号码1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,从中任取一球.令 i=取得的球的号码记A=球的标号为偶数 B=球的标号4,则:AB=球的标号为2,对某器件的寿命

9、,若记:A=器件的寿命为20小时 B=器件的寿命为30小时则:,一般情况下，总有：,一般情况下，总有：,一般情况下，总有：,5)多个事件的和事件与积事件,定义:,定义:,6)事件的差,事件 事件A发生而事件B不发生称为:事件A与事件B的差事件,记为:AB,一个盒子中有十个完全相同的球,分别标以号码1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,从中任取一球.令 i=取得的球的号码记A=球的标号为偶数 B=球的标号4,则:AB=球的标号为4,6,8,10,7)互不相容事件(互斥事件),若事件A与事件B不能同时发生,也就是说AB是一个不可能事件,则称:事件A与事件B互不相容记为:,一个盒子中有十个完全相

10、同的球,分别标以号码1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,从中任取一球.记:A=球的标号为偶数,B=球的标号4,C=球的标号为奇数,D=球的标号为3,8)互逆事件(对立事件),若则称事件A与事件B互为逆事件,又称事件A与事件B互为对立事件.记为:,一般情况下，总有：,2.5.事件运算律,事件的运算满足下述规则:,基本概念表,2.6.基本的事件关系和运算结果,例:设A,B,C是W中的随机事件,则 1)事件“C不发生”可以表示为:2)事件“A与B发生,C不发生”可表示为:,例:设A,B,C是W中的随机事件,则中至少发生两个”可表示为:中恰好发生两个”可以表示为:,例:设A,B,C是W中的随机事

11、件,则中不多于一个发生”可表示为:,注意到前述事件的关系及运算,有,计算之,有:,2.7.例题/习题,1)化简事件的算式:解:,2),解:,3)对于任意二事件A和B,证明下列等价关,系式:,5)设A,B是任意二事件,完成运算:6)设是任意三事件,讨论下列命题的正确性:*i)A+C=B+C,则A=B*ii)A-C=B-C,则A=B*iii)AC=BC,则A=B*iv),2.8.样本空间,1)样本空间W:基本事件的全体构成的集合 称为样本空间.通常记为W.2)事件域F:所有随机事件的集合称为事件域.通常记为F.这方面的讨论是复杂的.要用到布尔代数.(无事件域的概念,有很多问题说不清楚),3)样本空

12、间的划分:,本教材为了避开事件域的概念,引入了样本空间的划分 的概念.(在条件概率中须用到此概念)定义:,第三节 古典概型.概率的古典定义3.1.概率的古典定义,3.2.概率的古典定义之分析：,1）为什么概率不会小于0？2）概率的归一性的含义：问题：下面两种表述哪一个是正确的？a.概率为1的事件为必然事件。b.必然事件的概率为1.,意外：,a.概率为1的事件为必然事件。（）b.必然事件的概率为1.（）概率论告诉我们：概率为1的事件不一定是必然事件。概率为1的事件可能不发生。概率为0的事件可能会发生。,可列可加性：,概率的古典定义的分析,1)前提:随机试验2)概率为1的事件3)事件的概率与事件的

13、发生4)规定性(三条件)5)概率的定义与随机事件的运算是以后讨论概率问题的基础(万勿“我认为”),3.3.概率的性质,概率的性质的证明（概率的定义的准确理解）,问题:,已知:P(A)=0.8,P(B)=0.7,问:A,B是否互斥?,3.4.古典概型,1)古典概型 i)基本事件的理解 1)基本事件是最简单事件;2)每次实验都有一个基本事件会发生;3)基本事件两两互斥;4)诸基本事件发生的概率相等,ii)古典概型,若试验具有下述两个特征:1)试验的样本空间只包含有限个元素 2)试验中每个基本事件发生的可能性相同则称该试验为等可能概型或古典概型,2)古典概型下的概率计算公式,试验E,基本事件：e1，

14、e2，.en样本空间：=e1，e2，.en基本事件个数（样本点总数）：n古典概型的结果：eiek=（ik)p(e1)=p(e2)=p(en),ii)基本事件的概率,P(）=pe1e2.en=p(e1)+p(e2)+p(en)=n p(e1)=n p(e2)=n p(en)=1 p(e1)=p(e2)=p(en)=,iii)古典概型下的概率计算公式:,3.5.概率计算例,例1:一个盒子中有十个完全相同的球,分别标以号码1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,从中任取一球,求此球号码为偶数的概率.,解:令:i=所取球的号码为i,i=1,2.10.则:样本空间S=1,2,3,4,5,6,7,8,9

15、,10.基本事件数:n=10.令:A=所取球的号码为偶数 则:A=2,4,6,8,10.显然有K=5,从而 P(A)=5/10=0.5,例2:一套五卷的选集,随机地放到书架上,求各册自左至右或自右至左恰成1,2,3,4,5的概率.,解:易知n=5!,k=2,故 P=2/5!=1/60,例3:超几何分布 设有N件产品,其中D件是次品,今从中任取n件,问其中恰有k(k不大于D)件次品的概率是多少?,设有N件产品,其中D件是次品,今从中任取n件,问其中恰有k(k不大于D)件次品的概率是多少?解:设从中任取n件,其中恰有k件次品，其基本事件数为，基本事件总数为,在N件产品中抽取n件(这里是指不放回抽样

16、),所有可能的取法(即基本事件总数)总共有 种.即：=,可考虑如下:在件次品中取件所有可能的取法数为 种，在件正品中取件的所有可能的取法有 种，由乘法定理，有,所以,例4:分房问题:设有n个人,每个人都等可能地被分配到N个房间中的任意一间去住(n不大于N),求下列事件的概率:1)指定的n个房间各有一人住;2)恰好有n个房间,其中各住一人.,解:样本点总数:因为每人有N个房间可供选择,所以n个人住的方式共 种.,1)设A=指定的n个房间各有一人住,则A的有利事件数k可考虑如下:指定的n个房间各有一人住,故第一人的住法有n种,第二人的住法有n-1种.,所以 K=n!于是,2)设B=恰好有n个房间,

17、其中各住一人,B的 有利事件数T可考虑如下:,*n个房间可以在N房间中选取,其总数有 个,对选定的n个房间,按前面的讨论有n!种分配方式,所以恰好有n个房间,其中各住一人的有利事件数 T=所以,例5.将一枚完全对称的骰子连续地掷 两次,求两次掷出的点数为10的概率.,解:基本事件的总数为36,有利事件为(4,6),(5,5),(6,4)故:P=3/36=1/12,该例的样本空间:,W=(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6),(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(3,5),(3,6

18、),(4,1),(4,2),(4,3),(4,4),(4,5),(4,6),(5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,5),(5,6),(6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6),3.6.几何概率,1)古典概型的局限性在古典概型中,实验的结果是有限的,这是一个很大的限制.一般说来,当实验结果为无限时,会出现一些本质性的困难.而实际上,实验结果为无限的情形比比皆是.这里讨论在实验结果为无限多但具有某种*等可能性*的一类问题.,2)几何概率,若我们在一个面积为S(或长度L,或体积V)的几何区域T中,等可能地任意投点.这里“等可能”的确切意义是这样的：设在T中

19、有一个任意的小区域C，其面积为，则点落入中的可能性的大小与其面积成正比，而与的位置及形状无关,若落入小区域C这个事件仍然记作C,则由P(S)=1,可得:,P(C)=A/T=C对应的面积/总面积这一概率通常称作几何概率.,例1:(会面问题)甲.乙二人约定在6时到7 时在某处会面,并约定先到者等候另一人一刻钟,过时即可离去.求两人能会面的概率.解:以x和y分别表示甲乙二人到达约会地点的时间，则两人能会面的充分必要条件是：在平面坐标系中，（，）的所有结果可以表示为边长为的正方形，而会面的时间由图中阴影部分所表示,这正是一个几何概率问题，由等可能性可知：,例2：蒲丰(Buffon)投针问题,平面上画有

20、等距离的平行线,平行线间的距离为a(a0).向平面任意投掷一枚长为L(La)的针,试求针与平行线相交的概率.,解：以x表示针的中点与最近一条平行线间的距离。有以 f 表示针与此直线间的夹角。如图：,由这两式可以确定x-f平面上的一个矩形W.这时针与平行线相交的充要条件是：,由这个不等式表示的区域是如图的阴影部分：,由几何概率的原理，有：,蒙特-卡洛（Monte-Carlo）方法：,第四节 条件概率,4.1.例题分析:设有某产品一盒共10只.已知其中有3只次品,7只正品.从中取两次,每次取一只,作不放回抽样.求:1)第一次取到次品(A)的概率是多大?2)若已知第一次取到的是次品,第二次取到次品(

21、C)的概率是多大?3)两次都取到次品(D)的概率是多大?4)第二次取到次品(B)的概率是多大?5)若已知第二次取到的是次品,第一次取到次品(E)的概率是多大?,例题:某产品一盒共10只.其中有3只次品,7只正品.从中取两次,每次取一只,作不放回抽样.求:1)第一次取到次品(A)的概率是多大?2)若已知第一次取到的是次品,第二次取到次品(C)的概率是多大?,某产品一盒共10只.已知其中有3只次品,7只正品.从中取两次,每次取一只,作不放回抽样.求:2)若已知第一次取到的是次品,第二次取到次品(C)的概率是多大?3)两次都取到次品(D)的概率是多大?P(D)=?,某产品一盒共10只.已知其中有3只

22、次品,7只正品.从中取两次,每次取一只,作不放回抽样.求:2)若已知第一次取到的是次品,第二次取到次品(C)的概率是多大?3)两次都取到次品(D)的概率是多大?,某产品一盒共10只.已知其中有3只次品,7只正品.从中取两次,每次取一只,作不放回抽样.求:2)若已知第一次取到的是次品,第二次取到次品(C)的概率是多大?3)两次都取到次品(D)的概率是多大?5)若已知第二次取到的是次品,第一次取到次品(E)的概率是多大?？C=D=E?如何理解？,分析:,试验特征分析:试验分两步进行前一步为后一步的条件放回抽样时，前一步对后一步没影响。不放回抽样时，前一步对后一步有影响。（前一步是条件，后一步是结果

23、）,事件分析：设:A=第一次取到的是次品 B=第二次取到的是次品 C=已知第一次取到的是次品,第二次取到次品 D=两次都取到次品 E=已知第二次取到的是次品,第一次取到次品,设:A=第一次取到的是次品 B=第二次取到的是次品 C=已知第一次取到的是次品,第二次取到次品 D=两次都取到次品 E=已知第二次取到的是次品,第一次取到次品则可记:D=AB,C=BA,E=AB 显然:D=C=E,概率分析：,最可靠的分析是：通过样本空间进行试验描述。事件A,B,D的分析：试验过程及基本事件：,样本空间：(以1,2,3代表次品的编号,4,5,6,7,8,9,10代表正品的编号),W=(1,2),(1,3),

24、(1,4),(1,5),(1,6),(1,7),(1,8,),(1,9),(1,10),(2,1),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6),(2,7),(2,8),(2,9),(2,10),(3,1),(3,2),(3,4),(3,5),(3,6),(3,7),(3,8),(3,9),(3,10),(4,1),(4,2),(4,3),(4,5),(4,6),(4,7),(4,8),(4,9),(4,10),(5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,6),(5,7),(5,8),(5,9),(5,10),(6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),(6,7),

25、(6,8),(6,9),(6,10),(7,1),(7,2),(7,3),(7,4),(7,5),(7,6),(7,8)(7,9),(7,10),(8,1),(8,2),(8,3),(8,4),(8,5),(8,6),(8,7),(8,9),(8,10),(9,1),(9,2),(9,3),(9,4),(9,5),(9,6),(9,7),(9,8),(9,10),(10,1),(10,2),(10,3),(10,4),(10,5),(10,6),(10,7),(10,8),(10,9)*(1,1),(2,2).是没有的.如1号产品第一次被取出后,第二次是取不到1号产品的.,在此样本空间中,不难

26、发现:1)P(A)=27/90=3/103)P(D)=P(AB)=6/90=1/154)P(B)=27/90=3/10,设有某产品一盒共10只.已知其中有3只次品,7只正品.从中取两次,每次取一只,作不放回抽样.求:2)若已知第一次取到的是次品,第二次取到次品(C)的概率是多大?试验过程及基本事件：（1，？）（2，？）（3，？）,缩减的样本空间1:,W(A)=(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(1,7),(1,8,),(1,9),(1,10),(2,1),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6),(2,7),(2,8),(2,9),(2,10),(3,1),(3

27、,2),(3,4),(3,5),(3,6),(3,7),(3,8),(3,9),(3,10)在缩减的样本空间中,解2)P(BA)=6/27=2/9,某产品一盒共10只.已知其中有3只次品,7只正品.从中取两次,每次取一只,作不放回抽样.求:5)若已知第二次取到的是次品,第一次取到次品(E)的概率是多大?试验过程及基本事件：（？，1）（？，2）（？，3）,缩减的样本空间2:,W(B)=(1,2),(1,3),(2,1),(2,3),(3,1),(3,2),(4,1),(4,2),(4,3),(5,1),(5,2),(5,3),(6,1),(6,2),(6,3),(7,1),(7,2),(7,3)

28、,(8,1),(8,2),(8,3),(9,1),(9,2),(9,3),(10,1),(10,2),(10,3)在缩减的样本空间中,解5)P(AB)=6/27=2/9下面进行更进一步的分析.,乘法定理:,1)计算P(BA)时,应考虑的随机试验.2)乘法定理:*样本空间W,其中样本点总数为N.*缩减的样本空间W(A),其中样本点总数为N(A).*计算P(BA)时,应在W(A)中进行,此时有 P(BA)=K(BA)/N(A)=K(AB)/N(A)即有“乘法定理”:P(AB)=P(BA)P(A),4.2.条件概率,1)定义:设A,B是两个随机事件,且P(A)0,称 P(BA)=P(AB)/P(A)

29、为在事件A发生的条件下 事件B发生的概率.2)乘法定理已经包含在定义中.3)条件概率的性质:*非负性:P(BA)0*规范性:P(WA)=1*可加性:若 BC=F,有:P(BCA)=P(BA)+P(CA),4.3一些有关条件概率的公式,4.4.全概率公式,1)定义:样本空间的划分:2)若A1,A2,An是样本空间的划分,有:P(B)=P(BAk)P(Ak),4.5.贝叶斯公式:,若A1,A2,An是样本空间的划分,有:P(AjB)=P(BAj)P(Ai)/P(B)=P(BAj)P(Ai)/P(BAk)P(Ak),4.6事件的相互独立性,1)定义:设A,B是两个随机事件,若它们满足:P(AB)=P

30、(A)P(B)则称事件A,B相互独立,简称A,B独立.2)定理1:若P(A)P(B)0,则A,B相互独立 与A,B互不相容不能同时成立.3)定理2:若P(A)0,则“A,B独立”与“P(BA)=P(B)”等价4)定理3:若A,B独立,则下列事件对亦相互 独立:,5)三个事件的相互独立性*三个事件的两两相互独立,若:P(AB)=P(A)P(B)P(AC)=P(A)P(C)P(CB)=P(C)P(B)则称事件A,B,C两两相互独立.*三个事件的相互独立 若事件A,B,C两两相互独立,且 P(ABC)=P(A)P(B)P(C)则称事件A,B,C相互独立.,*多个事件的相互独立性*两点结论:1)若事件

31、组中的n个事件是相互独立事件的事件,则其中的任意一个子组中的事件必然 是相互独立事件的事件2)若事件组中的n个事件是相互独立事件的事件,则其中的任意一个子组中的事件换成它们的对立事件后所得到的新的n个事件必然是相互独立事件的事件,4.7.例题,例1.(甲P.42)分别掷两枚均匀的硬币,令 A=硬币甲出现正面 B=硬币乙出现正面 验证事件A,B的相互独立性.,例2.(甲P.43)直觉,一个家庭中有若干个小孩,假定生男孩和生女孩是等可能的,令 A=一个家庭中有男孩,又有女孩 B=一个家庭中最多有一个女孩对下述两种情形,讨论事件A,B的相互独立性.1)家庭中有两个小孩;2)家庭中有三个小孩.,1)家

32、庭中有两个小孩,样本空间W=(男,男),(男,女),(女,男),(女,女)A=一个家庭中有男孩,又有女孩 B=一个家庭中最多有一个女孩A=(男,女),(女,男)B=(男,男),(男,女),(女,男)AB=(男,女),(女,男)=AP(A)=P(AB)=1/2;P(B)=3/4 P(AB)P(A)P(B)A,B不相互独立.,2)家庭中有三个小孩,样本空间W=(男,男,男),(男,男,女),(男女,男),(女,男,男),(女,男,女),(男,女,女),(女,女,男),(女,女,女)A=一个家庭中有男孩,又有女孩 B=一个家庭中最多有一个女孩A=(男,男,女),(男女,男),(女,男,男),(女,男

33、,女),(男,女,女),(女,女,男)B=(男,男,男),(男,男,女),(男女,男),(女,男,男)AB=(男,男,女),(男女,男),(女,男,男)P(A)=6/8;P(AB)=3/8;P(B)=4/8 P(AB)=P(A)P(B)A,B相互独立.,例3.甲P.45两两独立,设样本空间为W=1,2,3,4 A=1,2,B=1,3,C=1,4讨论事件A,B,C的相互独立性.,例:W=1,2,3,4 A=1,2,B=1,3,C=1,4讨论事件A,B,C的相互独立性.,例.某工厂有四条流水线生产同一产品,该四条流水线的产量分别占总产量15%,20%,30%和35%,又这四条流水线的不合格品率依次

34、为0.05,0.04,0.03及0.02.现从出厂产品中任取一件,问恰好抽到不合格品的概率为多少?,解:令 A=任取一件,恰好抽到不合格品 B=任取一件,恰好抽到第i条流水线的产品,i=1,2,3,4由全概率公式:,例续前题:在前例中,若该厂规定,出了不合格产品要追究流水线的经济责任.现在在出厂的产品中任取一件,恰好抽到一件不合格品,但是该件产品是那一条流水线生产的标志已经脱落,第四条流水线应承担多大责任?,解:由贝叶斯公式:,例.用甲胎蛋白法普查肝癌.令 C=被检验者患肝癌,A=甲胎蛋白检验结果为阳性由过去的资料已知:又已知某地居民的肝癌发病率为 P(C)=0.0004在普查中发现一批甲胎蛋

35、白检验结果为阳性的人,求这批人中真的患有肝癌的概率.,解:由贝叶斯公式:,这批人中真的患有肝癌的概率为:,习题,1.一盒中有100个球,其中10个是红球,90个是 白球,从中依次取球,每次取一只,不放回抽 样,求:1)第一次取到的球是红球的概率.2)第二次取到的球是红球的概率.3)第三次取到的球是红球的概率.4)第十次取到的球是红球的概率.,习题,2.带有吸收壁的随机游动.一个质点从X轴的某一K出发(OKN,且K,N均为整数)随机地在X轴上移动,每次向右移动一个单位的概率为 p,向左移动一个单位的概率为 q=1-p,设 pq(p=q=1/2的情形可另行讨论).当质点游动到位置O或N时,游动就停

36、止,即说质点被吸收了.O和N称为吸收壁.求质点从K点出发游动而被O吸收的概率.,解:,3.有3只球,4只盒子,盒子的编号为1,2,3,4.将球逐个独立地,随机地放入4只盒子中去.以X表示其中至少有一只球的盒子的最小号码,试分别求X=1,2,3,4的概率.,4.甲、乙二人各掷一枚均与硬币，其中甲掷n+2次，乙掷n次。求事件“甲掷出正面的次数大于乙掷出正面的次数”的 概率。答案：,5.游动质点问题：,一质点在x轴上原点处开始随机移动，每次移动的距离可能是0（不动），可能是1（右移一个单位），可能是1（左移一个单位），且移动距离为0的概率为p0，移动距离为1的概率为p1，移动距离为1的概率为p-1（p0+p1+p-1=1）.求：经2n次随机移动后质点回到出发点（原点）的概率。答案：,6.游动质点问题：,一质点在平面上某点处开始等可能地向上、下、左、右四个方向随机移动，每次移动的距离为1。求：经2n次随机移动后质点回到出发点的概率。答案：,7.电影院票房前有6人排队买票，其中3人各持50元面值的人民币一张，另3人各持100元面值的人民币一张，他们均要购买一张价格为50元的电影票。开始售票时由于售票员准备工作不到位，票房里只有面值为100元的人民币，因此在开始售票时无零钱可找。问：买票能顺利进行（不会因票房里没有面值为50元的人民币可找而使买票者在票房前等候）的概率是多少？答案：0.25,