概率论与数理统计课件第三周.ppt

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1、第二章 随机变量及其分布,为什么要研究学习随机变量,首先看一个实际问题.,例,从某型电子元件中任取一件,观测其寿命(设为试验E)我们关心诸如,寿命在1500 2000小时,寿命小于1000小时等事件的概率.这些只是随机试验事件E 的某些特殊的事件.,问题 我们希望了解随机现象某方面的特性，此时需要掌握某些关心的事件的概率。如何用数学的方法系统地表达这些事件，从而研究随机现象的特性呢？,通过引入一个变量，即X:SR1,的方法来进行研究，并且希望通过e:X(e)B来表达关心的事件,其中B为R1上可以度量的区域。这样我们就可以利用数学分析的方法研究随机现象。,例.掷一枚硬币，观察其面朝上的情况,样本

2、空间，S=正面，反面）,满足 X(正面）=1，X（反面）=0,定义映射,X:SR,也称X为掷一枚硬币，其面朝上的次数。,例.对于某型电子元件，任抽一件，观测其寿命。,样本空间，S=t;t 0）,定义映射,X:SR,tt,也称X为任抽该型一电子元件，该电子元件的寿命。,以上我们定义了样本空间到实数域上的一个对应关系X：,e.,X(e),R,随机变量,定义：,设(S，P)是一概率空间，若X为样本空间,S上的函数：X：S R1 e X(e),满足：xR1,有,e:X(e)x,则称X(e)为(S,P)上的一个随机变量。,常常将 e：X(e)x 简记为（Xx）。,随机变量与一般实函数的比较：,X 的取值

3、随试验的结果而定，因而在试验之前只知道它可能取值的范围，而不能预先肯定它将取哪个值。我们可以求它取某一值的概率，或它取值落入某一集合的概率。如,P(e:X(e)=1)=P(X=1),P(e:X(e)L)=P(X L).,这些性质显示了随机变量与普通函数有着本质的差异.,有了随机变量，随机试验中的各种事件，就可以通过随机变量的取值表达出来。,随机变量概念的产生是概率论发展史上的重大事件。引入随机变量后，对随机现象统计规律的研究，就由对事件及事件概率的研究扩大为对随机变量及其取值规律的研究.,事件及事件概率,随机变量及其取值规律,离散型随机变量,1 定义,若随机变量 X 所有可能的取值为有限个或可

4、列无穷多个，则称X为离散型随机变量。否则称为非离散型随机变量。,2.离散型随机变量的分布,定义：若随机变量X所有可能的取值为x1，x2，xi，且X 取这些值的概率为 P(X=xi)=pi,i=1,2,.（2.1）则称（2.1）式为离散型随机变量X 的分布律。,(2.1)式也可以用表格的形式表示如下:,上述表格称为离散型随机变量 X 的分布列，分布列也可以表示成下列矩阵的形式,性质,(1)pi 0,i=1，2，.,(2),例,设随机变量 X 的分布律为,求P(X1/2),P(3/2 X 5/2),P(2 X3),几种常见的离散型随机变量,(1)单点分布,例 若随机变量X只取一个常数值C，即P(X

5、=C)=1，则称 X 服从单点分布。,例7 若随机变量 X 只取两个数值0或1，其分布为,(2)0-1分布,0p1,q=1-p，或记为 P(X=k)=pkq1-k,k=0,1则称X 服从参数为p 的两点分布或参数为 p 的0-1分布。,(3)几何分布,例8 一射手每次打靶射击一发子弹，打中的概率为p(0p1),不中的概率为q=1-p。今向靶作独立重复射击，直到中靶为止，则消耗的子弹数X 是一个离散型随机变量，其分布为,或记为 P(X=k)=q k-1 p,k=1,2,.称 X服从参数为p的几何分布。,(4)超几何分布,例9 设一批同类型的产品共有 N 件，其中次品有M件。今从中任取n(假定n

6、N-M)件，则这n件中所含的次品数X是一个离散型随机变量，其分布为,m=0,1,l,l=min(M,n),称 X 服从超几何分布,(5)二项分布,(c)b(6，0.3)的线条图,(6)泊松分布,下面看一看它的分布情况:,随机变量的分布函数,1.概念定义2.1 设X是一随机变量（不论是离散型还是非离散型），对任意的实数x,令 则称F(x)为X的分布函数。,例12:设 X 服从参数为p的二点分布，即：,k=0,1,其中0p 1,q=1-p。求X 的分布函数F(x)。解答如下:,解:对任意实数 x,由 X 的分布律知,于是,2.离散型随机变量X的分布函数,若X 的分布律为,，i=1,2,.,则X的分

7、布函数为,当 1 x 2 时，F(x)=P(X=0)+P(X=1)=+=,当 x 2 时，F(x)=P(X=0)+P(X=1)+P(X=2)=1,故,注意右连续,下面我们从图形上来看一下.,画 分布函数图,不难看出，F(x)的图形是阶梯状的图形，在 x=0，1，2 处有跳跃，其跃度分别等于 P(X=0),P(X=1),P(X=2).,3.随机变量分布函数F(x)的性质,(1)单调性：若x1x2,则 F(x1)F(x2)特别地 P(aXb)=F(b)-F(a),(2)非负性，规一性：对任意的实数x，均有 0 F(x)1 且,(3)右连续性:对任意的实数x0,有,作业,P35:3,7,10P39:1,4,